Evariste Galois, tragedija jedne mladosti

Evariste Galois

"Ne plači! Potrebna mi je sva snaga koju imam da bih mogao da umrem sa 20 godina" - E. Galois.

Evariste Galois je u svetu matematičara bio ono što je Dzejms Din bio u svetu glumaca. Ziveo je brzo i kratko, poginuo je u besmislenom dvoboju kada mu je bilo 20 godina, i za sobom ostavio matematičku zaostavštinu koja je danas ugradjena u temelje savremene algebre, teorije grupa, teorije brojeva, i moderne matematike uopšte. Igrom sudbine, Galois nije doziveo da vidi plodove svoga rada - neke od svojih ključnih rezultata je zabelezio u pismu koje je grozničavo sastavio te fatalne noći pred dvoboj, 29. maja 1832., a vaznost njegovih otkrića je prvi put prepoznata tek oko 25 godina kasnije.

U vremenskom rasponu od samo te jedne noći, on je budućim naučnicima ostavio dovoljno materijala koji će ih drzati zaposlenima tokom sledećih 100 godina. Ili barem tako kaze legenda.

Faksimil jedne strane Galoisovih beleski.

Razume se, legenda je prica za sebe, a istina je u njenom tkanju samo jedna nit: najpre, Galois je neke svoje rezultate objavljivao u par navrata pre svoje prerane smrti, a zatim, matematičari se i danas, skoro 200 godina kasnije, bave problemima o kojima je pisao Galois. Ali, da podjemo redom.

Evariste Galois je rodjen 25. oktobra 1811, u selu Bourg-la-Reine (danas predgradje Pariza), u kome je njegov otac bio gradonačelnik. Njegova majka je bila obrazovana zena, i podučavala je Evarista kod kuće latinskom i grčkom i muzici, sve do njegove 12. godine, kada se upisao u školu Louis-le-Grand koja i danas postoji. U početku je bio dobar djak, ali su mu klasične discipline ubrzo dosadile - posebno loše mu je "išla" retorika. Učitelji su za njega pisali da je "originalan i neobičan" ali i "svadjalica". Tada je "otkrio" matematiku: naišao je na Lezandrovu (Legendre - čuveni matematičar) knjigu iz geometrije, prilično tešku, koju je brzo savladao. Potom je prešao na Lagranzove knjige o analitičkim funkcijama i kalkulusu. Učitelji su ga cenili kao darovitog, ali su ga savetovali da bude sistematičniji i bolje organizovan. Evarist je, medjutim, sledio svoj interes i svoju strast, i sa 16 godina pokušao da se upiše na Politehničku školu bez polozenih uobičajenih ispita. Bio je odbijen.

Ovo je za Galois-a bio tezak udarac, još jedan dokaz nepravde i izvor zivotnog ogorčenja. U godini koja je usledila, Galois se ozbiljnije posvetio matematici, pokazivao je veliki talenat, i sa 17 godina štampao svoj prvi mali naučni rad o periodičnim beskonačnim razlomcima.

Sa 18 godina je ponovo pokušao da se upiše na Politehničku školu, ali je opet bio odbijen. Tokom prijemnog ispita, legenda kaze, naljutio se na jednog ispitivača i gadjao ga brisačem. (Ovaj dogadjaj se često pominje kao ilustracija jednog okoštalog i zastarelog obrazovnog sistema koji nije imao dovoljno sluha da pred sobom prepozna genija.) Takodje, nekoliko dana pre ovog sudbonosnog ispita, Evaristov voljeni otac je izvršio samoubistvo gušenjem; izlozen političkim pritiscima, malicioznom klevetanju i kaljanju časti, on nije mogao da izdrzi izazov surove politike tog vremena. Ovo je za Evarista bilo definitivno zivotno ogorčenje. Ne zaboravimo da je Galois ziveo u vremenu Visokog Romantizma, kada su ljudi cenili čast koliko i zivot sam; ovaj narativ zivljenja će najzad postati koban po njega samog.

Sada počinjemo da brojimo Evaristovo vreme unazad, kao kod lansiranja rakete. Ima psihijatara koji tvrde da je za razumevanje nečijeg zivotnog puta, ovo najbolji način da se razume dinamika dogadjanja.

Sredinom 1829, Galoisu je skoro 18 godina, i on podnosi svoj prvi veliki rad Akademiji. Recenzent je bio Cauchy (još jedna matematička legenda) koji je trebao da predstavi taj rad u januaru 1830. Medjutim, Cauchy se razboli i odlozi predstavljanje rada, i istovremeno ubedi Galoisa da rad povuče i objedini ga sa drugim rezultatima i tako proširenog ga predstavi drugom prilikom.

Godina je 1830., Galois još nema punih 19 godina. U februaru 1830., Galois podnosi revidiranu i proširenu verziju rada Akademiji, i Furije (svi znamo za Furijeove redove!) bude odredjen da rad referiše. I ovde sudbina opet umeša svoje prste. U maju te godine Furije umre. Medju njegovim papirima nije pronadjen Galoisov rad! Uprkos tome, Galois ipak uspeva da u aprilu i maju objavi dva rada o algebarskim rešenjima jednačina, i vazan rad u junu o teoriji brojeva. Ohrabren ovim uspesima, Galois otvara školu matematike, u januaru 1831,, ali je broj polaznika bio razočaravajuće mali.

Ovo je takodje bilo vreme ozbiljnih društvenih previranja u Francuskoj: posle izgubljene bitke na Waterlou, Napoleon je konačno prognan na Svetu Jelenu. Sukob izmedju Rojalista i Republikanaca se zaoštravao. Galois se stavio na stranu Republikanaca - "ako su potrebni leševi da se pokrenu mase, ja ću priloziti svoj!", rekao je u zanosu. Posle par incidenata(jedno pismo i jedna zdravica, te šetanje u javnosti u zabranjenoj uniformi Republikanske garde), Galois dolazi u sukob sa zakonom. Na jednom sudjenju, gde je optuzen za "pretnju kralju" je oslobodjen, ali je na drugome osudjen na 6 meseci zatvora zbog nošenja zabranjene uniforme republikanske artiljerijske garde. Galoisova zalba je odbijena i presuda potvrdjena 3. decembra 1831, 6 meseci pre duela, i Evarist je otišao na sluzenje kazne. Onih par meseci boravka u istraznom zatvoru mu je oduzeto od kazne.

U medjuvremenu, njegov ključni rad, podnesen Akademiji, je odbijen (ovog puta Puason kao recenzent). Još jedan udarac sudbine.

Tokom sluzenja kazne, Galois se posvetio svojim matematičkim idejama, bio prilično buntovan, a jednom prilikom se napio do izbezumljenja iskapivši skoro celu bocu jakog pića (on, inače, nije pio). O tom dogadjaju je pisao ovako: "Ali, šta se dešava sa mojim telom? U meni se nalaze dve osobe, i, nazalost, prilično mi je jasno koja će da pobedi".

Takodje, prema oskudnim i nesigurnim podacima, tokom boravka u zatvoru, Galois je doziveo affaire de coeur sa Mademoiselle Stephanie D., ćerkom zatvorskog lekara. Pouzdanih podataka o ovome nema, osim fragmenata dva pisma koja su nadjena u njegovim papirima. Prvo njeno pismo počinje sa: "Moramo završiti ovu aferu." Ova informacija će nam biti potrebna kasnije.

29. aprila 1832, mesec dana pre duela, Galois izlazi iz zatvora. U jednom pismu svom prijatelju Chevalier-u on se zali da je njegova ljubavna afera završena. U svakom slučaju, pod nepoznatim okolnostima, sa nepoznatim suparnikom, Galois zakazuje duel za 29. maj 1832. Tačne okolnosti koje su do duela dovele, kao i ime njegovog suparnika su predmet spekulacije već 175 godina. Prema nekim izvorima, Galois je hteo da odbrani čast neke prostitutke, prema drugim, došao je u sukob sa svojim drugom koji je takodje bacio oko na Stephanie D., La belle dame sans mercie, Galoisovu ljubav iz zatvora. Evaristov brat, s druge strane, je godinama tvrdio da je duel namestio policijski provokator (Galois je stekao mnogo političkih neprijatelja svojim aktivnostima) i nemilosrdno ga ubio. Ali najzad, povod ovom besmislenom duelu i nije mnogo bitan, ili, kako kaze T.S. Eliot, "vi samo pričate o dogadjanjima, a ne o tome šta se zaista desilo". Svi su izgledi da je Galois, razočaran, zeleo smrt i ovo je bio način da do nje dodje.

Galois izlazi na dvoboj tog oblačnog jutra 29. maja 1832. Sa rastojanja od 25 koraka, pistoljima, Galois puca prvi. Prema nekim izvorima, u pitanju je bila svojevrsna vezija Ruskog ruleta, gde je jedan pištolj bio prazan. Prema drugim, Galois jednostavno nije bio u stanju da puca u prijatelja i ispaljuje metak u nebo. U svakom slučaju, Galois bude ranjen u stomak. Njegovo napušteno i skoro bezzivotno telo su malo kasnije pronašli lokalni seljaci i odneli ga u bolnicu u kojoj je umro od zadobijene rane. Prema jednim navodima, Galoisovi sekundanti su prosto otišli sa poprišta; prema drugim, oni su pošli da potraze lekara (mada izgleda nelogično da jedan nije ostao pored ranjenika). U bolnici je proveo naredni dan, a poslednje reči, upučene ozalošćenom bratu, su bile one navedene u naslovu ovog bloga. Umro je 31. maja 1832, u bolnici u Parizu. Poštu mu je 2. juna odalo oko 2000 ljudi na sahrani koja se pretvorila u malu pobunu. Bila su to vremena koja se pamte.

Noć pred duel, Galois je proveo budan, pišući pisma prijateljima i zaokruzujući svoje matematičke ideje. Na onom odbijenom radu od strane Akademije je pokušao da izvede dokaze nekih tvrdnji. U jednom trenutku je na margini napisao: "Ovo se moze lako dokazati, ali nemam sada vremena". I ta rečenica, "nemam vremena, nemam vremena", će postati deo legende zvane Evariste Galois. Za sobom je ostavio oko 60 stranica beleški i rukopisa koji ce "drzati matematičare u poslu sledećih 100 godina".

Ove beleške su sakupili i sredili Chevalier i Galoisov brat i poslali ih nazad Akademiji u roku od par dana.

Dvadeset četiri godine kasnije, Liuvil (Liouville, još jedna matematička legenda), sredjuje Galoisove rezultate i objavljuje ih sa sledećim komentarom: "Posle ispravki nekih sitnih nejasnoća, mogu da kazem da je Galoisov metod besprekoran. On je briljantno dokazao sledeću teoremu: da bi nesvodljiva jednačina nekog stepena bila rešiva pomoću radikala, potrebno je i dovoljno da svi njeni korenovi (rešenja) budu racionalne funkcije bilo koja dva od njih."

Rizikujući da ovaj tekst postane predugačak i nečitljiv, ipak ću da kazem makar par reči o ovom Galoisovom otkriću. Evariste Galois je pokušao da odgovori na sledeće pitanje: "Koje su jednačine rešive?" Najtezi matematički problemi se lako postavljaju, ali teško, ili nikako, rešavaju. Tako se i ovo pitanje provlačilo kroz matematiku oko par hiljada godina pre nego što se Galois uhvatio u koštac s njim.

Stari Vavilonci su umeli da reše jednačinu oblika a*x=b, ili a*x-b=0, kada su a i b celi brojevi (takvi su bili tada poznati i svima bliski), i o takvim jednačinama ćemo nadalje govoriti. Na primer, jednačina 2*x=6, ili 2*x-6=0, ima rešenje x=3. Naime, ova jednačina kaze: koji je to broj (nepoznata "x") koji treba pomnoziti sa 2 da bi se dobio broj 6? Tri, naravno, jer 2*3=6, to se odmah vidi. U opštem slučaju, jednačina a*x=b, ima rešenje x=b/a. Drugim rečima, ako ovo (b/a) zamenimo umesto iksa u gornju jednačinu dobijemo a*b/a=b, što je b=b, što je tačno. Ništa lakše. Ali korisno da zapamtimo za kasnije. Da ugraviramo u mozak, takoreći.

OK, a kako ćemo naći rešenje jednačine a*x^2+b*x+c=0? (a, b, c celi brojevi). Whoa! Ovde imamo i "iks na kvadrat" i "iks" i još neke brojeve! (Ovo se zove jednačina drugog reda ili kvadratna jednačina - uči se na kraju osnovne škole kod nas). Stari Grci su znali odgovor na ovo pitanje, mada ne potpuni odgovor. Recimo, rešenja jednačine x^2-3*x+2=0 su x=1 i x=2. (Zato što je 1-3+2=0, i 4-6+2=0, što dobijemo kad zamenimo ove vrednosti u jednačinu). Ovde treba sledeće ugravirati u mozak: jednačina drugog stepena (kvadratna jednačina) ima dva rešenja - iksjedan i iksdva - i opšte rešenje (dva komada, zapravo) opšte jednačine, a*x^2+b*x+c=0, moze da se zapiše u obliku "iksjedan/dva = -b+-koreniz(bnakvadrat - 4*aputac) /2a", to smo učili kao pesmicu u školi. Dakle, ona naša jednačina gore ima rešenja iksjedan/dva=(3+-1)/2, sto daje, kao što već znamo, iksjedan=1 i iksdva=2. Ili, mozda, iksjedan=2 i iksdva=1? Hej, šta je tačno, prvo ili drugo? Svejedno je, iksjedan i iksdva se mogu zameniti i sve bi ostalo isto. Graviramo u mozak - isto je kada permutujemo (zamenimo) rešenja.

Medjutim, šta bi se desilo da imamo jednačinu x^2-3*x+3=0 umesto one gore? Pa, koristeći našu pesmicu, dobili bi koren iz negativnog broja, sqrt(-3), a Stari Grci nisu znali šta to znači. To je bio nedefinisan svet, i oni bi rekli da ova jednačina nema rešenja. Ne postoji "realan broj" koji, zamenjen u ovu novu jednačinu,x^2-3*x+3=0, zadovoljava tu jednačinu. Bitna stvar.

Dobro, a šta ćemo sa jednačinom a*x^3+b*x^2+c*x+d=0? Uuuh, ovo je jednačina trećeg stepena (najveći stepen nepoznate iks). Jedna vazna teorema u matematici kaze da ova jednačina mora da ima tri rešenja. Lepo, broj rešenja (tri) je jednak stepenu jednačine (tri), ali kako ih naći? Stari Grci su takodje znali za ovu jednačinu - ona se pojavljivala prilikom pokušaja da se geometrijski kontruiše trećina ugla, ali su mogli da ga nadju samo u posebnim slučajevima. Omar Khayam, pesnik i matematičar, je proučavao rešenja ovakvih jednačina, ali tek je 1545 (Ferrari i njegov mentor Cardano) nadjeno opšte rešenje (za bilo koje vrednosti brojeva, a,b,c i d). To rešenje je prilično ruzno i glomazno na papiru, i ne moze da se zapamti kao pesmica, pa se najčešće ne uci u školama. Ali postoji, i ima lepotu sasvim druge prirode.

U redu, a šta se dešava sa jednačinom četvrtog stepena a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0? Ona bi, prema gornjoj teoremi morala imati 4 rešenja, ali ima li ona rešenja u obliku korenova, količnika, i tih poznatih matematičkih operacija zvanih "radikali"? Ima i ona - to je pokazao opet Ferrari, ali se rešenje svodi na rešenja dve jednačine trećeg stepena, pa je celokupna stvar štampana u "Ars Magna", 1545., zajedno sa rešenjem jednačina nizeg reda. Očevidno, ime Ferrari nije poznato samo po automobilima.

A petog stepena? E, petog nema. Jednačina petog stepena se ne moze rešiti "pomoću radikala", u opštem slučaju. To je dokazao slavni Norvezanin Nils Henrik Abel (9 godina stariji od Galoisa), koji je takodje umro mlad, sa 26 godina, ali u bedi kako se i rodio, od tuberkuloze.

Takva rešenja nemaju ni jednačine šestog, ni sedmog, ni viših stepena. I upravo ovo je Galois dokazao: jednačine petog i većeg stepena ne mogu da se reše pomoću radikala, u opštem slučaju. Zašto ne mogu?

Pa, odgovor na ovo pitanje je tehnički malo slozen; ja ću samo da ukazem na osnovnu koncepciju. Setimo se sada ranijih ugraviranih zaključaka: jednačina a*x=b, gde su a i b celi brojevi, ima rešenje oblika x=b/a. Ali, ako a i b nisu deljivi jedan sa drugim, onda ni ovo recenje nije ceo broj već razlomak! Ovo je ključna činjenica: polazeći od jednačine čiji su koeficijenti a i b celi brojevi (pripadaju skupu celih brojeva - kako se to tehnički kaze) mi mozemo dobiti rešenja koja nisu iz ovog skupa. Neophodno je "proširiti" skup unutar koga radimo (u ovom slučaju moramo uvesti i razlomke) da bi on obuhvatao i rešenja sama, a ne samo koeficijente. Kad su jednačine drugog stepena (kvadratne) u pitanju, moramo uvesti i brojeve kao sqrt(2), i slične. Ne samo to, nego nam se rešenja mogu pojaviti i u obliku sqrt(-3), kvadratnog korena iz negativnog broja, što je, danas znamo, imaginarni broj. Setimo se takodje i druge ugravirane ideje: postoji simetrija u rešenjima kvadratne jednačine - iksjedan i iksdva mogu da zamene mesta, i opet bi sve bilo isto. Ta simetrija izmedju rešenja, načini transformacije jednih resenja u druge, čini suštinu Galoisovog otkrića. Da bi tehnički razumeli simetrije, moramo uvesti koncepte trasformacija unutar skupa - Galois je bio prvi koji je odredjene osobine skupa u odnosu na transformacije nazvao "grupa". Zatim je uveo pojam "polje", i ostalo je istorija. Ovim su uvedeni sasvim novi koncepti u matematiku.

Pokušavajući da rešimo jednačine petog i višeg stepena, mi mozemo dobiti "rešenja" koja nemaju geometrijski analogon (nisu konstruktibilna, kako se to kaze), i imaju simetrije koje se ne mogu opisati rotacijama, inverzijama, i slično.

Rešenja jednačina višeg stepena proizvode matematičke veličine koje se ne mogu izraziti operacijama koje već znamo. I to je, po mom mišljenju, najvaznija pouka iz Galoisovog zivota i rada. Ajnštajn je jednom rekao da "nije moguće rešiti neki problem onom istom svešću koja je taj problem stvorila". Galois je pokazao da resenje neke jednacine moze da dodje iz sasvim drugog sveta, koji nema veze sa onim sto vec znamo. Ovo je ognjena istina bi trebala da bude ugravirana na Galoisovom grobu.

Nazalost, Galois je posle dvoboja sahranjen na neoznačenom, javnom groblju, i nadgrobnog spomenika nema.