Mandelbulbs – ilustracije za nedovršenu bajku

nsarski RSS / 03.12.2009. u 08:36

ili, matematika bajki

art+-+Mandelbulb+1.jpg 

 

Pećina izgubljenih tajni

U seriji predavanja koje je Borhes održao na Harvardu šezdesetih godina, poznatih kao Norton Lectures, ovaj pisac “Lavirinta” je zastupao mišljenje da postoje samo dve vrste priča koje ljudi pričaju. To su priče o sudbini dva broda koji su zatečeni u nevremenu, na moru. Jedan brod se, posle uzbudljive borbe sa elementima, vrati u mirnu luku i ta priča se tako završi. Drugi brod nekako preživi havariju, i nastavlja dalje da plovi morima, od ostrva do ostrva, od oluje do oluje, bez završetka da putuje u potrazi za novim avanturama. Ta se priča nikad ne može ispričati u potpunosti, jer uvek ima novih mora i novih čuda o kojima volimo da čitamo.

Ovakav strukturni princip pripovedanja odražava staru koncepciju da se sve priče pišu ili kao Ilijada ili kao Odiseja, tj. da su sve životne drame koje nas zanimaju ili tragedije ili komedije, a prema poslednjig glasinama, da se sve bebe radjaju ili kao dečaci ili kao devojčice. 

Posao pisca ovih drugih priča je da nam, kao Šeherezada, drži pažnju veštinom svoje naracije, i natera nas da okrećemo stranice knjige u želji da otkrijemo šta je bilo dalje, i dalje. Ovakav način pripovedanja ima neuništivu vitalnost i danas, od Tolkina do Hari Potera. A veština, ili umetnost, naracije je da se reči poredjaju zajedno na pravi način, jer, najzad, reči same po sebi ne znače ništa, i jedino što sa nekom preciznošću mogu da rade je da se drže jedna za drugu u dobrom poretku, slično kao što zlatna boja, na primer, nije slika, ali dobija posebnu sentimentalnu vrednost kada je na svojoj slici upotrebi Klimt. Kod ovakvog pripovedanja nikakvog značaja ne može imati neka tamo “stvarnost``, jer u toj stvarnosti ne postoje ni krilati konji, ni Aladini i čarobne lampe, ni Kiklopi, ni magicni prstenovi, a oni su ključni za razvoj priče. Ta “stvarnost” je, u suštini, samo ometajući faktor koji nas sprečava da u priču zaronimo sve dublje i dublje, i zato su deca često najpažljiviji čitaoci, jer je njihovo poimanje stvarnosti fluidno, kao kod Don Kihota. I, najposle, zašto se zadržati samo na krilatim konjima? Ako to priča zahteva, možemo izmaštati i nepostojeće prostore, i jezik, i pismo, i opet održati magiju pripovedanja kako je to učinio Tolkin.

A kad smo kod prostora...

 

Pre oko 30 godina, Benoit Mendelbrot je zainteresovao svet, i naučni i nenaučni, za fraktale – geometrijske objekte koji imaju neobičan oblik, pokazuju samosličnost (tj. na različitim dužinskim skalama se geometrijska forma beskrajno ponavlja), i liče nam na nešto iz boljih snova, kao da smo ih negde videli, a možda i nismo. Jedan takav fraktal, Mandelbrotov fraktal, je prikazan dole.

Mandelbrot_fractal.png

(Za upućene, ovaj objekat predstavlja skup tačaka u kompleksnoj ravni koje se beskonačno ponovljenom iteracijom z’ ->z^2+c ne preslikavaju u beskonačnost)

Razmišljajuci o ovom objektu, Penrose u svojoj knjizi “Carev novi um” postavlja pitanje da li je ovaj objekat realan. U kom smislu realan? Ploveći duž obala ovog skupa, kao onaj brod iz Borhesovog predavanja, mi nalazimo sve detaljnije strukture, koje jedna na drugu liče, ostrva i uvale i grebene, sve do sitnijih ostrva i uvala, i tako u beskrajon. Takav objekat, kao ni krilati konj, u stvarnosti ne postoji. A, opet, nacrtali smo ga. Onda, dakle, postoji? Penrose je mišljenja da su ovi objekti realan deo kosmosa, podjednako kao što je to broj pi, ili petougao, na primer. Na tom mestu u knjizi on sebe svrstava medju platoniste.

Poslednjih godina, pronadjeni su novi objekti, koji liče na Mandelbrotove fraktale, dobijaju se na matematički sličan način, i koji su zato nazvani Mandelbulbs. (Bulb znači nabubrenje, lukovica, a lightbulb je sijalica – dakle nešto što je deblje od ravni). U pitanju su geometrijski objekti koji se dobijaju iteracijom tačaka u 3 dimenzionom prostoru.

Za upućene – i ovo je jedina matematika koju ću upotrebiti – u pitanju je iterativno preslikavanje, koristeći standardne sferne koordinate tačke z (r, theta, phi), tako da z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }. Stepen n u ovoj iteraciji može da se menja. Skup tačaka koje ovom procedurom ne iteriraju u beskonačnost se zove Mandelbulb, i jedan takav skup je prikazan na prvoj slici, i zove se Pećina izgubljenih tajni. Na ovaj način dobijemo nove prostore i nove predele koji izgledaju ovako:

mandelbulb4.jpg

Ovo je Božićni koralni greben

christmas-coral-bed-small.jpg

Pa Madelbrotova kičma

Mandelbrot-Crustacean-small.jpg

Sladoled sa Neptuna
IceCreamFromNeptune-small2.jpg

A svi ovi predeli su deo jednog objekta (preslikavanje sa stepenom n=8) koji, iz daljine, izgleda ovako:

Power8side-small.jpg 

 

Da li ovi objekti postoje? Postoje podjednako realno kao što postoji magični ćilim ili Middle Earth. Imaginacija nema granica, ako me pratite. Naravno da postoje, negde preko sedam gora i sedam mora...

 

 

P.S. Ovo je komentar koji sam nameravao da napišem za blog o Tolkinu koji je postavila gordanac, ali sam ubrzo uvideo da je bolje da ga naslikam

 




Komentari (97)

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

dirtyharry dirtyharry 08:45 03.12.2009

Odlično

profesore.
Odmah sam se po naslovu pitao da li se radi o fraktalima druga recenica
nsarski
ili, matematika bajki

je već odgovorila sve.

Moja devojka je radila seminarski kod matematičara na našem fakultetu (Elektronski u Nišu) a ja sam bio izvođač programerskih radova koji će ove matematike da prikažu. Stvarno je neverovatno šta sve može da se dobije. Mislim da imam negde još uvek taj program....

PS: Ja sam samo uspevao da dobijem fraktale kao onaj prikazan na prvoj slici. Pretpostavljam da za ove što izgledaju kao 3D slike da su transformacije dosta složenije jerbo i posle svih transformacija, mi tak'e nismo dobijali
nsarski nsarski 08:49 03.12.2009

Re: Odlično

Mislim da imam negde još uvek taj program....
*novo

Postoji detaljniji opis programa i izvanredna galerija slika na Skytopia sajtu
dirtyharry dirtyharry 08:58 03.12.2009

Re: Odlično

nsarski
Postoji detaljniji opis programa i izvanredna galerija slika na Skytopia sajtu

Hvala, stvarno izgleda prelepo.
Pa sada kad gledam ove 3D fraktale kako se dobijaju, nešto mi ne izgleda ova njihova matematika kompleksnija od one moje za 2D. Mada prošlo je nešto godina od tada a ja ne živim sada od Kompleksne analize i teorije haosa , zaboravi se ...

nsarski nsarski 13:06 03.12.2009

Re: Odlično

Pa sada kad gledam ove 3D fraktale kako se dobijaju, nešto mi ne izgleda ova njihova matematika kompleksnija od one moje za 2D.


Nije mnogo kompleksnija. Postoji verzija gde se ukljucuju kvaternioni, na primer, i ona je nesto slozenija.
Ovi 3d objekti nemaju ocevidan fraktalni poredak (mada neka samoslicnost postoji), ali, opet, jos niko nije "istrazio" ovaj svet detaljno.
Milutin Milošević Milutin Milošević 09:56 03.12.2009

Magično

Za nas vizuelce - pravo zadovoljstvo.

Usput, podseća me na neke moje žvrljotine - beskonačno ponavljanje nekih elemenata - koje sam mahinalno ispisivao po sveskama u gimnazijsko vreme, dok sam bio dobar matematičar
margos margos 10:32 03.12.2009

Re: Magično

Za nas vizuelce

He, evo i za vegetarijance Magic broccoli.
Božanstveno je - a nacrtano i proživljeno - postaje realno.
Hvala na uživanciji za dobro jutro. :)
nsarski nsarski 13:07 03.12.2009

Re: Magično

u gimnazijsko vreme, dok sam bio dobar matematičar

Hahaaa!!!
Pravi izvidjac uvek moze da se snadje u nepoznatom prostoru. Zato je i izvidjac.
nsarski nsarski 13:08 03.12.2009

Re: Magično

He, evo i za vegetarijance Magic broccoli.

Da, malocas sam na pijaci trazio fraktalni brokol - nisu me bas najbolje razumeli. "Mi, sinko, samo ovakav imamo", rece mi zena. I ima pravo.
margos margos 13:40 03.12.2009

Re: Magično

"Mi, sinko, samo ovakav imamo", rece mi zena. I ima pravo.

Možda ima i fraktalni, a da ne zna... treb'o si lupu poneti, možda i mikroskop.... al bi možda i skuplje platio. Bolje 'vako.:))
Gospodja Klara Gospodja Klara 10:39 03.12.2009

Brokoli

Meni nedostaje to parče mozga koje služi za matematičko razmišljanje, ali ipak sam uredno pročitala i ovo:

u pitanju je iterativno preslikavanje, koristeći standardne sferne koordinate tačke z (r, theta, phi), tako da z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }. Stepen n u ovoj iteraciji može da se menja.

iz čega sam razumela samo ovaj deo da nešto ovde ne može da se menja.
Uprkos svom hendikepu uživala u tekstu.
Zaista je interesantno pitanje da li postoji ono što ne postoji, osim u brojevima, tačkama i linijama koje je neko majstorski stavio u nekakvu korelaciju i iz toga se rodilo nešto zadivljujuće i prelepo.

Moje prizemne asocijacije se kreću izmedju kaktusa, onog špicastog brokolija i oktopodovog pipka.
Gospodja Klara Gospodja Klara 10:46 03.12.2009

Re: Brokoli

Evo ga, doduše ne znam da li je to kupus ili brokoli.
stari92 stari92 11:00 03.12.2009

.. zazzmuri ....

Oseti kako se vetar propinje na vrhove prstiju i izvodi piruetu na tvojim obrazima ..
Oseti kako povorka vekova nastupa u dnu tvojih slepoochnica na izandjaloj bini svesti ..
Oseti da je zzivot samo ono shto nosimo u sebi kad zazzmurimo.
Sve ostalo je gorka samoobmana.

(Ram Mohan Roj)

.
..
i,i,i,..
I ne okretji se sine !
D))
nsarski nsarski 13:09 03.12.2009

Re: Brokoli

iz čega sam razumela samo ovaj deo da nešto ovde ne može da se menja.

U sustini, u pitanju je samo postupak da se iz jedne tacke dobije druga. I taj postupak se mnoooogo puta ponovi.
eugensavojski eugensavojski 17:42 03.12.2009

Re: Brokoli

bronhije od Marsovca goji duva gudru

Re: Brokoli

Gospodja Klara
Evo ga, doduše ne znam da li je to kupus ili brokoli.

ovo je neka vrsta karfiola, ne znam kako se to na srpskom kaze.

prvi put sam pricu o fraktalima cula od nekog matematicar u petnici, neke, recimo '91 ili '92.
bia sam potpuno hipnotisana slikom.
mozda me zato zovu seherezada?
miloradkakmar miloradkakmar 11:21 03.12.2009

Vizuelna

matematika, ali ne može/ ili može / bez lepo poređanih reči.
dirtyharry dirtyharry 11:33 03.12.2009

Re: Vizuelna

miloradkakmar
matematika, ali ne može/ ili može / bez lepo poređanih reči.

Pa može profesor sigurno da gađa narod nečim što niko neće da razume, ja sam igrom slučaja malo više upućen, ali opet čemu sve to onda ....

Znači ipak ne može bez lepih reči.
nsarski nsarski 13:18 03.12.2009

Re: Vizuelna

Znači ipak ne može bez lepih reči.

Sustina je da se bilo kako komplikovana matematika moze, u grubim crtama, objasniti na shvatljiv nacin (slikom ili recima). To je bila moja zelja.
ivana23 ivana23 13:31 03.12.2009

Re: Vizuelna

umetnost nastala iz matematike.

mirelarado mirelarado 13:43 03.12.2009

Re: Vizuelna

nsarski
Sustina je da se bilo kako komplikovana moze, u grubim crtama, objasniti na shvatljiv nacin (slikom ili recima). To je bila moja zelja.


То је вештина коју поседују само најбољи приповедачи.
Зато Манделбротови фрактали тако чаробно изгледају... као плетиво најлепших прича.




nsarski nsarski 14:07 03.12.2009

Re: Vizuelna

То је вештина коју поседују само најбољи приповедачи.


Da, ja mislim da je Borhes morao da ima neku slicnu viziju u glavi kad je pisao Vrt sa stazama sto se racvaju, ili Vavilonsku biblioteku
, ili manje vise sve sto je pisao.
dirtyharry dirtyharry 00:03 08.12.2009

Re: Vizuelna

nsarski
Sustina je da se bilo kako komplikovana matematika moze, u grubim crtama, objasniti na shvatljiv nacin (slikom ili recima). To je bila moja zelja.

Ovo je suština kod bilo koje komplikovane materije za varenje. Sećam se nekih predavanja matematičara sa mog fakulteta koja su se uvek završavala rečima biće jasnije malo kasnije. Oni koji su je razumeli razumeli su je a onim drugima nikada nije bilo jasnije.
nsarski nsarski 08:52 08.12.2009

Re: Vizuelna

Oni koji su je razumeli razumeli su je a onim drugima nikada nije bilo jasnije.

:)))

Ha, korisna primedba. Ja cu veceras da pricam nesto o teoriji struna na Kolarcu - nadam se da necu ostaviti ljude u totalnom neznanju.
dirtyharry dirtyharry 19:19 08.12.2009

Re: Vizuelna

nadam se da necu ostaviti ljude u totalnom neznanju.

He, he. Pa ja mislim ako su već došli da slušaju predavanje da su bar koliko toliko upoznati sa materijom. E, sad ako pojma nemaju onda će verovatno posle predavanja da budu više zbunjeni nego pre...
Nisam držao predavanja te vrste ali neke prezentacije onoga čime se ja bavim jesam, to je moje iskustvo ...
Predrag Brajovic Predrag Brajovic 21:28 08.12.2009

Re: Vizuelna

nsarski
Ja cu veceras da pricam nesto o teoriji struna na Kolarcu - nadam se da necu ostaviti ljude u totalnom neznanju.

Био ја на том предавању, професоре. Богатији сам за једну седу струну, барем, и за сазнање да је могућно како живимо у десетодимензионалном простору. Ја и са овим четвородимензионалним мучно и једва излазим на крај, тако да си ми појашњењем оног вишка димензија отворио ново поље тегоба. Како год, било је узбудљиво и пријатно :)))
nsarski nsarski 23:12 08.12.2009

Re: Vizuelna

Богатији сам за једну седу струну

I ja, da znas! (Iz drugih razloga, razume se.)
Predrag Brajovic Predrag Brajovic 23:47 08.12.2009

Re: Vizuelna

nsarski
Богатији сам за једну седу струну
I ja, da znas! (Iz drugih razloga, razume se.)

:))))))
Predrag Brajovic Predrag Brajovic 23:47 08.12.2009

Re: Vizuelna

nsarski
Богатији сам за једну седу струну
I ja, da znas! (Iz drugih razloga, razume se.)

:))))))
Goran Vučković Goran Vučković 23:55 08.12.2009

Re: Vizuelna

I ja, da znas! (Iz drugih razloga, razume se.)

Bila krvožedna publika?
Predrag Brajovic Predrag Brajovic 00:33 09.12.2009

Re: Vizuelna

Goran Vučković
Bila krvožedna publika?

Ма не; од тројице предвиђених говорника само nsarski се захебао па дошао. Мислим да је морао да одужи иако није имао намеру. Узгред, и пада киша, као да је сама Енглеска, а не сунчана и визним и трговинским олакшицама осунчана Србијица. Потом, и неки студенти нешто хтели да питају, а видео сам после и да је један посетилац наумио да му баш nsarski објасни не само оних 9+1 димензију, и то после предавања-промоције, већ и суштину живота и паралелизам између девет мачјих живота и девет предвиђених димензија.
dirtyharry dirtyharry 00:39 09.12.2009

Re: Vizuelna

Goran Vučković
Bila krvožedna publika?

Ovo je bre pleonazam, publika je uvek krvožedna ...
Goran Vučković Goran Vučković 10:29 09.12.2009

Re: Vizuelna

Nezgodacija

Узгред, и пада киша, као да је сама Енглеска, а не сунчана и визним и трговинским олакшицама осунчана Србијица.

Engleska? Pa to je jedan od sunčanijih regiona ovde na ostrvu
dirtyharry dirtyharry 21:02 09.12.2009

Re: Vizuelna

Engleska? Pa to je jedan od sunčanijih regiona ovde na ostrvu

Još ko si u oblasti Kent koju sam ja blagovremeno posetio na par meseci tu kažu da je najlepše vreme u celoj Engleskoj....
Predrag Brajovic Predrag Brajovic 21:12 09.12.2009

Re: Vizuelna

Него, сетио сам се где сам видео крилатог тигра! Знао сам да постоји!

Привлачна је и многострука ова наша стварност.
Goran Vučković Goran Vučković 21:30 09.12.2009

Re: Vizuelna


Još ko si u oblasti Kent koju sam ja blagovremeno posetio na par meseci tu kažu da je najlepše vreme u celoj Engleskoj....

Meni su rekli da je East Anglia najsunčanija (najveći broj sunčanih dana) - živeo sam u Kolčesteru dve godine.
nsarski nsarski 23:22 09.12.2009

Re: Vizuelna

Него, сетио сам се где сам видео крилатог тигра! Знао сам да постоји!


Yeah. I dobro je da bar neko ima dobro pamcenje.
gordanac gordanac 00:03 10.12.2009

:))

Predrag Brajović:
Него, сетио сам се где сам видео крилатог тигра! Знао сам да постоји!

Привлачна је и многострука ова наша стварност.


Brajoviću, Brajoviću, opet si prvi počeo...
Naravno da postoje krilati tigrovi, to je poznata stvar, i na šta bi ličio ovaj svet da ih nema, jeste da su prilično retki (i ustvari, ostali su samo ovi plavičasti, mada sam ja videla i jednog zlatno-žutog, istine radi da kažem)
A stvarnost je uvek dvostruka, (tkz, mnogostrukost drugog reda :)))), zato (kao što se zna) postoje i električna jagnjad (koja sanjaju krilate tigrove):



nsarski nsarski 00:10 10.12.2009

Re: :))

zato (kao što se zna) postoje i električna jagnjad (koja sanjaju krilate tigrove):

Ne znam zasto, ali imam utisak da se odjednom ovde pojavio Blejk... Tigar i jagnje, hm.

Edit: Elektricno janje - moj apsolutni favorit (pored elektricnog paradajza).
gordanac gordanac 00:16 10.12.2009

Re: :))

nsarski
zato (kao što se zna) postoje i električna jagnjad (koja sanjaju krilate tigrove):

Ne znam zasto, ali imam utisak da se odjednom od ovde pojavio Blejk...

Blejk koji crta ili piše?
Blejk kao William?
nsarski nsarski 00:22 10.12.2009

Re: :))

gordanac
nsarski
zato (kao što se zna) postoje i električna jagnjad (koja sanjaju krilate tigrove):

Ne znam zasto, ali imam utisak da se odjednom od ovde pojavio Blejk...

Blejk koji crta ili piše?
Blejk kao William?

Ovaj:



"The Lamb" from Songs of Innocence "The Tyger" from Songs of Experience



Little Lamb who made thee
Dost thou know who made thee
Gave thee life & bid thee feed.
By the stream & o'er the mead;
Gave thee clothing of delight,
Softest clothing wooly bright;
Gave thee such a tender voice,
Making all the vales rejoice:
Little Lamb who made thee
Dost thou know who made thee

Little Lamb I'll tell thee,
Little Lamb I'll tell thee:
He is called by thy name,
For he calls himself a Lamb:
He is meek & he is mild,
He became a little child:
I a child & thou a lamb,
We are called by his name.
Little Lamb God bless thee.
Little Lamb God bless thee.








View Blake's plate of "The Lamb"
from Songs of Innocence




Tyger Tyger. burning bright,
In the forests of the night:
What immortal hand or eye,
Could frame thy fearful symmetry?

In what distant deeps or skies.
Burnt the fire of thine eyes!
On what wings dare he aspire!
What the hand, dare sieze the fire?

And what shoulder, & what art,
Could twist the sinews of thy heart?
And when thy heart began to beat,
What dread hand? & what dread feet?
What the hammer? what the chain,
In what furnace was thy brain?
What the anvil? what dread grasp,
Dare its deadly terrors clasp!

When the stars threw down their spears
And water'd heaven with their tears:
Did he smile his work to see?
Did he who made the Lamb make thee?
Tyger, Tyger burning bright,
In the forests of the night:
What immortal hand or eye,
Dare frame thy fearful symmetry?


View Blake's plate of "The Tyger"
from Songs of Experience
Predrag Brajovic Predrag Brajovic 00:34 10.12.2009

Re: :))

Добро, другови трибинаши, признајем учшће у тролу и на следећем састанку ћу да се раскритикујем.

Него, Горданац, ипак си ти крива: друг нсарски ме је данас убеђивао да нема крилатих тигрова (лавове смо били лако прегрмели), а ја сам био убеђен да сам једног видео. Ето, то је било оно твоје мезимче, сетих се, једва, касније...
gordanac gordanac 00:47 10.12.2009

Re: :))

Predrag Brajovic
Добро, другови трибинаши, признајем учшће у тролу и на следећем састанку ћу да се раскритикујем.

Него, Горданац, ипак си ти крива: друг нсарски ме је данас убеђивао да нема крилатих тигрова (лавове смо били лако прегрмели), а ја сам био убеђен да сам једног видео. Ето, то је било оно твоје мезимче, сетих се, једва, касније...

Ih, pa ja sam kriva kao po default-u, tak`i mi pos`o...

EDIT:
e, nećete mi verovati - ali i to sam recitovala! :)))) (mislim na William Blake songs ...)
Predrag Brajovic Predrag Brajovic 00:49 10.12.2009

Re: :))

gordanac
Ih, pa ja sam kriva kao po default-u, tak`i mi pos`o...

:)))))
dirtyharry dirtyharry 01:11 10.12.2009

Re: :))

gordanac
Ih, pa ja sam kriva kao po default-u, tak`i mi pos`o...

ovo me potseti na nešto iz osnovne škole, pričica se zvala Svijetu se ne može ugoditi....
Vi ste mislili na ovog Blejka a ja kao svaki primeran omladinac na ovog, dobro ajde nije Blejk ali je tu ....
vladimir petrovic vladimir petrovic 12:43 03.12.2009

Ti umeš da obraduješ čoveka

Pišem da ti se zahvalim na linku za Borhesova predavanja na Harvardu.
Ima on pravo, I ja bih više voleo da budem leptir nego tigar.

Lepe su i slike koje si okačio. Premda su za moj ukus malo previše bajkovite, teško ih je "konzumirati" sve odjednom.
Ali, dobro je što ostavljaš mesta nadi - nazivajući sve to "ilustracijama za nedovršenu bajku".
Za upućene – i ovo je jedina matematika koju ću upotrebiti – u pitanju je iterativno preslikavanje, koristeći standardne sferne koordinate tačke z (r, theta, phi), tako da z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }. Stepen n u ovoj iteraciji može da se menja.

Za upućene?
Ponekad volim onu hrišćansku: "Blaženi su krotki duhom, njihovo će biti carstvo nebesko", he, he, he
dexter92 dexter92 13:56 03.12.2009

"prepoznatljivost" fraktala

Ko bi rekao da takve relativno jednostavne formule mogu da generisu tako divne objekte?
Zasto su nam ti objekti tako "prepoznatljivi", zasto ih tako lako integrisemo u neki od nasih imaginarnih svetova? Verovatno zato sto poseduju neku neophodnu harmoniju koja prija oku.
Nedavno je Cirkovic pisao blog na temu ,da parafraziram, da bi i u sustini nekih nama jako kompleksnih fizickih pojava (mozda cak i nastanka svemira) mogle da se nalaze neke zapanjujuce jednostavne funkcionalnosti postavljene u odgovarajuci kontekst.
Mozda je slicna situacija i sa "fenomenom svesti" , da je nesto sto deluje jako kompleksno samo gradacija vrlo jednostavnih principa...
nsarski nsarski 14:08 03.12.2009

Re: "prepoznatljivost" fraktala

Mozda je slicna situacija i sa "fenomenom svesti" , da je nesto sto deluje jako kompleksno samo gradacija vrlo jednostavnih principa...

Sasvim moguce.
maksa83 maksa83 15:59 03.12.2009

Re: "prepoznatljivost" fraktala

Nedavno je Cirkovic pisao blog na temu ,da parafraziram, da bi i u sustini nekih nama jako kompleksnih fizickih pojava (mozda cak i nastanka svemira) mogle da se nalaze neke zapanjujuce jednostavne funkcionalnosti postavljene u odgovarajuci kontekst.

Jedan od zastupnika toga je Wolfram tj. njegov New Kind Of Science. Ne može se poreći da je Wolfram puna glava mozga, ali će biti baš zanimljivo videti da li ovo njegovo ima ikakve veze sa životom, i da li će ikad priviriti u neki upotrebljiv kontekst, ili će se ispostaviti da je to bloper genija.
nsarski nsarski 16:11 03.12.2009

Re: "prepoznatljivost" fraktala

Jedan od zastupnika toga je Wolfram tj. njegov New Kind Of Science. Ne može se poreći da je Wolfram puna glava mozga, ali će biti baš zanimljivo videti da li ovo njegovo ima ikakve veze sa životom, i da li će ikad priviriti u neki upotrebljiv kontekst, ili će se ispostaviti da je to bloper genija.

Moram da priznam da me je Wolfram ostavio prilicno hladnim. Ja ne verujem u NKS - mada sam u tome cak jednom ucestvovao. Nekada je i Mandelbrot (od koga sam naucio fraktale) zagovarao ideju da fraktali resavaju sve. Prisetimo se da i NKS mnogo eksploatise fraktale. Uzgred, Benoit je zivi primer da briljantan matematicar moze istovremeno da bude nepodnosljivo ljudsko bice - nevidjeni asshole.
maksa83 maksa83 20:55 03.12.2009

Re: "prepoznatljivost" fraktala

Moram da priznam da me je Wolfram ostavio prilicno hladnim.

Mene je, moram priznati, ovako neukog u početku poneo ceo hajp (mame me prirodni koncepti tipa genetski algoritmi, i sl.), dok mi nije stigla knjiga i dok nisam krenuo da je čitam. Posle par stotina strana izostalo je prosvetljenje, skočim na zadnjih 200 strana - ništa prosvetljenje. Okej, celularni automati, zanimljive šare iz jednostavnih pravila, super, važi, i šta sa tim? I do kraja knjige - ništa sa tim. Očekivao bih da da više opipljivog konteksta za nešto što pretenduje da Promeni Sve. Drago mi je što mi je neko sa tvojom perspektivom potvrdio ovu nedoumicu.

U čemu se, ako nije tajna, očitovalo tvoje učestovovanje u NKS?

Uzgred, Benoit je zivi primer da briljantan matematicar moze istovremeno da bude nepodnosljivo ljudsko bice - nevidjeni asshole.

Po nekim pričama ni Wolfram nije baš najsjajnije i najskromnije biće na svetu.

P.S. Izvini, ali ja svaki put kad vidim ovaj tvoj naslov čitam to kao Mandelboobs. :))
Predrag Brajovic Predrag Brajovic 21:01 03.12.2009

Re: "prepoznatljivost" fraktala

maksa83
P.S. Izvini, ali ja svaki put kad vidim ovaj tvoj naslov čitam to kao Mandelboobs. :))

Уууух, богухвалаипресветојдевицимарији, напокон да се јави неко здрав и неоптерећен. :))
nsarski nsarski 04:08 04.12.2009

Re: "prepoznatljivost" fraktala

U čemu se, ako nije tajna, očitovalo tvoje učestovovanje u NKS?

Pa, bio sam na nekom NKS workshopu u Cikagu pre par godina (oni te workshops redovno odrzavaju).
Kazezoze Kazezoze 14:42 03.12.2009

...

Da li ovi objekti postoje? Postoje podjednako realno kao što postoji magični ćilim ili Middle Earth. Imaginacija nema granica, ako me pratite. Naravno da postoje, negde preko sedam gora i sedam mora...

imaginacija nema granice, ali se postavlja pitanje gde je granica izmedju uma i materije.
ajnshtajnov shticenik, david bohm, veruje da realna objektivna stvarnost ne postoji, odnosno da, uprkos tome shto nam se ovaj univerzum chini da je materijalne prirode on je u sushtini samo jedna fantazija, odnosno hologram gigantskih proporcija.
michael talbot je to objasnio u svojoj knjizi holografski svemir.
mislim da je dobro objasniti kako radi hologram.
da bi se napravio jedan hologram, objekat koji ce biti fotografisan prvo mora da se izlozhi svjetlosnom snopu lasera. kada se onda prema njemu usmeri svetlosni snop drugog lasera, svetlost ovog drugog lasera ce se odbijati od reflektirane svetlosti prvog lasera. potom se rezultirajuci uzorak interferencije (prostor gdje se svetlost obaju lasera ispreplice) snimi fotografskim aparatom. kada se ovaj film iz aparata razvije na njemu se mozhe videti samo jedan vrtlog isprepletenih svetlih i tamnih linija. medjutim, kada se ovaj film ponovo izlozhi laserskoj svetlosti, pojavice se 3D slika originalnog objekta.
tro-dimenzionalost ovog objekta nije jedina stvar vredna pomena. ako se hologramski negativ uslikanog objekta (recimo jabuke) prepolovi i onda izlozhi laserskom snopu svetlosti, svaka polovina ce josh uvek da sadrzhi sliku cele jabuke. i tako ako bi onda opet prepolovili ove dve polovine, svaki komadic filma ce da sadrzhi, dodushe manju, ali ipak, originalnu sliku cele jabuke. za razliku od obichne fotografije, svaki dio holograma sadrzhi sve informacije koje poseduje cjelina.
jedan drugi nauchnik, fizichar - alain aspect, je sa svojim saradnicima otkrio da su pod odredjenim okolnostima subatomske chestice kao npr. elektroni u stanju da momentalno prenesu informaciju jedan drugome bez ozira na to koliko su jedan od drugog udaljeni. apsolutno nije bitno da li se radi o razdaljini od 10 metara ili 10 biliona kilometara. na neki nachin jedna chestica u svakom momentu zna shta druga chestica radi.bohm veruje da objektivna realnost ne postoji i to objashnjava holografskim modelom stvarnosti.
"celina u svakom delicu" je osnovna osobina holograma, a bohmova teorija da se svemir mozhe posmatrati kao spoj dva osnovna reda: implicitnog i eksplicitnog, nije nishta novo jer su, npr., tibetanski budisti ta dva aspekta nazivali punina i praznina. punina je stvarnost vidljivih predmeta, dok je praznina poput implicitnog reda, mesto rodjenja svih stvari u svemiru koji se u "bezgranichnom toku" izlevaju iz nje. pa ipak, samo je praznina stvarna a svi oblici u objektivnom svetu su iluzorni (maya), te postoje samo zbog neprekidnog toka izmedju dvaju redova. u tako slozhenom svemiru, sve prozhima sve, i biva prozheto od svega - kako u praznini, tako i u punini - delic jeste celina.

fa-tsang, budistichki uchitelj iz 7 veka, je drzhao da se chitav svemir nalazi skriven u svakom od svojih delova (verovao je i da je svaka tachka u svemiru njegovo sredishte), uporedio je svemir sa vishedimenzionalnom mrezhom dragulja, od kojih svaki deo beskonachnosti odrazhava sve druge. da bi to dodatno objasnio carici wu (nema nikakve veze sa doktor wu-om) on je u prostoriju sa ogledalima obesio svecu. ovo, rekao je carici wu, predstavlja odnos jednog prema mnogim.
potom je uzeo izbrusheni kristal i stavio ga na sredinu prostorije tako da odrazhava sve shto se nalazi oko njega. ovo, rekao je, pokazuje odnos mnogih prema jednom. medjutim poput bohma koji objashnjava da svemir nije samo hologram nego hologibanje, fa-tsang je naglashavao da je njegov model statichan i da ne odrazhava dinamizam i neprekidno gibanje kosmichke povezanosti svih stvari u svemiru.

ps. josh uvek chitam talbotov "holografski svemir", pa su mi secanja, (koja rade po holografskom modelu) josh svezha. inache, jedan drugi nauchnik, dr. karl pribram, objashnjava "secanje" preko holografskog modela... dosta interesantna knjiga.
myredneckself myredneckself 16:15 03.12.2009

kakva stvar, fraktali !

Da li ovi objekti postoje? Postoje podjednako realno kao što postoji magični ćilim ili Middle Earth. Imaginacija nema granica, ako me pratite. Naravno da postoje, negde preko sedam gora i sedam mora...


fraktali rukama umetnika
zamišljam da bi alisi i ostalima ovde bilo takođe lepo
A veština, ili umetnost, naracije je da se reči poredjaju zajedno na pravi način, jer, najzad, reči same po sebi ne znače ništa, i jedino što sa nekom preciznošću mogu da rade je da se drže jedna za drugu u dobrom poretku, slično kao što zlatna boja, na primer, nije slika, ali dobija posebnu sentimentalnu vrednost kada je na svojoj slici upotrebi Klimt.

slično sam mislila o rečima ovih dana
opet fraktali...

Ivana Knežević Ivana Knežević 16:49 03.12.2009

Vise magije, manje matematike

Kakva kombinacija!
Secam se kad sam prvi put videla te Mandelbrotove - bas su bili verno olicenje vecitih zavrzlama ljudskog uma. Lepo i komplikovano. Prosto su morali da se pojave pre ili kasnije. A ove 3D su mi nove (taj 'cudesna suma' brokoli sam videla nedavno u piljarnici, i zaobisla ga - ne treba bas sve jesti, moze se i gledati) i zaista su fantasticne.
blogovatelj blogovatelj 16:52 03.12.2009

Matematika i estetika

Secam se da nam je profesorka na fakultetu, kada smo ucili diferencijalne jednacine rekla da postoji vrsta diferencijalnih jednacina cije je resenje, kada se nacrta, u stvari sara leopardovog krzna.
Nikad nam nije napisala tu diferencijalnu j-nu i mene zanima koja je, ako neko zna.
nsarski nsarski 17:17 03.12.2009

Re: Matematika i estetika

Nikad nam nije napisala tu diferencijalnu j-nu i mene zanima koja je, ako neko zna.

Kod nekih vrsta, pattern formation se opisuje diferencijalnim jednacinama koje imaju resenje u obliku talasa

To se vidi kod riba, zirafa, zebri, itd. Evolutivno, to je korisno, zbog mimikrije riba u podvodnim uslovima, na primer.
Upitanju su parcijalne jednacine drugog reda, dakle, i ima ih mnogo jer ima mnogo razlicitih resenja (=sara na zivotinjama). Uz pogodne granicne uslove, moze da se "nasteluje" bilo kakva sara. Za ovo je odgovoran HOX gen koji formira pigmentaciju i hemijske reakcije u kozi koje tu pigmentaciju odredjuju. Neke sipe su u stanju da aktiviraju te gene po potrebi i promene boju prema zahtevima okoline.
Evo jedne popularne reference Animal coat pattern formation
blogovatelj blogovatelj 19:47 03.12.2009

Re: Matematika i estetika

Hvala puno.
Doctor Wu Doctor Wu 08:19 04.12.2009

Re: Matematika i estetika

Evo jedne popularne reference Animal coat pattern formation

I još jedne, How the leopard got its spots (nije Kipling). Reaction-diffusion jednačina, zapravo sistem parcijalnih differencijalnih jednačina, koji, posle prostorne diskretizacije, može da se aproksimira sistemom običnih differencijalnih jednačina (koje je neuporedivo lakše rešavati i analizirati).
nsarski nsarski 17:03 04.12.2009

Re: Matematika i estetika

Doctor Wu
Evo jedne popularne reference Animal coat pattern formation

I još jedne, How the leopard got its spots (nije Kipling). Reaction-diffusion jednačina, zapravo sistem parcijalnih differencijalnih jednačina, koji, posle prostorne diskretizacije, može da se aproksimira sistemom običnih differencijalnih jednačina (koje je neuporedivo lakše rešavati i analizirati).

Thx, dottore - to je tvoj fah.
Doctor Wu Doctor Wu 21:01 03.12.2009

Šarski, čoveče,

ovo je fenomenalno. Ja bih tebi dao TV kanal da učiš i spasavaš decu u Srbiji.
ddsonik ddsonik 07:12 04.12.2009

Re: Šarski, čoveče,

Mogu samo da potvrdim misljenje Dr Wu-a

Vremenom se zaborave gradiva iz i meni fundamentalnih disciplina matematike i fizike, a Vasa podsecanja sa novim detaljima su svakako osvezenje za memoriju i motivaciju da se dalje 'kopa'

Hvala
Srdacan pozdrav
nsarski nsarski 16:57 04.12.2009

Re: Šarski, čoveče,

Ja bih tebi dao TV kanal da učiš i spasavaš decu u Srbiji.

I ja bih sebi dao TV kanal i postavio nekog sposobnijeg da ga vodi:))
rosenkranz rosenkranz 00:24 04.12.2009

Ja zaista...

... uživam u Vašim pričama i kao matematičar i kao osoba koja voli da mašta... paaaa, skoro o svemu.

Prosto žudim za ovakvim teksovima koji me oplemenjuju i osećam se kao da sam odigrao savršenu partiju šaha sa prijateljom za vreme toplog prolećnog dana i da sam posle toga šetao obalom, a uveče završio knjigu.

Hvala Vam najlepše na ovom poklonu.
nsarski nsarski 17:04 04.12.2009

Re: Ja zaista...

Hvala Vam najlepše na ovom poklonu.

Hvala TI back.
Vojislav Stojković Vojislav Stojković 07:50 04.12.2009

Još malo fraktalnih oblika

z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+2



z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+6

maksa83 maksa83 08:26 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika


z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+6

Ovo je već pornografija.
Milan Novković Milan Novković 08:56 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Ovo je već pornografija

Makso bre !!! Ovo je viša matematika
maksa83 maksa83 09:11 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Makso bre !!! Ovo je viša matematika

Tanka je ta granica...
Vojislav Stojković Vojislav Stojković 10:18 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

maksa83

z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+6

Ovo je već pornografija.


Izvini, makso., pogrešio sam.
Evo, nešto za suptilniji umetnički gušt.


z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n =
r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+6-5




Milan Novković Milan Novković 10:45 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Izvini, makso., pogrešio sam.

Upropasti nas Maksa, vidi šta uradi od dobrog čoveka Vojislava
Vojislav Stojković Vojislav Stojković 11:07 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Milan Novković
Izvini, makso., pogrešio sam.

Upropasti nas Maksa, vidi šta uradi od dobrog čoveka Vojislava

U pravu si, Milane, da sam dobar čovek, dobar sam.
A, da kojim slučajem nisam, mogao sam maksi odgovoriti da je pornografija u oku posmatrača.
Ja npr. na slici: z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n =
r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) cos(theta*n) }+6

vidim šest ljupkih fraktalnih oblika na mostu iznad bistre plave vode sa zelenilom u pozadini.
Ne znam šta je makso video.:))
maksa83
Makso bre !!! Ovo je viša matematika

Tanka je ta granica...

Tanka je granica, odnosno tanka je linija, između erotskog i pornografskog, vrlo tanka.

Recimo, fotografija gole žene priznatog, poznatog i skupog umetničkog fotograf, svrstava se u erotsku fotografiju, a fotografija iste gole žene i u istoj pozi, nepoznatog fotografa ili amatera, svrstava se u pornografiju. To je čest kriterijum kada se erotskko vs pornografsko posmatra u odnosu na autora.

Kada je reč o recipijentu, onda je kriterijum kako on doživljava viđeno, ili kao što napisah gore, pornografija je u oku posmatrača, kao i erotika ili lepota, uostalom.
maksa83 maksa83 11:24 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Tanka je granica, odnosno tanka je linija, između erotskog i pornografskog, vrlo tanka.

Ja ne znam o čemu vi ljudi pričate, ali ja sve vreme o formulama.
Vojislav Stojković Vojislav Stojković 11:30 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

maksa83
Tanka je granica, odnosno tanka je linija, između erotskog i pornografskog, vrlo tanka.

Ja ne znam o čemu vi ljudi pričate, ali ja sve vreme o formulama.




nsarski nsarski 16:53 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n =
r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+6-5

Pa, dobro, sunce mu zarko, ja sam tu formulu stavio za upucene, ali nisam imao pojma da ste svi toliko upuceni!

Zanima me samo kakvom se iteracijom dobijaju one sirotice sto se mrznu u kratkim pantalonicama.
nsarski nsarski 16:59 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Ovo je već pornografija.

Pornos=prljavstina, grafos=slikanje ->imas pravo! Vidi kako su im prljavi tabani jer idu bose po asfaltu. Ko zna ko je tu ispisivao formule....
nsarski nsarski 17:01 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Ja npr. na slici: z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n =
r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) cos(theta*n) }+6
vidim šest ljupkih fraktalnih oblika na mostu iznad bistre plave vode sa zelenilom u pozadini.


Ovome se od tebe, Dzeremaja, nisam nadao!
Dobro, Brajovica bih razumeo, cak i Unfa, maksa je covek iz struke - ali ti!!!

A da su fraktalne - jesu. Jedna na drugu od pozadi lice.
nsarski nsarski 17:05 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Vojislav Stojković
z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+2



z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+6


Vidju vraga sta je smislio! Promenis konstantu i dobijes odgovarajuce mnostvo Mandelass oblika. Nego, jel' si ti ove blogerke uslikao ili si ih kompjuterski generisao?
blogovatelj blogovatelj 18:40 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Ovo je već pornografija


Nije, nego kompleksna analiza ;-)
crossover crossover 18:40 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

nsarski
z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n =
r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }+6-5

Pa, dobro, sunce mu zarko, ja sam tu formulu stavio za upucene, ali nisam imao pojma da ste svi toliko upuceni!

Их, бре Нсарски, па то је нормална ствар, ко се још не разуме у pattern formation. Једино је мало фрка, у почетку, да провалиш како се откопчава.
maksa83 maksa83 18:50 04.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

Nije, nego kompleksna analiza ;-)

Jesi to sam prepozn'o ili ti neko pomog'o?
Vojislav Stojković Vojislav Stojković 12:02 05.12.2009

Re: Još malo fraktalnih oblika

nsarski
Ovo je već pornografija.

Pornos=prljavstina, grafos=slikanje ->imas pravo! Vidi kako su im prljavi tabani jer idu bose po asfaltu. Ko zna ko je tu ispisivao formule....


Pornografija je kad su bez šorceva i donjeg veša.
GajaR GajaR 08:53 04.12.2009

Manelbrot i ideja o b(l)ogu



Preporuka za ovaj zanimljiv tekst, koji nudi nebrojene asocijacije


.


nsarski nsarski 16:54 04.12.2009

Re: Manelbrot i ideja o b(l)ogu

Preporuka za ovaj zanimljiv tekst, koji nudi nebrojene asocijacije

Hvala na lepim recima:)
ninasimone ninasimone 08:11 05.12.2009

Re: Manelbrot i ideja o b(l)ogu

GajaR


Preporuka za ovaj zanimljiv tekst, koji nudi nebrojene asocijacije

Meni recimo Simon & Garfunkel tako zvuce.

nsarski nsarski 08:27 05.12.2009

Re: Manelbrot i ideja o b(l)ogu

Meni recimo Simon & Garfunkel tako zvuce.

Zanimljivo je da postoji i fraktalna muzika.

Evo jednog linka sa detaljnijim objasnjenjima - Fractal music
ninasimone ninasimone 08:58 05.12.2009

Re: Manelbrot i ideja o b(l)ogu

nsarski
Meni recimo Simon & Garfunkel tako zvuce.

Zanimljivo je da postoji i fraktalna muzika.

Evo jednog linka sa detaljnijim objasnjenjima - Fractal music

Pink Noise
super zvuci, zamisljam nesto izmedju Pink Floyd i Radiohead
vishnja92 vishnja92 09:36 04.12.2009

:)

Pećina izgubljenih tajni
Božićni koralni greben
Sladoled sa Neptuna


poezija :)
nsarski nsarski 16:54 04.12.2009

Re: :)

vishnja92
Pećina izgubljenih tajni
Božićni koralni greben
Sladoled sa Neptuna


poezija :)

Eto, znao sam da ce neko sa smisliom za poeziju to najbolje da razume. Thx!
godec godec 14:58 04.12.2009

matematika lepote

Zahvalan sam Vam na lepoti ovog priloga.
nsarski nsarski 16:55 04.12.2009

Re: matematika lepote

Zahvalan sam Vam na lepoti ovog priloga.

...sam TI na lepoti ovog priloga. I ja tebi na komentaru:)
gordanac gordanac 09:34 06.12.2009

:))

P.S. Ovo je komentar koji sam nameravao da napišem za blog o Tolkinu koji je postavila gordanac, ali sam ubrzo uvideo da je bolje da ga naslikam

...i slika ti je:



Mogu samo da dodam još jednu:

nsarski nsarski 09:58 06.12.2009

Re: :))

...i slika ti je:



Ih, gordanatz, kad bih se ja pitao...ali ne vredi, vidi sta oni, oni...oni banditos gore slikaju kad im pomenes fraktal. Sasvim drugacije cica-mace!
gordanac gordanac 10:05 06.12.2009

Re: :))

Ih, gordanatz, kad bih se ja pitao...ali ne vredi, vidi sta oni, oni...oni banditos gore slikaju kad im pomenes fraktal. Sasvim drugacije cica-mace!


:))))))))))))))

to je zato što su stalno u Zemlji Čuda, ali nisu videli pravu, evo, možda pomogne :

Re: :))

evo vama jedan pozdrav direktno iz cheshira.
jos kad bi i mozak sabajle malo bolje radio, sad bih se i setila ko je bio lokalni vojvoda cije su osobine reverznom peronifikacijom presle na macka...
gordanac gordanac 08:31 10.12.2009

Re: :))

Tu je vojvoda negde, u ovim bajkama...
pozdrav back cheshir-u! :)
dirtyharry dirtyharry 07:56 10.12.2009

Pa pošto

ima još nešto više od pola sata dok se blog ne zaključa, dajem sebi za pravo na jedan trol po sopstvenom izboru



Aj u zdravlje...

Arhiva

   

Kategorije aktivne u poslednjih 7 dana