Najteži problem na svetu II: Riemannova hipoteza

nsarski RSS / 14.08.2008. u 21:49

RIEMANN_-200_290w_q30.jpg

 

Ako bi sproveli anketu medju matematičarima i pitali ih koji je, po njihovom mišljenju, danas najteži nerešen fundamentalni matematički problem, verujem da bi njih 9 od 10 odgovorili "Riemannova hipoteza". Ovaj problem je svrstan medju milenijumske probleme Clay matematičkog instituta i za njegovo rešenje je ponudjena nagrada od milion dolara. Problem je postavio B. Riemann u jednom radu pre oko 150 godina i generacije najboljih matematičara su uzaludno pokušavale da ga reše. David Hilbert je jednom rekao: "ako me za 1000 godina neko probudi iz mrtvih, moje prvo pitanje će biti - da li je dokazana Riemannova hipoteza?"

Šta je sadržaj Riemannove hipoteze, i zašto je taj problem toliko važan? Da bi mogli na ovo da odgovorimo, potrebno je prvo napraviti nekoliko uvodnih napomena.

Za razliku od Poincareove pretpostavke, o kojoj je bilo reči u ranijem blogu, i koja se odnosi na topološke osobine 2-. 3- i više-dimenzionih površi (dakle, apstraktnih matematičkih objekata), Riemannova hipoteza govori o nekim fundamentalnim osobinama prirodnih brojeva. (Medjutim, takodje za razliku od Poincareove pretpostavke, Riemannova hipoteza se ne može izraziti jednom prostom rečenicom i zato je ovaj tekst malo duži ). Prirodni brojevi su oni brojevi koji se dobiju običnim brojanjem predmeta. 1, 2, 3, 4,...15,...20,...1000, itd. su prirodni brojevi.

Brojanje je, setimo se, prva i najelementarnija matematička operacija - ono je procedura koju koristimo da imenujemo količine, tj. da količinama pridružimo numeričku vrednost.. Mi decu učimo da broje otprilike u isto vreme kad počnemo da ih učimo reči, tj. da imenuju objekte, pojmove, i radnje. Brojanje je bazično znanje koje je deci neophodno da bi razumela svet oko sebe.

Prirodnih brojeva, razume se, ima beskonačno mnogo, a medju njima poseban značaj i ulogu imaju prosti brojevi. To su brojevi koji su deljivi (bez ostatka!) samo sa sobom i jedinicom. Na primer, brojevi 2, 3, 5, 7, 11, itd., su prosti brojevi.

Osobina "prost broj" se nalazi su samoj suštini naših predstava o količinama. Na primer, mi možemo da zamislimo kosmos, ili svet, u kome je gravitaciona sila slabija od ove koja vlada u našem kosmosu, ili svet u kome je brzina svetlosti veća nego što je u našem svetu, ali nam je nemoguće da čak i zamislimo svet u kome broj 7, na primer, ne bi bio prost.

O prostim brojevima i njihovim osobinama je, od Starih Grka pa do danas, napisano na hiljade stranica popularnog teksta, matematičkih analiza, kurioziteta, numericke mitologije i slično, ali ovde nemamo dovoljno prostora da se toj temi detaljnije posvetimo.

Brojevi koji nisu prosti zovu se složeni brojevi. Na primer, svi parni brojevi, sem broja 2, su složeni brojevi jer su deljivi sa brojem 2 (broj 2 je, očevidno, jedini paran prost broj). Takodje, svi prirodni brojevi koji se završavaju cifrom 0 ili 5, osim samog broja 5, su složeni jer su deljivi prostim brojem 5, itd.

Važnost prostih brojeva proističe iz sledeće fundamentalne teoreme o razlaganju (faktorizaciji):

svaki prirodan broj se može, na jedinstven način, napisati kao proizvod prostih brojeva.

Na primer, broj 15 može da se zapise kao 15=3x5, broj 12 kao 12=2x2x3, broj 13 kao 13=13, tj ovaj broj se ne moze razložiti na prostije delove jer je i sam prost. Prosti brojevi imaju ''atomsku" prirodu nerasčlanjivosti, da tako kažem. U tom smislu se kaže da su prosti brojevi u matematici slični osnovnim harmonicima u muzici. Kao što se svaki ton u muzici može predstaviti kao odredjeni jedinstven zbir osnovnih zvučnih harmonika, tako se i svaki prirodan broj može predstaviti kao odredjeni jedinstven proizvod prostih faktora. Zbog toga se ponekad govori o muzici prostih brojeva. Prosti brojevi su osnovni numerički ''delovi'' od kojih su svi prirodni brojevi ''izgradjeni'' množenjem.

Na ovom mestu je korisno pomenuti i Goldbachovu pretpostavku (1742): svaki paran broj veći od 2 se može napisati kao zbir dva prosta broja. Na primer, broj 18 moze da se napiše kao 18=7+11. Ova dekompozicija, medjutim, nije jedinstvena - broj 20, na primer, se može napisati kao 20=7+13, ali i 20=17+3. Goldbachova pretpostavka je još jedan klasičan problem, star oko 350 godina, za koji nemamo dokaza.

Pitanje se odmah nameće: u beskonačnom skupu prirodnih brojeva, koliko ima prostih brojeva? Odgovor na ovo pitanje je dao Euklid - prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Euklidov briljantni dokaz ove tvrdnje je takodje i sjajna ilustracija matematičkog načina razmišljanja i dokazivanja, pa ću ga ovde opisati. Ko ne voli ovu vrstu dokaza može sledecih par paragrafa da preskoči: izvodjenje ovog dokaza nije neophodno za razumevanje onoga što kasnije sledi.

Podjimo, kako je to Euklid uradio pre oko 2300 godina, od obrnute tvrdnje: neka prostih brojeva ima konačno mnogo. Ako pokažemo da je ova polazna tvrdnja netačna, onda smo pokazali da prostih brojeva ima beskonačno mnogo, i dokaz je završen.

Zamislimo sada skup koji sadrži sve te proste brojeve. Iz naše polazne pretpostavke (da prostih brojeva ima konačno mnogo) sledi da ovaj skup, zovimo ga A, sadrži konačan broj elemenata.

Konstruišimo sada broj P, tako što ćemo da formiramo proizvod svih elemenata skupa A, tj. svih prostih brojeva. Broj P je, po konstrukciji, složen broj, jer se sastoji od proizvoda (svih) prostih brojeva. A šta je sa brojem Q=P+1, tj. brojem koji se dobije tako što se broju P doda jedinica? Postoje dve mogućnosti:

(i) Ako je broj Q prost, onda se on razlikuje od svakog od elemenata skupa A, pa smo na ovaj način konstruisali novi prost broj. To je suprotno polaznoj prepostavci da je A konačan skup koji sadrži sve proste brojeve - evo mi smo na ovaj način konstruisali novi prost broj (Q) koji se ne nalazi u skupu A.

(ii) Ako je broj Q složen, onda on, po definiciji složenog broja, mora da bude deljiv bez ostatka sa nekim prostim brojem. I taj neki prost broj mora da je različit od bilo kog prostog broja koji se nalazi u polaznom skupu A. U suprotnom, ako je složen broj Q deljiv sa prostim brojem iz skupa A, onda, budući da je i broj P (proizvod svih prostih brojeva) takodje deljiv sa tim prostim brojem, onda i razlika brojeva Q i P, tj. Q-P=P+1-P=1, mora da je deljiva tim brojem, odnosno da je broj 1 deljiv nekim prostim brojem, što je apsurd. Dakle, složen broj Q mora biti deljiv nekim novim prostim brojem koji se ne nalazi u skupu A, a to je opet suprotno našoj pretpostavci da skup A sadrži sve proste brojeve.

 

Drugim rečima, mi smo ovom konstrukcijom uspeli da dobijemo nove proste brojeve koji se ne nalaze u našem početnom skupu A svih prostih brojeva. Ovu konstrukciju možemo da ponovimo beskonačno mnogo puta. Skup svih prostih brojeva, dakle, ne može da bude konačan, tj. prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Dokaz završen.

 

Ključno je iz svega do sada rečenog zapamtiti da se svaki prirodan broj može faktorizovati, ili rastaviti, kao proizvod prostih brojeva na jedinstven način, i da prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

OK, ima ih beskonačno mnogo, ali postoji li neki način da utvrdimo kako su prosti brojevi rasporedjeni duž brojne ose? Na primer, da li ima više prostih brojeva izmedju 1 i 1000, ili izmedju 10000 i 11000, ili na nekom drugom segmentu dužine 1000 na brojnoj osi? Ovo pitanje može da se postavi i na drugi način: koliko ima prostih brojeva manjih od nekog zadatog broja X? Na primer, koliko ima prostih brojeva manjih od 500?

Upravo ovo je bio naslov Riemannovog originalnog rada iz 1859. godine Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse ( O broju prostih brojeva manjih od nekog zadatog broja) u kome je postavio svoju hipotezu.

Delimičan odgovor na ovo pitanje možemo da potražimo "pešačkim" putem. Zamislimo da podjemo duž brojne ose, polazeći od broja 1, koracima jedinične dužine, i da brojimo proste brojeve koje na tom putu "sretnemo". Dok stignemo do broja 10, na primer, prebrojaćemo 4 prosta broja (2,3,5,7), do broja 20 imamo 8 prostih brojeva (2,3,5,7,11,13,17,19), do broja 60, srešćemo 17 prostih brojeva, itd. Sada možemo da grafički predstavimo ovaj rezultat - on ima i tehničko ime - zove se ''funkcija koja prebrojava broj prostih brojeva'' i označava se sa π(x), i, nacrtana na intervalu od 1 do 60, ona izgleda ovako:

400px-PrimePi.PNG

 

Prvo, vidimo da je ova funkcija ‘'stepenasta'' - kako idemo duž brojne ose (na desno), postoje intervali gde nema prostih brojeva (izmedju 7 i 11, recimo) i tu je funkcija horizontalna, tj, ne menja se i vrednost joj je stalno 4, pa kod prostog broja 11 poraste za jedan ''stepenik'' i vrednost joj je 5, pa kod broja 12 se ne menja jer 12 je složen broj, pa kod prostog broja 13 opet poraste za jedan ''stepenik'', pa se kod brojeva 14, 15 i 16 ne menja jer su ovo složeni brojevi, pa kod prostog broja 17 poraste za jedan ''stepenik'', itd.

Kad pogledamo u gonju sliiku, broj tačkica u horizontalnom nizu nam kaže kolika je dužina tog intervala na kome nema prostih brojeva. Negde je ta dužina 2 - tamo gde su prosti brojevi susedni neparni brojevi (3 i 5) recimo, ili (11 i 13), ili (17 i 19) - i ovakvi parovi prostih brojeva se zovu ''blizanci'' (twin pairs). Negde je taj interval na brojnoj osi gde nema prostih brojeva dužine 4 (izmedju 7 i 11, na primer), ili duzine 6 (izmedju 23 i 29, na primer). U svakom slučaju, prosti brojevi nisu ravnomerno rasporedjeni duž brojne ose. To se vidi i po tome što funkcija π(x), predstavljena gore, ne raste ravnomerno, već je zakrivljena, ili, tehnički rečeno, nelinearna.

Dobro, nisu ravnomerno rasporedjeni, a da li su po nekom pravilu rasporedjeni, ili se pojavljuju na brojnoj osi potpuno slučajno, na nepredvidljiv način? Ovo pitanje je, zapravo, pitanje o globalnom ponašanju funkcije π(x) - gore je nacrtano samo njeno ponašanje na intervalu od 1 do 60 - mi hoćemo da znamo nešto o svim prostim brojevima, tj. o njihovom rasporedu na celoj brojnoj osi. Odgovor na njega je suština Riemannove hipoteze.

Da bi stekli malo bolji uvid, korisno je pogledati kako izgleda funkcija π(x) prikazana na većem intervalu. Konkretno, na intervalu od 1 do 1000 ona izgleda ovako

pizoom.jpg

Na intervalu od 1 do 50 000 ovako

pizoom2.jpg

 

Na ovako velikim skalama se "stepenici" na našoj funkciji uopšte ne vide - što, naravno, ne znači da ih nema, samo da su mali. Posebno pada u oči da bi naša funkcija, dobijena najobičnijim brojanjem, možda mogla da se aproksimativno napiše u nekom zatvorenom obliku.

Prvi pokušaj u ovom pravcu je napravio Gauss, Riemannov profesor. On je našao da bi najbliža aproksimacija za našu funkciju bila

pnt2.jpg

 

Hm, da proverimo. Znamo na primer da je π(100)=25, tj. da od 1 do 100 ima 25 prostih brojeva. Prema gornjoj formuli se dobije 100/log(100)=21.7, što nije baš sasvim tačno, ali nije ni suviše pogrešno - razlika je oko 12%. Za veće brojeve, na primer 1 milion, π(1 000 000)=78 498, tj na intervalu od 1 do million ima oko 78 500 prostih brojeva. Prema gornjoj formuli dobijamo 72 382, što je odstupanje od oko 8%. I, najvažnije, razlika se smanjuje.

Medjutim, Gaus je kasnije uspeo da nadje bolju aproksimaciju za našu funkciju. Umesto izraza x/log(x) , Gaus je predložio funkciju Li(x), poznatu kao logaritamski integral - ona je prosto integral funkcije 1/log(u), na intervalu 2 do x, tj.

logint.jpg

Ako bi zajedno nacrtali tok funkcija π(x) i Li(x) od 1 do 50000 dobili bi ovakvu sliku

pivli.jpg

 

Drugim rečima, na ovoj skali, razlika se uopšte ne vidi. Ne zaboravimo, ipak, da je naša funkcija π(x) stepenasta, dok je Li(x) neprekidna, glatka funkcija, i da je u pitanju samo aproksimacija. U redu, koliko se to razlikuju naša stepenasta funkcija π(x) koja kaže koliko ima prostih brojeva na intervalu od 1 do x, i glatka funkcija Li(x)? Riemann je ponudio precizan odgovor na ovo pitanje.

Njegov odgovor se bazira na osobinama jedne druge funkcije, tzv. Riemannove zeta funkcije koja je definisana kao

d213d3fd6ad450f576c66a20d86f09a8.png

Ovo izgleda malo zastrašujuće nematematičarima, ali izraz je samo skraćeni zapis za beskonačni niz. Drugim rečima, z(1)=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5....itd., ili z(2)=1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...itd., U opstem slucaju, uzmemo broj 1 pa ga stepenujemo brojem s i dobijemo 1^s, pa broj 2 stepenujemo sa s i dobijemo 2^s, pa broj 3 stepenujemo sa s i dobijemo 3^s, itd. Potom formiramo razlomke 1/1^s, 1/ 2^s, 1/3^s, ... itd., i sve te razlomke zajedno saberemo. To je funkcija z(s). Kako se sada odjednom pojavila ova funkcija, i kakve veze ona ima sa našom pričom o prostim brojevima? Odgovor na ovo je dug i zanimljiv (i sadrži oko 200 godina matematičke istorije), ali ja se neću upuštati u detalje. Dovoljno je samo da kažem da je Euler prvi pokazao da se funkcija z(s), definisana gore kao beskonačan niz, može ekvivalentno zapisati i kao beskonačan proizvod

zetaproduct.jpg

 

po svim prostim brojevima. I tu se nalazi veza sa našom pričom.

U svojoj studiji prostih brojeva i njihovih osobina, Riemann je prvi proučavao osobine zeta-funkcije, z(s), kada je s kompleksan broj. Dakle, eksponent s nije vise samo realan stepen kao na primer s=1, ili s=4, ili s=0.75, već je u pitanju kompleksan broj koji ima svoj realni i svoj imaginarni deo. Uobičajeno je da se s u ovom slučaju piše kao s=x+iy, gde je i imaginarna jedinica.

Od ključnog značaja za razumevanje rasporeda prostih brojeva na brojnoj osi je tačan položaj nula Riemannove zeta-funkcije. Nula funkcije, setimo se, je ona vrednost argumenta za koju funkcija ima vrednost nula. Pošto je argument zeta-funkcije, s, kompleksan broj, onda se nule te funkcije nalaze u kompleksnoj ravni.

Konkretno Riemannova zeta-funkcija grafički izgleda ovako

tt-rzf3.gif

 

Tačnije, na ovoj slici je prikazana apsolutna vrednost te funkcije, a x i y su realna i imaginarna vrednost argumenta s. Riemann je uspeo da dokaže da se nule ove funkcije (nule koje nas zanimaju!) nalaze na "kriticnoj traci" (critical strip) u kompleksnoj ravni izmedju 0<1. To se moze na ovom grafiku lepo videti - funkcija kao da "probija" kompleksnu ravan duž nekakve linije (one udoline kao da su poredjane na neki način). Medjutim, Riemannova hipoteza kaže nešto mnogo preciznije:

sve nule zeta-funkcije se nalaze tačno na liniji x=1/2, u kompleksnoj ravni.

I to je tvrdnja koju treba dokazati, Riemannova hipoteza u jednoj recenici, a za koju je Hilbert rekao ono što sam gore citirao.

Tokom decenija i decenija su pravljeni pokušaji da se ova hipoteza dokaže. Numerički, oko 15 milijardi nula Riemannove zeta-funkcije je izračunato i sve se nalaze baš na liniji x=1/2, kako hipoteza kaže. Medjutim, 15 milijardi je ništa u odnosu na beskonačno, nama treba položaj svih nula.

Poslednjih decenija je došlo do otkrića neočekivane veze izmedju nula zeta-funkcije i nekih fizičkih sistema koji mogu da pokazuju haotično ponašanje (tzv. Gaussian Unitary Ensembles - GUE, kvantni bilijar, itd). Takodje, ustanovljena je veza izmedju nekih statističkih osobina nula zeta-funkcije i energijskih nivoa u teskim nuklearnim jezgrima. Izmišljeni su fizički sistemi, gasovi Eulerium i Riemannium na primer, čije se termodinamičko ponašanje izvodi iz osobina zeta-funkcije, Ukratko, kao da su u osobinama nula ove funkcije enkodirani neki fundamentalni fizički zakoni, na način koji još ne razumemo. Veza izmedju teorije brojeva i teorijske fizike počinje da se ozbiljnije nazire.

Kakve ovo ima posledice po našu prvobitnu priču o prostim brojevima i njihovom rasporedu? Setimo se, došli smo do toga da je funkcija Li(x) dobra aproksimacija naše funkcije, π(x), koja broji koliko ima prostih brojeva na intervalu od 1 do x, ali da se od nje ipak razlikuje. Koliko se razlikuje?

Ako je Riemannova hipoteza tačna, onda je

pnt_1.gif

 

drugim rečima, ove dve funkcije se razlikuju za korekcioni factor reda veličine x^1/2 log(x), kako piše u formuli. Ovaj stepen 1/2 upravo potiče od položaja nula Riemannove zeta-funkcije i zato nam je cela priča o njoj trebala. Šta ovo konkretno znači, i zašto je to važno?

 

Evo zašto je važno. Nadam se da ću na ovom mestu da nadjem ponovo sve one koje sam usput izgubio u matematici i formulama, jer dalje više matematike nema i sve ću ilustrovati prostim primerom.

Kada bacimo ispravan novčić u vis, sa verovatnoćom 1/2 (ili 50%) očekujemo da će da padne ‘'glava'', i verovatnoćom 1/2 (ili 50%) da će biti ‘'pismo''. Šta ovo znači? Pa, svakako ne znači da će, ako je u prvom bacanju ispala glava, recimo, da će u sledećem obavezno biti pismo. Ne, mi se ne bi iznenadili ako bi glava izašla nekoliko puta uzastopno - to nije nemoguće, ali nije ni suviše neverovatno ako je broj bacanja mali. U drami Toma Stoparda ‘'Rozenkranc i Gilderstern su mrtvi'' njih dvojica prekraćuju vreme tako što bacaju novčić. Kad je već sedamdeset i neki put uzastopno izašla glava, oni već počinju da filozofiraju o malo verovatnim dogadjajima - onima koji se skoro nikada ne dešavaju, ali nisu nemogući.

Ako 1000 puta bacimo novčić, mi očekujemo da će oko 500 puta ispasti glava i oko 500 puta pismo. Naravno, kod konkretnih bacanja, ovo ne mora tačno da se ostvari - možemo da dobijemo 495 puta glavu i 505 puta pismo. I to je OK. Verovatnoća kaže da će, prosečno 500 puta ispasti glava, ali ne obavezno i tačno toliko puta kod 1000 bacanja novčića. Medjutim, ako bi dobili 300 puta glavu i 700 puta pismo, to bi bilo sasvim neočekivano. Zašto neočekivano, čime se neočekivanost meri? Meri se standardnom devijacijom, koja je u slučaju bacanja novčića jednaka kvadratnom korenu iz broja bacanja, u našem slučaju sqrt(1000)/4=8 ili nešto slično [za ljubitelje statistike u pitanju je binomna raspodela gde je srednja vrednost np, a kvadrat devijacije np(1-p), p=1/2]. Zapamtimo reči kvadratni koren u prethodnoj rečenici. Dakle, svi rezultati gde smo u 1000 bacanja dobili 500 puta glavu, plus minus 8 ili slično, su očekivani. Ako bi dobili glavu samo 300 puta, to je ekstremno malo verovatno - pomislili bi da ili sa novčićem nešto nije u redu, ili sa svetom kakav poznajemo nešto nije u redu (što je eksploatisano u Stopardovoj drami).

Ako je Rimanova hipoteza tačna onda je ona gore formula o rasporedu prostih brojeva na brojnoj osi tačna. A to znaci da mi možemo da predvidimo pojavu sledećeg prostog broja na brojnoj osi sa pouzdanosću koja je ista kao i kod bacanje novčića. Ako izračunamo da je broj prostih brojeva u intervalu od 1 do x, dat prema funkciji Li(x), onda smo u tom odgovoru pogrešili otprilike kao kod predvidjanja da će iz 1000 bacanja novčića 500 puta da se pojavi glava. I ovo se sve zasniva na hipotezi da se nule Riemannove funkcije nalaze na liniji ½ kako je gore objasnjeno. Zbog te ½ imamo i kvadratni koren. Dokaz ove hipoteze bi nas uverio da su prosti brojevi, do nama razumne mere predvidljivi koliko i bacanje novčića. Svi su izgledi da je ovo slučaj, barem koliko možemo numerički da proverimo.

Ako Riemannova hipoteza nije tačna onda ovo predvidjanje ne važi, i prosti brojevi su rasporedjeni na mnogo više neuredjen način. Drugim rečima, ovo znači da postoji negde numerički beskraj u svemiru brojeva gde su naša osnovna razumevanja o prostim brojevima netačna, i gde su ekstremno retki dogadjaji češće mogući.

 

Da bi znali u kojem od ovih svetova živimo potrebno je da rešimo najteži problem na svetu. U tome se sadrzi celokupna agonija i ekstaza Riemannove hipoteze

 

 



Komentari (152)

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

Spiridon Spiridon 21:55 14.08.2008

sad bi ja trebalo da napisem

Preporuka! - pa da ispadne da sam razumeo ovu hipotezu.

Ja verujem mojoj zenici koja mi kaze da su ti tekstovi o matisu vrhunski, tako da ti na osnovu toga dajem preporuku =)

spira = tuzan sto nikada nije imao kliker za matis
Strongman Strongman 22:03 14.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

Preporuka! - pa da ispadne da sam razumeo ovu hipotezu.



I ja kliknuo pa se bacam na citanje. ... Evo jos nista.


Kako si profesore?
nsarski nsarski 22:09 14.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

Hvala, hvala!
Ipak, poslednjih nekoliko paragrafa nema nikakve matematike, ali sustina je ipak opisana. Ja to ubacujem formule za svoju dusu i meni slicne geekove:)
nsarski nsarski 22:10 14.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

Evo, dobro sam, Strongy. Ovde je ipak nesto niza temperatura.Danke senor!
bojan ljubomir jugovic bojan ljubomir jugovic 22:37 14.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

Ja to ubacujem formule za svoju dusu i meni slicne geekove:)


nenade, cika hokingu kazali da jedna formula koju upotrebi
u svom naucno popularnom tekstu prepolovljava broj
potencijalnih citalaca. (klasika)

tekst je veoma zanimljiv, prvi put imam prilike uopste da citam o rimanovoj hipotezi
funkcije poprilicno razumem, kapiram i funkcije dve realne promjenjive z (x,y)
, tri ili vise kao matematicku konstrukciju ali da zavisno
promjenjiva bude kompleksan broj (zaboravio sam tu
pricu oko kompleksnih brojeva)- ne mogu da pratim karte...


nego, sta predstavlja opsti broj O ispred zagrade - gore kod korekcionog faktora?

p.s.
Evo zašto je važno. Nadam se da ću na ovom mestu da nadjem ponovo sve one koje sam usput izgubio u matematici i formulama, jer dalje više matematike nema i sve ću ilustrovati prostim primerom.


ovo je jako dobar fazon :)))
da si bio moj prof sigurno bih ti brisao tablu! :)
nsarski nsarski 22:45 14.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

nego, sta predstavlja opsti broj O ispred zagrade - gore kod korekcionog faktora?

O je prosto notacija koja kaze "reda velicine". Ako napises O(x), na primer, to znaci "nesto sto raste linearno kako raste x", O(x^2), raste sa kvadratom, tj. kao x na kvadrat. O(x^1/2) raste kao kvadratni koren iz x.
gambit92 gambit92 01:58 15.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

Kako si profesore?


Hehehe, moji najomiljeniji blogeri, najjaci i najpametniji, ili zajedno: u zdravom tijelu - zdrav duh!

Vec smo imali pricu o prostim brojevima i vec sam "cjepidlacio":

a/ broj je djeljiv ili nije djeljiv drugim brojem, nema razloga da se kaze "bez ostatka".
b/ Jedan nije prost broj ( a nije ni slozen!), sto se ne vidi iz definicije: "To su brojevi koji su deljivi (bez ostatka!) samo sa sobom i jedinicom. "
c/ Dokaz da postoji beskonacno prostih brojeva je "prekomplikovan". Evo nesto jednostavnijeg (u sustini istog):
Pretpostavimo suprotno, tj. da je skup prostih brojeva konacan i da su svi prosti brojevi p1, p2, ..., pn.
Proizvod ovih brojeva uvecan za jedan Q=p1*p2*...*pn+1 pri dijeljenju sa bilo kojim (navedenim)prostim brojem daje ostatak 1. Naravno da Q nije djeljiv ni sa jednim slozenim brojem, jer bi morao da bude djeljiv njegovim "sastojcima". Dakle, pretpostavka o konacnom broju prostih brojeva je oborena (jer uvijek, gornjim postupkom, nadjemo "jos jedan"

A sada, svi u lov na million bucks!
angie01 angie01 02:08 15.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

pa da ispadne da sam razumeo ovu hipotezu.


necu ni da se upushtam u chitanje i ovako odokativno deluje kao horor- mislim, razumem ja tebe sharski i lepo i razlozno to sve predajesh- al bre, je l mozesh neshto da objasnish preko cipela ili dash neki primer sa slichkama, neki baja ili,...mislim neka satisfakcija u razradi - da pojachash motivaciju:))


ee, mesleem, gledam i ovu gordanuc-normalana brate svuda- lepo pushta klipove, zna materiju, osh ples, osh pesmicu, recitaciju- (malo me nervira s balashevicem, ono valjda lokalpatriotski,:)))... osh posluzenje, osh plazu, slikice, odavde, odande,sve po redu- o dokumentaciji da i ne govorimo- jedono koda tebe poludi i pochne chudno da se ponasha.:)
nsarski nsarski 02:14 15.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

OK, razumem ja tvoju ideju sa cjepidlacenjem, ali ovo je pisano popularno.
Ako ne kazes bez ostatka, onda ce neko da kaze - ej, 3/4 je tri cetvrtine, tj. 0.75, znaci umem ih podeliti. Hm, da, ali poenta je da dobijes ceo broj.
Ostalo je stvar retorike (a i to se racunalo u matematicku disciplinu medju Starim Grcima).
Euklidov dokaz sam naveo u izvornom obliku, opet retorike radi:))


Dejan Nikolic Dejan Nikolic 15:47 15.08.2008

Re: sad bi ja trebalo da napisem

I ja sam se malo pogubio kod kompleksnih i imaginarnih brojeva. Ok, izguglovao sam malo pa sam se setio lekcije iz srednje skole (iako i dalje ne razumem, jednostavno nije realno :)

Ali vrlo mi je interesantan onaj deo oko ocekivanja da se desi nesto vrlo neverovatno, posto je protivno nauci (osim ako nisi skepticni empirista) i verovatno svi zelimo da Rienemannova hipoteza bude dokazana kako bismo nastavili da zivimo u predvidljivom svetu koji znamo kako da opisemo :)

Ali neki Black Swan uvek chuchi iza ugla... :)

gordanac gordanac 22:01 14.08.2008

:)

nice one
....i pesmica:


...samo da nađem Wallace Stevens i "The Idea of Order at Key West", pa će biti i - recitacija! :))
nsarski nsarski 22:12 14.08.2008

Re: :)

samo da nađem Wallace Stevens i "The Idea of Order at Key West", pa će biti i - recitacija! :))

Hah!
Zaboravio sam da kazem da je Hardy imao obicaj, kad podje brodom na uzburkano more, da napise prijateljima dopisnicu: Resio sam Riemannovu hipotezu.
Hardy."
Posto se on segacio sa Bogom, mislio je da Bog nece da dozvoli da mu brod potone i tako Hardy, zezator, dobije vecnu slavu. Da bi ga kaznio, dakle, Bog bi ga sacuvao od smrti:)))
markonio92 markonio92 22:54 14.08.2008

Re: :)

nsarski

Zaboravio sam da kazem da je Hardy imao obicaj, kad podje brodom na uzburkano more, da napise prijateljima dopisnicu: Resio sam Riemannovu hipotezu.
Hardy."
Posto se on segacio sa Bogom, mislio je da Bog nece da dozvoli da mu brod potone i tako Hardy, zezator, dobije vecnu slavu. Da bi ga kaznio, dakle, Bog bi ga sacuvao od smrti:)))


Lista Hardy-jevih neostvarenih želja:
1) Da dokaže Rimanovu hipotezu,
2) Da odigra savršenu partiju kriketa,
3) Da dokaže nepostojanje Boga,
4) Da bude prvi čovek na Mont Everestu,
5) Da bude proglašen za predsednika Sovjetskog saveza, Velike Britanije i Nemačke,
6) Da ubije Musolinija (?!).

Odličan tekst, preporuka i pozdrav za autora!
Btw, suma od milion dolara je SMEŠNO MALI IZNOS za rešenje problema. Rekao bih čak i da je iznos uvredljiv, bolje da su stavili neki simbolični iznos od jednog dolara.
Na stranu to što bi veliki broj matematičara prodao dušu đavolu samo da im se "zamanta" da dođu do rešenja Rimanove hipoteze...
nsarski nsarski 23:03 14.08.2008

Re: :)

Na stranu to što bi veliki broj matematičara prodao dušu đavolu samo da im se "zamanta" da dođu do rešenja Rimanove hipoteze...

Posto vidim da imam posla sa znalcem, evo i mojih two cents. Ja mislim da je put ka resenju da se uporede Riemannova hipoteza i Yang-Lee teorema o nulama particione sume. To su jedine dve teoreme za koje znam da tvrde nesto o lokaciji nula.
Buduci da ja, u najstrozoj tajnosti, radim nesto na Yang-Lee stvarima, mislim da je put u Jack-ovim i Mekdonaldovim polinomima - da sad pocinjem studije, ja bih se na to fokusirao (najzad pogledaj sta Australijanci - oni uz Baxtera rade). Riemannovu hipotezu ce da dokazu fizicari, ako je iko dokaze.

P.S. "U najstrozoj tajnosti" kazem, jer to radim na poslu gde me placaju da radim nesto drugo:)))
nsarski nsarski 00:08 15.08.2008

Re: :)

..samo da nađem Wallace Stevens i "The Idea of Order at Key West", pa će biti i - recitacija! :))


The sea was not a mask. No more was she.
The song and water were not medleyed sound
Even if what she sang was what she heard,
Since what she sang was uttered word by word.
nobody92 nobody92 22:55 15.08.2008

Ako moze,

Da se nekako docara ta veza izmedju nula zeta f-je i "novcica"...ili nije bas popularno?
Zasto iz prvog sledi ovo drugo...ili sam bas okasnio? :)
Tekst je boli glava!

P.S. U grcu cekam dokaz :()
Bili Piton Bili Piton 22:22 14.08.2008

Za nekog...



ko i dalje solidno barata osnovnim racunskim radnjama i jos uvek zna napamet tablicu mnozenja, ovo je doista visa matematika. U tom smislu apelujem da se i mene probudi kad se hipoteza resi. :))

Vrlo umesno (iako - nagadjam - ne u potpunosti adekvatno) poredjenje sa tzv. alikvotnim nizom u muzici - izraz "harmonijski/harmonicki tonovi" odavno je van upotrebe. Ono sto je takodje zanimljivo je da krivulja alikvotnog niza od osnovnog tona ka alikvotima (harmonicima) u prilicnoj meri podseca na gornji dijagram sa plavim tackicama. Matematika i muzika su u mnogo prisnijem srodstvu nego sto su mnogi spremni da priznaju.
nsarski nsarski 22:28 14.08.2008

Re: Za nekog...

ovo je doista visa matematika

Moram da priznam da sam se ovoga plasio kad sam pisao ovaj tekst. Ali, zaista nije nista posebno. R.H. samo kaze da se nule neke funkcije nalaze duz neke prave. To je sve. Istina, veoma zanimljive stvari proisticu iz te tvrdnje. Hvala na trudu, u svakom slucaju. (Poslednjih nekoliko paragrafa su, verujem, citljivi).
Bili Piton Bili Piton 22:44 14.08.2008

Re: Za nekog...

nsarski
Hvala na trudu, u svakom slucaju.


Pleasure. :)
nsarski nsarski 22:48 14.08.2008

Re: Za nekog...

Pleasure. :)

Hej, ali mozes na to da gledas i na ovaj nacin - ako makar imas neku ideju koji je najtezi problem na svetu, i sta je problem, to je vec super! Teze od toga ne postoji:))
Atomski mrav Atomski mrav 08:30 15.08.2008

Re: Za nekog...

Matematika i muzika su u mnogo prisnijem srodstvu nego sto su mnogi spremni da priznaju.

Kažu da je Bah bio najbolji matematičar među svim kompozitorima i najveći kompozitor među matematičarima. Navodno je pravio muzičke ekvivalente matematičkih jednačina i tako to...
Черевићан Черевићан 23:27 14.08.2008

чему трудноћа

Г Нсарски наравски намамистеме текстом те какао сам имао ноћас пола сата времена пробах дорећи ту заврзламу Риманову ал . . . .није ми ишло нешто и онда умоменту присетих се размишљања Шопенхауеровог . . . . 'Vidim kako raste piramida koju vi nijeste započeli, niti ćete je dovršiti! No, zar će poslednji radnik, koji ćese ponosno postaviti na njen vrh, biti veći od onoga, koji je postavio prvi kamen? Veći od arhitekte, koji je čitavu građevinu zamislio i izradio joj plan?'' . . . . те ладно одустах од покушаја ,сујетан какав сам по природи ииначе.
nsarski nsarski 23:52 14.08.2008

Re: чему трудноћа

није ми ишло нешто

G. Cher, zao mi je sto odustadoste (whew, what a word!). Formulacija RH je prosta (ukljucuje par tehnickih detalja), i mislim da je coveku potrebno vise pameti da svakodnevno zivi nego da RH razume - uz par tehnickih termina, da podvucem. Resenje, e to je vec druga stvar.
A opet mislim, ako smo u stanju da zivimo od jutra do sumraka, da se nosimo sa slucajnim problemima, nasumicno izabranim, koje nam zivot namece - pa mora da je lakse resiti RH. A, opet, eto niko jos nije uspeo:)))
Kad citam sve sto ima na blogu Mr. Chera, po stoti put sebi kazem - nije stvar pameti, stvar je uvida.
d j o l e d j o l e 14:40 15.08.2008

Re: чему трудноћа

No, zar će poslednji radnik, koji ćese ponosno postaviti na njen vrh, biti veći od onoga, koji je postavio prvi kamen?
... poslednji radnik ce imati tu privilegiju da padne sa najvece visine :))
gordanac gordanac 23:30 14.08.2008

rukopisi...

...koji plamte
(strana rada Riemann)
nsarski nsarski 23:54 14.08.2008

Re: rukopisi...

Da, to je verovatno najslavniji tekst pisan u matematici, pored Euklidovih Elemenata.

Nezgoda sa RH je sledeca. Ako se secas, Poincareova pretpostavka je jasnija jer ona kaze nesto o geometriji prostora, o stvarima koje svi odmah vidimo, ili vizuelno zamisljamo, odjednom. RH ima mnogo pisanih formula, ali je, zapravo, mnogo konkretnija od Poincarea.
Ali, znas, to ti je kao kad coveku koji voli muziku, i razume se u muziku, pokazes note neke pesme, a on ne cita note! Zamisli nekog bluz genija iz New Orleansa, koji sve o muzici zna, ali nikad note nije naucio. E, ovo je tako. Ova muzika se bez nota ne moze pokazati.
Ima jedan sajt, treba da ga ponovo nadjem, gde se moze cuti muzika nula zeta-funkcije. Kad ga nadjem, postavicu!

Evo animacije gde se aproksimira stepenasta funkcija pomocu prvih 100 nula Riemanove zeta-funkcije

NNN NNN 00:29 15.08.2008

Re: rukopisi...

coveku koji voli muziku, i razume se u muziku, pokazes note neke pesme, a on ne cita note! Zamisli nekog bluz genija iz New Orleansa, koji sve o muzici zna, ali nikad note nije naucio.

Mislim da je BB King rekao nešto kao "Kad bih se ponovo rodio, sve bih isto uradio, samo bih, možda, završio neku muzičku školu".
NNN NNN 00:20 15.08.2008

Hvala

na popularizaciji nauke ( vi ste Branko Kockica za odrasle :))))!
nsarski nsarski 00:48 15.08.2008

Re: Hvala

NNN
na popularizaciji nauke ( vi ste Branko Kockica za odrasle :))))!

Zamisli! A ne zovem se Branko:))))
Hvala!
jesen92 jesen92 00:26 15.08.2008

jedno glupo pitanje

...al nije mi nezgodno.:))..Sta je sa brojem jedan, zar i on nije prost broj?
nsarski nsarski 00:47 15.08.2008

Re: jedno glupo pitanje

..al nije mi nezgodno.:))..Sta je sa brojem jedan, zar i on nije prost broj?

Odlicno pitanje!!!
Jedno vreme je 1 racunat kao prost broj, ali se posle od toga odustalo. Zato je definicija postala "deljiv sa samim sobom i jedinicom". Jednostavnije je iz tehnickih razloga.
jesen92 jesen92 01:19 15.08.2008

Re: jedno glupo pitanje

Zato je definicija postala "deljiv sa samim sobom i jedinicom". Jednostavnije je iz tehnickih razloga.
....ovo je ok iz tehnickih razloga ali mi i dalje nije jasno zasto se broj jedan preskace u nizu prostih brojeva kada i on nije deljiv ni sa jednim drugim brojem osim sa samimim sobom , jedino sto za njega ne mora da se kaze 'i jedinicom".....i jos nesto... da li se mnozenje jedinicom moze smatrati, na neki nacin, razlaganjem..?
gambit92 gambit92 02:10 15.08.2008

Re: jedno glupo pitanje

jesen92
Zato je definicija postala "deljiv sa samim sobom i jedinicom". Jednostavnije je iz tehnickih razloga. ....ovo je ok iz tehnickih razloga ali mi i dalje nije jasno zasto se broj jedan preskace u nizu prostih brojeva kada i on nije deljiv ni sa jednim drugim brojem osim sa samimim sobom , jedino sto za njega ne mora da se kaze 'i jedinicom".....i jos nesto... da li se mnozenje jedinicom moze smatrati, na neki nacin, razlaganjem..?


U ovo nisam siguran, ali kad bih nekom laiku probao da objasnim zasto ejdan nije prost broj, rekao bih da je jedan neutralan za mnozenje (kao sto je nula za sabiranje), tj. nije "neki" faktor...

Nisam cuo da je jedan "nekada" bio prost broj!
nsarski nsarski 02:25 15.08.2008

Re: jedno glupo pitanje

Nisam cuo da je jedan "nekada" bio prost broj!


There was a time that many folks defined one to be a prime, but it is the importance of units and primes in modern mathematics that causes us to be much more careful with the number one (and with primes). When we only consider the positive integers, the role of one as a unit is blurred with its role as an identity; however, as we look at other number rings (a technical term for systems in which we can add, subtract and multiply), we see that the class of units is of fundamental importance and they must be found before we can even define the notion of a prime. For example, here is how Borevich and Shafarevich define prime number in their classic text "Number Theory:"

An element p of the ring D, nonzero and not a unit, is called prime if it can not be decomposed into factors p=ab, neither of which is a unit in D.

Sometimes numbers with this property are called irreducible and then the name prime is reserved for those numbers which when they divide a product ab, must divide a or b (these classes are the same for the ordinary integers--but not always in more general systems). Nevertheless, the units are a necessary precursors to the primes, and one falls in the class of units, not primes.

Dakle, to je bilo u vreme kada teorija grupa jos nije bila poznata, i ideja "unita" nije bila poznata u group-theoretic sense.
gambit92 gambit92 02:39 15.08.2008

Re: jedno glupo pitanje

There was a time that many folks defined one to be a prime, but it is the importance of units and primes in modern mathematics that causes us to be much more careful with the number one (and with primes).


Prilicno popularan pristup... a nekada su ljudi mislili da je zemlja ravna ploca. Ali necemo o tome, hajde da se ujedinimo i da maznemo milion dolara, kad je vec Bin Laden nedostupan.
nsarski nsarski 03:03 15.08.2008

Re: jedno glupo pitanje

Ali necemo o tome, hajde da se ujedinimo i da maznemo milion dolara

Ja tipujem na Yang-Lee i Mekdonaldsove polinome, i u tom pravcu se trudim za sada:)))
medjutim92 medjutim92 12:38 15.08.2008

Re: jedno glupo pitanje

jesen92
Zato je definicija postala "deljiv sa samim sobom i jedinicom". Jednostavnije je iz tehnickih razloga.
....ovo je ok iz tehnickih razloga ali mi i dalje nije jasno zasto se broj jedan preskace u nizu prostih brojeva kada i on nije deljiv ni sa jednim drugim brojem osim sa samimim sobom , jedino sto za njega ne mora da se kaze 'i jedinicom".....i jos nesto... da li se mnozenje jedinicom moze smatrati, na neki nacin, razlaganjem..?


aj da probam da lupim..

kad bi 1 bio prost broj, onda bi postojalo beskonacno mnogo proizvoda prostih brojeva kojima bi se mogao predstaviti neki broj, i nema jedinstvenosti. recimo, 4 = 2*2 = 1*2*2 = 1*1*2*2..

s druge strane, ako je prost broj deljiv nekim drugim prostim brojem, da li bi onda bio prost? Onda bi trebalo praviti rogobatnu definiciju, u najboljoj matematicarskoj tradiciji..

Lakse ovako :)
nsarski nsarski 16:03 15.08.2008

Re: jedno glupo pitanje

s druge strane, ako je prost broj deljiv nekim drugim prostim brojem, da li bi onda bio prost?

Ako je prost onda nije deljiv. Ako je deljiv onda nije prost. Ne razumem tu "definiciju" - but I like the way you are thinking:))
To je kao kad bi rekli: "ako je mrtav covek ziv, onda da li je on mrtav ili ziv?"
gordanac gordanac 00:26 15.08.2008

---



Hilbert's address of 1900 to the International Congress of Mathematicians in Paris is perhaps the most influential speech ever given to mathematicians, given by a mathematician, or given about mathematics. In it, Hilbert outlined 23 major mathematical problems to be studied in the coming century. Some are broad, such as the axiomatization of physics (problem 6) and might never be considered completed. Others, such as problem 3, were much more specific and solved quickly. Some were resolved contrary to Hilbert's expectations, as the continuum hypothesis (problem 1).

About Hilbert's address and his 23 mathematical problems

Transkript Hilbert obraćanja - Riemann Hypothesis (prime numbers) je naravno - broj 8 :))))

braindead braindead 00:27 15.08.2008

Sjajan tekst (kao i uvijek)

Ako sam dobro shvatio, Riemannova hipoteza (ako je tačna) dokazuje da se prosti brojevi u nizu prirodnih pojavljuju na predvidiv način.

Ako je Rimanova hipoteza tačna onda je ona gore formula o rasporedu prostih brojeva na brojnoj osi tačna. A to znaci da mi možemo da predvidimo pojavu sledećeg prostog broja na brojnoj osi sa pouzdanosću koja je ista kao i kod bacanje novčića.


Ako Riemannova hipoteza nije tačna onda ovo predvidjanje ne važi, i prosti brojevi su rasporedjeni na mnogo više neuredjen način. Drugim rečima, ovo znači da postoji negde numerički beskraj u svemiru brojeva gde su naša osnovna razumevanja o prostim brojevima netačna, i gde su ekstremno retki dogadjaji češće mogući.


E sad pitanje, koja je razlika izmedju svjetova A i B? (Riemann tačan/netačan)
Da li se te razlike završavaju samo na toj nepredvidivosti njihovog pojavljivanja ili postoji praktičan aspekt dokazivanja tačnosti hipoteze?

Znam da sam pitanje užasno formulisao, a zanima me, u stvari, da li su zakoni fizike ili pravila statistike različita u svjetovima A i B? Da li možemo praviti bolje kompjutere ili svemirske letilice u svijetu A ili B?
nsarski nsarski 00:39 15.08.2008

Re: Sjajan tekst (kao i uvijek)

da li su zakoni fizike ili pravila statistike različita u svjetovima A i B

Pravila su ista, samo sto je drugi svet - tamo gde RH nije tacna - mnogo manje predvidljiv.
Prvo, to se odrazava na ponasanje ekstremno velikih brojeva, ako bi tako bilo. Opet, u fizici se zna da se na ekstremnim rastojanjima (velikim ili malim) stvari pokoravaju drugacijoj logici. Mikro svet je bizaran svet kvantne mehanike i supljikavog prostora - tu cestica moze da nastane iz vakuma, ili nicega. Makro svet (kosmos) je bizaran svet singulariteta i crnih rupa - tu stvari nepovratno mogu da isceznu bez traga. Da li je matematika velikih kolicina na slican nacin bizarna?
Filip2412 Filip2412 19:17 15.08.2008

Re: Sjajan tekst (kao i uvijek)

Makro svet (kosmos) je bizaran svet singulariteta i crnih rupa - tu stvari nepovratno mogu da isceznu bez traga. Da li je matematika velikih kolicina na slican nacin bizarna?


Koliko su pouzdani nasi matematicki modeli beskonacnog?
Nekako mi se cini da ipak govorimo o prostoru u koji nikada ne mozemo stici... jer je beskonacno daleko pa se na kraju ipak sve svede na ocekivanje i relativno cvrstu pretpostavku.

PS
ej stvarno se trudis ovde covece mislim da si zasluzio platu od ministarstva za obrazovanje...
Branko Kockica za odrasle sto rece neko. Ja sam matematiku imao kroz celo skolovanje i fakultet ali kaaaamo srece da su predavaci bili tako nadahnuti.
nsarski nsarski 19:28 15.08.2008

Re: Sjajan tekst (kao i uvijek)

Koliko su pouzdani nasi matematicki modeli beskonacnog?

Po tome se, izmedju ostalog, svet matematike i svet fizike razlikuju. U fizickom svetu nema niceg beskonacnog. Ima veoma velikih velicina (rastojanja, vremena), ali nista nije beskonacno, malo ili veliko. Mi, recimo, verujemo da su zakoni fizike isti u svakom delu kosmosa. To ne mozemo da dokazemo, ali to je najprirodnija (Occamova) pretpostavka. Da bi istinski utvrdili da li je to tako, mi bi, u sustini, trebali nekako da dospemo do svih krajeva kosmosa i fizickim merenjima utvrdimo. Ocevidno, u tome smo ograniceni.
U matematici to nije slucaj. Mi znamo pouzdano da za pravougli trougao, bez obzira koliko su mu velike stranice - proizvoljno velike, mnogo mnogo googola velike - i dalje vazi Pitagorina teorema, ili da je zbir njegovih uglova 180, itd.
U matematici postoji limiting proces - beskonacno velike ili beskonacni mali limiti - i zakoni matematike se u tom limitu ne menjaju.
Ako posmatramo fizicke procese na manjim i manjim skalama (ili vecim i vecim), neki zakoni prestaju da vaze, i drugi postaju aktuelni. Prelazak iz makro u mikro svet nije monoton, bez obzira na cuvenu izreku natura non facit salta. Facit, bogami, i te kako!
Srboskeptik Srboskeptik 00:35 15.08.2008

Sedam, sedam e pa šta je?

Osobina "prost broj" se nalazi su samoj suštini naših predstava o količinama. Na primer, mi možemo da zamislimo kosmos, ili svet, u kome je gravitaciona sila slabija od ove koja vlada u našem kosmosu, ili svet u kome je brzina svetlosti veća nego što je u našem svetu, ali nam je nemoguće da čak i zamislimo svet u kome broj 7, na primer, ne bi bio prost.


Ovo nije tačno!
Pre više decenija u Petoj Bgd. Gimnaziji profesor fizičkog bio je legendarni čika Dule(Stevanović?). Kada je neko imao poštedu, čika Dule bi ga koristio da glasno broji rezultat odbojke. Za rezultat 7:7, moralo se reći Zieben-Zieben (nemački). Ako se neko od nas prevario i rekao: sedam-sedam , čika Dule bi ga dočekao: A na šta sedaš?

Eto tako, broj 7 je prost na srpskom i još nekim slovenskim jezicima ali je naprimer na nemačkom jedan jako pristojan broj. Žao mi je što ovaj moj doprinos osvetljavanju problema Reimannove hipoteze ne mogu ilustrovati nekim grafikonom. Zaturili mi se lenjir i šestar negde u prostoru Lobačevskog, malo udesno od Albuquerque-ja. Sorry.
nsarski nsarski 00:41 15.08.2008

Re: Sedam, sedam e pa šta je?

naprimer na nemačkom jedan jako pristojan broj

Dobro, ali zato na nemackom broje - ajn, cvaj, draj, fir, finf, schuldigen, zieben,....
6 im je jako prost broj.
Unfuckable Unfuckable 00:39 15.08.2008

ok, Profesore

Da bi znali u kojem od ovih svetova živimo potrebno je da rešimo najteži problem na svetu


mene zanima tvoje mišljenje : u kojem od svetova živimo ?
nsarski nsarski 00:44 15.08.2008

Re: ok, Profesore

Unfuckable
Da bi znali u kojem od ovih svetova živimo potrebno je da rešimo najteži problem na svetu


mene zanima tvoje mišljenje : u kojem od svetova živimo ?

OK, unf, meni sve izgleda da je RH tacna, dakle u "pitomom" svetu.
Volter kaze "zivimo u najboljem od svih svetova, i sve sto se desilo najbolje je sto se moglo desiti".
Iskreno, tako mislim, al opet, I dunno - postoji i Borhes.
Unfuckable Unfuckable 00:56 15.08.2008

Re: ok, Profesore

dakle u "pitomom" svetu.


da znaš, i meni se, ponekada tako čini....
- nego, vrućina ....
pape92 pape92 01:26 15.08.2008

Re: ok, Profesore

I Marks, drugovi, koji kaže da živimo u jedinom mogućem od svih svetova, i da je ono što se dešava jedino moguće što se može desiti.

Priželjkujem da odgovor na najteže pitanje donese i onaj koji se tiče sinhroniciteta. Prvo što mi je palo na um kad sam pročitao tvoj tekst je sinhronicitet, koji se takođe može definisati kao oblast neverovatnog u svetu verovatnog.

Drugo što mi je palo na pamet je reklamiranje sopstvenog blog teksta na približno slično svarljivu temu kao što je matematika - jazz. Mogao bih i za matematiku da parafraziram ono što govore o džezu: ljudi neće drugačiju matematiku, ljudi hoće manje matematike :)
Uspeva ti da, drugačijom matematikom, ipak opovrgneš ovo, bar ponegde: vidim i nematematičare kako komentarišu, uz to potpuno smisleno. Čestitam.

Zapravo je ovo bilo drugo i treće što mi je palo na pamet. Prvo su razgovori sa mojom sestrom, koja je ozbiljan, profesionalno istraživački matematičar. Kada ljudi razumeju koliko je matematika lepa, prosto se zaljube u njene vrtloge. Ja i danas, kad se unervozim uzmem pa rešavam Veneovu zbirku, iz istih razloga iz kojih je pokojna baka radila goblene.
nsarski nsarski 01:35 15.08.2008

Re: ok, Profesore

Ja i danas, kad se unervozim uzmem pa rešavam Veneovu zbirku, iz istih razloga iz kojih je pokojna baka radila goblene.

Apsolutno! To je kao kikiriki - ne mozes da ostavis.
A kad je dzez u pitanju, to je posebna stvar. Mislim da su dzezeri (i muzicari uopste) veoma slicni matematicarima - njima radi neki deo mozga koji je nama obicnima uspavan. Za pocetak, pogledaj ovaj sajt Neural Substrates of Spontaneous Musical Performance: An fMRI Study of Jazz Improvisation.
Ja sam se dugo mislio da napisem nesto o tome, ali sam odustao. Muzika je nesto sto volim, ali note ne umem da citam:)
pape92 pape92 01:55 15.08.2008

Re: ok, Profesore

U-u-uff. Ovo je stvar koju su pokušala, ne znam sa kojim znanjem i na koji način stečenim (to je bio pre imterneta), da koriste moja dva drugara muzičara da prave jazz kompozicije. Ne znam da li se radilo baš o ovim postavkama matematičkim ili o nekim drugim, ali znam da je bubnjar bio na granici strpljenja. Na kraju nije došao na snimanje, i projekat je propao. Posle mi je pričao o ‚‚onim ludacima‚‚ što na probe donose matematičke formule. Možda je nešto od te muzike najzad i snimljeno...
Bili Piton Bili Piton 02:38 15.08.2008

Re: ok, Profesore

pape92
Možda je nešto od te muzike najzad i snimljeno...


Snimljeno je dosta muzike koja je - apparently - u direktnoj vezi sa matematikom. Grcki savremeni kompozitor Janis Ksenakis je cak o tome objavio i knjigu (mislim da se upravo tako i zove, Muzika i matematika ili tako nekako). On za svoju muziku i inace tvrdi da je cista matematika.

Nisam nazalost to procitao niti sam pregledao njegove partiture, slusao sam neke kompozicije - onako odokativno (oduhativno) ne mogu da kazem da prepoznajem neke medjuzakonitosti, cak ni u cisto tehnicko-formalnom smislu (mnogo je, na prvi pogled bar, "matematickiji" Filip Glas, o Bahu da i ne pricamo). Ono sto je bitno je da je to sto sam od Ksenakisa slusao zanimljiva, originalna i cesto vrlo uzbudljiva muzika. Sto se mene tice moze da bude u direktnoj vezi i sa molekularnom biologijom, dokle god pokrece i ima smisla.


dragan7557 dragan7557 09:48 15.08.2008

Re: ok, Profesore

nsarski
Ja i danas, kad se unervozim uzmem pa rešavam Veneovu zbirku, iz istih razloga iz kojih je pokojna baka radila goblene.

Apsolutno! To je kao kikiriki - ne mozes da ostavis.
A kad je dzez u pitanju, to je posebna stvar. Mislim da su dzezeri (i muzicari uopste) veoma slicni matematicarima - njima radi neki deo mozga koji je nama obicnima uspavan. Za pocetak, pogledaj ovaj sajt Neural Substrates of Spontaneous Musical Performance: An fMRI Study of Jazz Improvisation.
Ja sam se dugo mislio da napisem nesto o tome, ali sam odustao. Muzika je nesto sto volim, ali note ne umem da citam:)


nsarski onda pročitaj sledeće :

Gödel, Escher, Bach, an eternal golden braid.- New York : Basic Books 1979
ISBN 90-254-6643-5
Tref reči, : sibolička logika/ art.inteligencija/ matematika

Monumentalno delo i dan danas. Nešto manje od 1.000 strana izuzetne lepote razmišljanja u kome muzika nalazi svoje pravo mesto jednog od "jezika" izražavanja pored ostalog spominju se u vezi sa Church-Turing tezom melodije (pisane matematičkim formulama) indijskog matematičara Srinivasa Ramanujan.
Jedna od najboljih knjiga koje sam ikada pročitao, i na koju se uvek ponovo vraćam svakih nekoliko godina.
dragan7557
15.08.2008
Jaril Jaril 09:48 15.08.2008

Re: ok, Profesore

Sto se mene tice moze da bude u direktnoj vezi i sa molekularnom biologijom,
У савременој музичкој теорији се каже да ниједна теорија не може да буде прихваћена док прво не прође математички тест. А онда је Поповић закомликовао ствари уводећи у музичку теорију појмове из физике, као што су: гравитација, термо-динамика, ентропија... тако да би се нсарски и горданац много боље снашли у његовим теоријама него ми музичари. Онда сам ја једно време, тотално се спрдајући, мотивске промене звао изотопима, да бих онда скапирао да то и није баш спрдња.

Горданац је једном рекла да верује да се све може изразити некаквом формулом. Музика СИГУРНО може. Већ неколико година ја верујем да је музика терен на коме се сусрећу природне и друштвене науке и средство за превођење једних у друге. А то ме плаши. )

И нису за џабе музику у Ренесанси сматрали науком. Ко трага за математиком у музици, најочигледније ће је наћи управo у музици 15ог и 16ог века.
dragan7557 dragan7557 10:02 15.08.2008

Re: ok, Profesore: erata


Gödel, Escher, Bach, an eternal golden braid.- New York : Basic Books 1979
ISBN 90-254-6643-5
Tref reči, : sibolička logika/ art.inteligencija/ matematika



Autor : Douglas R. Hofstadter

dragan7557
maksa83 maksa83 10:40 15.08.2008

Re: ok, Profesore

Ne znam da li se radilo baš o ovim postavkama matematičkim ili o nekim drugim, ali znam da je bubnjar bio na granici strpljenja. Na kraju nije došao na snimanje, i projekat je propao. Posle mi je pričao o ‚‚onim ludacima‚‚ što na probe donose matematičke formule. Možda je nešto od te muzike najzad i snimljeno.


Postoji mathrock živ-je-umro-nije, ja ne bih znao da tako nešto postoji kao kategorija da neko (mislim Spiridon) nije bacio neki jutjub spot pre neku nedelju: Foals - Olympic Airlines. Meni dobro zvučalo.
maksa83 maksa83 10:43 15.08.2008

Re: ok, Profesore: erata

Gödel, Escher, Bach, an eternal golden braid.- New York : Basic Books 1979
ISBN 90-254-6643-5
Tref reči, : sibolička logika/ art.inteligencija/ matematika


Ja bih se pridružio preporuci ove knjige bilo kome imalo zainteresovanom za veze ovih stvari.
Kad god čitam šta nsarski piše pomislim kako je super što mi imamo našeg ličnog :)) Daglasa Hofštetera. Druga asocijacija mi je Richard Feynman koji je doduše bio malo fokusiraniji na fiziku.
nsarski nsarski 15:50 15.08.2008

Re: ok, Profesore: erata

Autor : Douglas R. Hofstadter

Hvala na preporuci! Ipak, davno smo to procitali, naravno. Ja znam grupu u Bg. koja ljude deli na one koji su citali GEB, i one koji nisu...
dragan7557 dragan7557 20:51 15.08.2008

Re: ok, Profesore: erata

nsarski
Autor : Douglas R. Hofstadter

Hvala na preporuci! Ipak, davno smo to procitali, naravno. Ja znam grupu u Bg. koja ljude deli na one koji su citali GEB, i one koji nisu...

nsarski,
jel' ovo šala ili .........??
dragan7557
gordanac gordanac 01:13 15.08.2008

i još...

..jedna pesmica :))

CLICK! :)
nsarski nsarski 01:28 15.08.2008

Re: i još...

gordanac
..jedna pesmica :))

CLICK! :)

Ovo je dobro!
Ali ima jedan sajt gde se nalazi direktno zvuk prostih brojeva - u pitanju je Mellinova transformacija koja na intervalima gde ih nema bude bez zvuka, a tamo gde se pojave pusti harmonik...
Ma naci cu ga.
pape92 pape92 01:32 15.08.2008

Re: i još...

Ubacio je i Monka u stvar (klavirska pratnja). Jazz i matematika, divan par.
gordanac gordanac 01:34 15.08.2008

:)

Znam
I imala sam link - ali ne mogu da pronađem ni ja :))))

EDIT:

Marcus de Sautoy
The Music of the Primes Open2Net
gordanac gordanac 01:55 15.08.2008

:)))

.mislim da je OVO:
music of the primes
CLICK! :))

(na meniju s desna može još svašta da se bira ...)
pape92 pape92 02:01 15.08.2008

Re: :)))

OK - iz matematike smo dobili muziku. Nemoj samo da bi mi na moj blog došao neko i od muzike napravio matematiku :)
nsarski nsarski 17:10 15.08.2008

Re: :)))

pape92
OK - iz matematike smo dobili muziku. Nemoj samo da bi mi na moj blog došao neko i od muzike napravio matematiku :)

Evo ga, nasao sam jedan sajt gde se cuje muzika Riemannovih nula!

CLICK
miki21g miki21g 01:55 15.08.2008

Da li bi se dokaz

Riemannove hipoteze mogao iskoristiti u ruletu, npr. da se odredi kad ce da padne na crno a kad na crveno ili nulu . Ima jos jedan problem koji je bio neresiv kad sam se ja bavio matisom u skoli, a to je da se nadje nacin da se ugao konstrukcijkski podeli na 3 dela ili na 5 ili na ....( prost broj ) delova valjda su to dosad smislili kako da urade, a tek sta bese zlatni presek ....
nsarski nsarski 02:21 15.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

nadje nacin da se ugao konstrukcijkski podeli na 3 dela

Davno je dokazano da je trisekcija ugla pomocu lenjira i sestara neresiv problem. To sledi iz jos iz Galoisovih studija o resivosti polinomskih jednacina.
maksa83 maksa83 10:48 15.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

Davno je dokazano da je trisekcija ugla pomocu lenjira i sestara neresiv problem.


Znam jednog profana sa PMF-a koji mi se žalio da im tamo i pored toga malo-malo pa dođu "trisektaši" (tako on zove te što su to "rešili" - izgleda da ih ima dovoljno da zavrede ime
Atomski mrav Atomski mrav 11:18 15.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

Kako su uspeli da dokažu uz pomoć polinoma da je problem iz geometrije nerešiv???
jacHa. jacHa. 11:31 15.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

Davno je dokazano da je trisekcija ugla pomocu lenjira i sestara neresiv problem. To sledi iz jos iz Galoisovih studija o resivosti polinomskih jednacina

Pre desetak godina izvesna nastavnica matematike iz Beograda je preko cele strane u nedeljnom dodatku Magazin iz Politike imala članak kojim objašnjava, korak po korak, postupak "trisekcije" ;-) Ne sećam se njenog imena, davno je bilo. Njen postupak trisekcije, istina je: deli ugao na tri dela, samo što je previdela da su nejednaki. Avaj!
Spominjan je i golemi dokaz koji je pripremala za štampu. Redakcija je verovatno primenjujući mehanizam dokazivanja poznat kao "sa slike se vidi" (u narodu poznat i kao "očevidna" ili "šac" metoda) uvidom u njen crtež procenila da se radi o velikoj istini i genijalnom otkriću, te isto objavila sa sve atraktivnim naslovom.
Ne čuh više ništa o dotičnoj nastavnici i njenom delu, ali ni o demantiju ne nađoh traga.
Dokaz o nemogućim konstrukcijama trisekcije ugla, duplikacije kocke i kvadrature kruga pripada planom i programom predviđenom gradivu na predmetu Algebra I na Matematičkom fakultetu u Beogradu. Pa se čak i kroz još kojekakve predmete provlače neobične krive u ravni čije su jednačine dobijene upravo rešavanjem ovih antičkih problema. Eto...
jacHa. jacHa. 11:46 15.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

Kako su uspeli da dokažu uz pomoć polinoma da je problem iz geometrije nerešiv???


Nesvodljivost polinoma trećeg stepena nad poljem racionalnih brojeva
Atomski mrav Atomski mrav 13:23 15.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

Au, majku mu pa to čak i zvuči poznato! Da, da... zato smo mi polagali algebru i analitičku geometriju alles zusamen
nsarski nsarski 16:00 15.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

Atomski mrav
Au, majku mu pa to čak i zvuči poznato! Da, da... zato smo mi polagali algebru i analitičku geometriju alles zusamen

Ma prosto je. Gledaj, razlozis cos(3x) na
cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x).
OK, sada. Znamo cos(3x), to je ugao koji hoces da triseciras. cos(x) je ono sto ti treba, zovimo ga Y. Gornja jednacina postaje
4Y^3-3Y-cos(3x)=0
Ova jednacina nije svodljiva u skupu racionalnih brojeva, u opstem slucaju.
Konkretno, neka je ugao koji xoces da podelis na tri dela=120 stepeni.
U tom slucaju cos(120)=-1/2, i gornja jednacina postaje
8Y^3-6Y+1=0
Ova jednacina nema racionalna resenja i, dakle, ona se ne mogu konstruisati lenjirom i sestarom.
jack_bauer jack_bauer 04:13 16.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

Davno je dokazano da je trisekcija ugla pomocu lenjira i sestara neresiv problem.

petak uvece a ja resavam neresive probleme (dok cekam plivanje i tenis:))

ako sam dobro razumeo, trisekcija je podela ugla na tri jednaka dela geometrijskim putem. meni je nacrtna geometrija mladalacka strast (od matematike bezim ko djavo od krsta) pa mi je na pamet palo jedno resenje:



ne zamerite, crtano je uglavnom slobodnom rukom :))

naime, ako zamislimo proizvoljni ugao sa temenom u tacki A, pa na njegove krake nanesemo kruzni segment proizvoljnog poluprecnika, ca centrom u temenu ugla A, dobicemo tacke B i C.

kroz njih provlacimo tetivu ugla za tacke B i C.

sledeci korak je podela duzi BC na tri jednaka dela geometrijskom metodom podele duzi: iz tacke B nacrtamo nasumicnu polu-pravu liniju (a) i na nju nanesemo sestarom proizvoljnog koraka tri jednaka segmenta koji ce nam odrediti tacke D, E i F.

zatim, povucemo liniju koja spaja tacke F i C, a onda, paralelno ovoj liniji, linije iz tacke E u presek sa tetivom E1 i D u D1 (podela duzi na 'n' jednakih delova).

zar linije povucene iz temena A kroz tacke E1 i D1 ne dele ugao na tri jednaka dela?
nsarski nsarski 10:42 16.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

Hehe, nice try:)))
Trisekcija ugla znaci podeliti lucni segment BC na tri jednaka dela, a ne tetivu BC. Tada su tetive nad tako dobijenim lucnim segmentima jednake, pa su, dakle, i uglovi sa temenom u A jednaki.
Uostalom, napisi kosinusnu teoremu za trouglove ABD1 i AD1E1, pod pretpostavkom da su duzine BD1 i D1E1 jednake (prema konstrukciji one jesu).
Drugi nacin da to vidis lakse je da posmatras ugao koji umemo da podelimo na 3 dela - prav ugao - jer znamo da konstruisemo ugao od 30 stepeni. Uzmes pravougli trougao (90, 45,45), iz pravog ugla nacrtas dva zraka od pod uglovima 30 i 60, i proveri da li seku hipotenuzu na tri jednaka dela (svaki duzine sqrt(2)/3). Konkretno dobices da je duzina DB1=CE1=.5176380903, D1E1=.3789373820, i naravno DB1+CE1+D1E1=sqrt(2), kako i treba.
jack_bauer jack_bauer 17:17 16.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

podeliti lucni segment BC na tri jednaka dela, a ne tetivu BC

tacno, znao sam da postoji neki catch. malo sam zahrdjao, ali ni moj metod nije tako los za nas gradjevince, mi smo u fazonu - te male razlike ce popraviti moleri :))
nsarski nsarski 18:15 16.08.2008

Re: Da li bi se dokaz

te male razlike ce popraviti moleri :))

Haaaahaaaaa!
-Dobro, majstori, zasto vam je ona linija kod plafona onako kriva?
-Hik, nista ne brin'te, gospodjo, to ce se ispravi, samo da se osusi!
Milan M. Ćirković Milan M. Ćirković 03:02 15.08.2008

Sjajno!

Dakle, sjajan tekst, nema sta. Jedino sto mozda ne proizlazi iz samog teksta jeste utisak koliko je zapravo RH tezak problem. Pojedini veliki savremeni matematicari koji su se bavili upravo teorijom brojeva (Vinogradov, cini mi se i Baker, i jos poneki) su eksplicitno odbijali da se bave istom jer su smatrali da se radi o tracenju vremena, s obzirom na poslovicnu "deceniju pripreme" da bi se uopste i pocelo to ozbiljno resavati, uz ekstremno malu verovatnocu da se do uspeha dodje. Nesto slicno tome je rekao i Paul Erdos, iako je on sam dao najlaksi dokaz veze prostih brojeva i Riemannove funkcije... Cak u AI krugovima postoji i polu-saljiv termin "Riemann hypothesis catastrophe" kao oznaku za probleme koji bi nastali kad bi se pravoj AI masini zadao ovako tezak problem sa najvisim prioritetom...
nsarski nsarski 03:06 15.08.2008

Re: Sjajno!

Nesto slicno tome je rekao i Paul Erdos, iako je on sam dao najlaksi dokaz veze prostih brojeva i Riemannove funkcije.

Haha, ali Erdosu se pripisuje i sledeca izjava: "Ajnstajn je rekao da se Bog ne kocka, ali kad je rec o prostim brojevima tu nismo nacisto".
RH je resiv problem, u to sam ubedjen. Samo ga treba gledati iz druge perspektive.
Milan M. Ćirković Milan M. Ćirković 03:10 15.08.2008

Re: Sjajno!

Eh, ovo me bas motivise na jedno takoreci licno pitanje: zasto ljudi misle da su RH i druge stvari slicne prirode iz teorije brojeva resivi problemi, za razliku od teskih problema, recimo, teorije skupova ili topologije gde je za mnoge pokazano - poput hipoteze kontinuuma - da su neresivi unutar standardnog aksiomatskog sistema? Da li to ima veze sa aksiomatskom strukturom teorije brojeva ili se radi samo o ljudskoj intuiciji koja nam "naivno" sugerise da su nam brojevi nekako jasniji nego slozenije strukture?
nsarski nsarski 03:48 15.08.2008

Re: Sjajno!

zasto ljudi misle da su RH i druge stvari slicne prirode iz teorije brojeva resivi problemi

Pa, ja licno, mislim da je zato sto RH ima neku duboku vezu sa fizickim problemima koji su teski, ali resivi. Konkretno GUE, random matrice, bilijari i Yang-Lee su, ja mislim, resivi pod odredjenim okolnostima.
Neki od ovih problema nisu resivi standardnim metodima ili na elementaran nacin. U nekim slucajevima ovo moze i da se dokaze.
U drugim slucajevima, novi rezultati (recimo Wilesa) jos nisu ozbiljno upotrebljeni koliko znam.
Dakle, nije samo u pitanju leap of faith - novi uvidi stvaraju nove mogucnosti.
Krace reseno, moja filozofija je sledeca: ako nije dokazano da je problem neresiv, onda cu smatrati da je resiv. Niko jos nije dokazao da je RH neresiva. QED.:))))
bekasa bekasa 04:16 15.08.2008

Rešenje

Nsarski, meni totalnom laiku ova Riemannova hipoteza, na prvo čitanje, miriše na ono sto je Gedel mislio u svojoj teoremi: postoje istine koje je nemoguće dokazati. Ovo verovatno nema veze jedno sa drugim, ali može da posluži kao opravdanje.

Često kad vidim matematičke formule meni Gedel pada na pamet, ne znam zašto.

Hvala za tekst!

Pozdrav + preporuka
nsarski nsarski 04:23 15.08.2008

Re: Rešenje

Hvala za preporuku! Posebno je vredna kada dolazi od totalnog laika, da upotrebim tvoj opis, nemajuci pojma o kome se radi. Ali, gledaj na to ovako: kazes
postoje istine koje je nemoguće dokazati.

kako onda znas da su istine? Mislim, kojim delom mozga/tela to covek zna samtako bez dokaza?
Da budem jos direktniji, ja takodje mislim da postoje "istine", ali ne matematicke prirode, koje su tacne, ali im dokaz ne treba. Ja ih zovem poetske - mozda mislimo na istu stvar.
Ostalo covek moze da dokaza ili ne dokaze. Simple as that. Tako ja mislim.

Milan M. Ćirković Milan M. Ćirković 05:07 15.08.2008

Re: Rešenje

nsarski

postoje istine koje je nemoguće dokazati.

kako onda znas da su istine? Mislim, kojim delom mozga/tela to covek zna samtako bez dokaza?
Da budem jos direktniji, ja takodje mislim da postoje "istine", ali ne
matematicke prirode, koje su tacne, ali im dokaz ne treba. Ja ih zovem
poetske - mozda mislimo na istu stvar.
Ostalo covek moze da dokaza ili ne dokaze. Simple as that. Tako ja mislim.

Heh, ali nece biti bas toliko jednostavno. ;o)) Ti si, prijatelju, vidim formalista -- verujes da je istinitost isto sto i dokazivost. Ali sam Gedel recimo to nije bio (kao ni vecina *velikih* matematicara u poslednjih stotinak godina, osim Hilberta) -- i on je insistirao na tome da je istinitost "jaca" od dokazivosti. Slicno su verovali/veruju i drugi znamenitiji platonisti (Cohen, Wang, Penrose, pa i Bertrand Rasel u mladjim danima), da ne govorim o Gedelovim nastavljacima poput Turinga, Chaitina, Caludea, etc. Cak i ako odbacimo Gedelovu viziju o platonistickom "landscapeu" matematike koji se istrazuje kao nesto vec postojece nezavisno od coveka i ljudskih matematicara kao suvise "misticnu" (mada je meni licno jako bliska), ostaje cinjenica da, kao sto je Cohen sugerisao kada je predlozio dodatni aksiom koji bi ucinio hipotezu kontinuuma ocigledno laznom, postoje takve modifikacije aksiomatskog sistema koje su "nesumnjivo prirodnije" od alternativnih, te shodno tome one redefinisu sta je dokazivo, a sta ne -- a bilo bi odvise pretenciozno tvrditi da se time redefinise sam koncept istinitosti. Tako da mi se cini da nije to bas tako jednostavno pitanje -- ti pristupas tome sa pragmaticne, fizicke strane, ali mi se cini da ne mozes da utemeljujes najopstije zakljucke na takvom pragmatizmu sve dotle (dakle privremen caveat!) dok ne dobijemo odgovor na pitanje zasto su samo neke matematicke strukture realizovane u fizickom svetu, a 99,999...% njih nije (dakle ono o cemu su se pitali Wigner, Einstein i drugi, u novije vreme jako lepo Pol Dejvis). Dakle dok neka buduca objedinjena teorija (ako ikad) ne da odgovor na to pitanje, mislim da je tvrditi da je jedan aksiomatski sistem (i shodno tome, jedan kriterijum dokazivosti) bolji od nekog drugog zato sto se *nama* cini da ima adekvatnije fizicke modele prilicno antropocentricno, zar ne? (Obaska sto pothranjuje "imperijalne" pretenzije fizicara, na kojima nam ionako previse zameraju, pa ne treba bas davati dodatnu municiju... ;o))) )
pape92 pape92 11:34 15.08.2008

Re: Rešenje

MMĆ: verujes da je istinitost isto sto i dokazivost.

nsarski:postoje istine koje je nemoguće dokazati.


kako onda znas da su istine


Nadam se da mi nećete zameriti što sam se umešao, jednostavno sam sad kraj kompjutera...čini mi se da Nsarski ne kaže da je istinitost i dokazivo jedno te isto, već samo da je, ukoliko je istina nedokaziva (ili nedokazana) nemoguće ustanoviti da li je rec zaista o istini.
Meni se dopada "krajolik" teorija u vezi matametkike: sve je out there, a čovek to samo ili otkriva ili ne otkriva. Evo Rimanova hipteza: ona je ili tačna ili pogrešna. O ovom tenutku sve su opcije otvorene: tačna je ali je to nemoguće dokazati, tačna je i to je moguće dokazati, pogrešna je i to je nemoguće dokazati, pogrešna je i to je moguće dokazati. Očigledno je da je jedno od rešenja i ono da ne znamo da li je tačna ili pogrešna, i to je nemoguće utvrditi, pa tako nikada nećemo saznati - ali i ta varijanta treba da se dokaže. Moguće je naravno da je i ovaj dokaz neizvodljiv. Ali mi to ne znamo. Hoću da kažem sledeće: sa stanovišta logike, postoji razlog da se istraživanje i rad na dokazu sprovodi, dogod se ne dodje do nekog od ovih jednoznačnih odgovora. Sa praktičnog stanovišta, koje ima pravo da zauzme svaki pojedinac (mogu svoje vreme da upotrebim u izglednije projekte) ne sporim da možda ima smisla odustati.
bekasa bekasa 20:50 15.08.2008

Re: Rešenje

Totalni laik,tj. ja, je osoba koja čita tvoje tekstove,trudi se da ih razume i posle piše šašave komentare. :)

Objašnjenje asocijacije u vezi Gedela:

U knjizi “Gedel,Ašer i Bah” objašnjenje Gedelove teoreme je: postoje istine koje je nemoguće dokazati. Ime pisca sam zaboravila, knjigu sam pročitala pre više od 10 godina. Znači, znamo (istina je) da se prosti brojevi ponašaju na odredjeni način, ali nemamo dokaz da se uvek tako ponašaju. Da li je moja asocijacija pogrešna zato sto sam sve pogrešno razumela?

nemajuci pojma o kome se radi


Ovaj deo nisam razumela,da li autori teksta treba da znaju o kom komentatoru se radi?

p.s.sada sam videla komentar dragana7557,autor je Douglas R. Hofstadter

Hvala dragane7557

Milan M. Ćirković Milan M. Ćirković 21:26 15.08.2008

Re: Rešenje

bekasa
objašnjenje Gedelove teoreme je: postoje istine koje je nemoguće dokazati.

To mu dodje vise posledica nego objasnjenje, ali jeste najznacajnija posledica. Medjutim, valja biti jako oprezan pri primeni toga - tacna formulacija bi trebalo da glasi: postoje istine koje je nemoguce dokazati unutar bilo kog zadanog formalnog sistema. To nikako ne znaci da se radi o nekim apsolutnim misterijama, vec samo da je svet matematike veci nego svet svih ljudskih (ili svih zamislivih ljudskih) matematicara i aksiomatskih sistema koji su oni postavili. Dakle, tvrdnja koja je nerazresiva u formalnom sistemu A moze biti itekako razresiva (i imati znacajne posledice!) u sistemu A' koji nastaje tako sto smo na A nadgradili jos ponesto. Ovo je, neki bi rekli, jos jedan argument u prilog platonizma, ali ne smem dalje ista da kazem u strahu od domacina ovog bloga... ;o)))
nsarski nsarski 22:03 15.08.2008

Re: Rešenje

ali ne smem dalje ista da kazem u strahu od domacina ovog bloga... ;o)))

Hahaha, no fear!
Moram da priznam da ja, zapravo, nisam sasvim siguran sta to "platonista" tacno znaci. Secam se da je Penroz u jednoj svojoj knjizi ("Emperor's new mind":, mislim), negde u sredini, veoma oprezno rekao "ja sam platonista" kad su u pitanju matematicke istine. OK, i? Da li to znaci da on veruje da postoje matematicke istine out there koje mi jos ne znamo? Ako je tako, i ja u to verujem. Da li to znaci da ima matematickih istina koje nikada necemo saznati niti znati da one postoje? Ako je tako, i u to verujem - ne mogu da dokazem, ali verujem.
Mozda sam i ja platonista, ali to ne mogu da dokazem ili spoznam?:))
jacHa. jacHa. 07:33 15.08.2008

a kad to bude teorema...

Imam utisak da će dokaz, kad se do njega doraste, da sadrži par redaka i da bude prost kao pasulj.
Neka laganica, neka fora tipa: važi za prvi, pa pp da važi za n-ti, pa dokažimo i za n+1-i. Cap carap! E, samo da uhvati neko tu foru.
Pozzz!
jack_bauer jack_bauer 07:47 15.08.2008

Re: a kad to bude teorema...

Imam utisak da će dokaz, kad se do njega doraste, da sadrži par redaka i da bude prost kao pasulj.

svako resenje je trivijalno, kad se dodje do resenja :))
drug.clan drug.clan 15:31 15.08.2008

Re: a kad to bude teorema...

Imam utisak da će dokaz, kad se do njega doraste, da sadrži par redaka i da bude prost kao pasulj.Neka laganica, neka fora t


Moguce je da resenje ovog teskog problema bude samo jedna nula koja ne lezi na x=1/2

tj resenje moze da bude samo jedan broj
Atomski mrav Atomski mrav 08:25 15.08.2008

Gde su slike/formule?

Ne vidim slike i/ili formule posle onog prvog, "tačkastog" grafika... ne znam da li je to dobro ili loše?
A i u onda dva poslednja pasusa za koja je najavljeno da nema matematike, sve vrvi od "korenja"...

Pročitao sam čitav tekst, podsetio se 1997. godine i Matematičke analize 1... tada sam se budio noću zbog košmarnih snova zbog Rimana, Košija, Ojlera... Danas mogu da čitam ove tekstove relaksirano, s obzirom da nisam morao da rešim nijedan integral, nijednu diferencijalnu jednačinu (ovde moram da pohvalim Ojlera, njegove su mi "odgovarale" i nijednu sumu od kada sam završio fakultet
nsarski nsarski 16:10 15.08.2008

Re: Gde su slike/formule?

Ne vidim slike i/ili formule posle onog prvog, "tačkastog" grafika... ne znam da li je to dobro ili loše?

To je nesto sa tvojim kompjuterom - sporo ucitava slike, sta li?
zgrbavi zgrbavi 10:09 15.08.2008

interesantan i razumljiv chlanak

shteta shto se grafikoni nevide

da li rimanova hipoteza vazi samo za homosapiense sa po 5 prstiju na svakoj ruci
kakav je raspored prostih brojeva u drugim brojnim sistemima
nsarski nsarski 16:21 15.08.2008

Re: interesantan i razumljiv chlanak

shteta shto se grafikoni nevide

To mi je bas cudno, jer kod mene i mnogih drugih se vide. I steta, jer oni govore pola price....
Goran Svilanović Goran Svilanović 10:14 15.08.2008

Poštovanje!

Bilo mi je veliko zadovoljstvo da čitam Vaš tekst. Ali još veće da onda sednem sa sinom koji ima 10 godina i da razgovaramo o tome šta on od ovoga razume a šta ne. Proveo sam izvanrednih pola sata u razgovoru sa dečakom koji voli matematiku i video da mnogo toga može da razume ako se obojica potrudimo. Njegova poslednja rečenica bila je da je i on primetio da igrajući Fire emblem igricu, u nekoliko navrata nije pogodio neku metu iako je bilo napisano da je verovatnoća da će biti pogodak veća od 93%. Iz razgovora je razumeo šta znači mali a šta veliki broj ponavljanja i šta znači pravilnost a šta nepravilnost rasporeda prostih brojeva između ostalih prirodih brojevak, za njegov konačni učinak u igrici.
Hvala Vam.
nsarski nsarski 16:15 15.08.2008

Re: Poštovanje!

sednem sa sinom koji ima 10 godina

Samo tako, to je najbolje vreme da deca uce o brojevima i racunskim radnjama. Zapravo, nije ni toliko bitno koliko tehnike ce da nauce, bitnije je da ne razviju strah od brojeva i formula. Taj strah je najcesci uzrok ustrucavanja kod odraslih.
Jednom je Silvija Plat pisala kako je pokusavala u skoli da uci matematiku/fiziku i kaze: "When the teacher wrote the first formula on the blackoard, my mind went dead. For me, two and two will always be 22."
Velimir Ćurgus Kazimir Velimir Ćurgus Kazimir 11:23 15.08.2008

Teorija i snovi

Hvala na tekstu! Osećam se mladjim tridesetak godina. Prosti brojevi su bili moja opsesija godinama. Razmišljao sam čak i da ih koristim za loto, mada se nikada ne kockam.
Poslednje što sam doživeo od prostih brojeva bio je jedan san koji, naravno, ne umem matematički da formulišem. U tom snu su prosti brojevi bili predstavljeni kao tacke u nekoj ogromnoj obrnutoj kupi iz cijeg su vrha kretali najmanji prosti brojevi. Kako se kupa sirila, na razlicitim nivoima (dimenzijama) pridruzivali su se drugi, veci prosti brojevi. Ako bismo povukli prave linije iz svakog prostog broja te linije bi na nekoj dimenziji postale paralelne i prolazile bi kroz sve buduce proste brojeve.... Kad sam se probudio, veoma uzbudjen od ovog detinjastog otkrića, rekoh samom sebi: samo kad bismo znali ugao pod kojim je formirana ova obrnuta mega kupa!
Posle sam se uplasio da nisam malo skrenuo.
nsarski nsarski 16:20 15.08.2008

Re: Teorija i snovi

Posle sam se uplasio da nisam malo skrenuo.

Haaahaaaaa!
Dobro, svi mi imamo cudne snove, mada mozda nisu svi tako bizarni.
Ja sam jednom sanjao da sam operator u Hilbertovom prostoru...posle sam se "probudio" u normalan prostor i "uvideo" da sam kisela voda i buckam se u flasi....
A povodom otkrica kupe - ne verujem da je jedan ugao dovoljan da opise sve proste brojeve.
Znam da computer geeks sanjaju da programiraju - to sam i ja sanjao kad se zapetljam u neke slozene racune.


Arhiva

   

Kategorije aktivne u poslednjih 7 dana