Ako bi sproveli anketu medju matematičarima i pitali ih koji je, po njihovom mišljenju, danas najteži nerešen fundamentalni matematički problem, verujem da bi njih 9 od 10 odgovorili "Riemannova hipoteza". Ovaj problem je svrstan medju milenijumske probleme Clay matematičkog instituta i za njegovo rešenje je ponudjena nagrada od milion dolara. Problem je postavio B. Riemann u jednom radu pre oko 150 godina i generacije najboljih matematičara su uzaludno pokušavale da ga reše. David Hilbert je jednom rekao: "ako me za 1000 godina neko probudi iz mrtvih, moje prvo pitanje će biti - da li je dokazana Riemannova hipoteza?"
Šta je sadržaj Riemannove hipoteze, i zašto je taj problem toliko važan? Da bi mogli na ovo da odgovorimo, potrebno je prvo napraviti nekoliko uvodnih napomena.
Za razliku od Poincareove pretpostavke, o kojoj je bilo reči u ranijem blogu, i koja se odnosi na topološke osobine 2-. 3- i više-dimenzionih površi (dakle, apstraktnih matematičkih objekata), Riemannova hipoteza govori o nekim fundamentalnim osobinama prirodnih brojeva. (Medjutim, takodje za razliku od Poincareove pretpostavke, Riemannova hipoteza se ne može izraziti jednom prostom rečenicom i zato je ovaj tekst malo duži ). Prirodni brojevi su oni brojevi koji se dobiju običnim brojanjem predmeta. 1, 2, 3, 4,...15,...20,...1000, itd. su prirodni brojevi.
Brojanje je, setimo se, prva i najelementarnija matematička operacija - ono je procedura koju koristimo da imenujemo količine, tj. da količinama pridružimo numeričku vrednost.. Mi decu učimo da broje otprilike u isto vreme kad počnemo da ih učimo reči, tj. da imenuju objekte, pojmove, i radnje. Brojanje je bazično znanje koje je deci neophodno da bi razumela svet oko sebe.
Prirodnih brojeva, razume se, ima beskonačno mnogo, a medju njima poseban značaj i ulogu imaju prosti brojevi. To su brojevi koji su deljivi (bez ostatka!) samo sa sobom i jedinicom. Na primer, brojevi 2, 3, 5, 7, 11, itd., su prosti brojevi.
Osobina "prost broj" se nalazi su samoj suštini naših predstava o količinama. Na primer, mi možemo da zamislimo kosmos, ili svet, u kome je gravitaciona sila slabija od ove koja vlada u našem kosmosu, ili svet u kome je brzina svetlosti veća nego što je u našem svetu, ali nam je nemoguće da čak i zamislimo svet u kome broj 7, na primer, ne bi bio prost.
O prostim brojevima i njihovim osobinama je, od Starih Grka pa do danas, napisano na hiljade stranica popularnog teksta, matematičkih analiza, kurioziteta, numericke mitologije i slično, ali ovde nemamo dovoljno prostora da se toj temi detaljnije posvetimo.
Brojevi koji nisu prosti zovu se složeni brojevi. Na primer, svi parni brojevi, sem broja 2, su složeni brojevi jer su deljivi sa brojem 2 (broj 2 je, očevidno, jedini paran prost broj). Takodje, svi prirodni brojevi koji se završavaju cifrom 0 ili 5, osim samog broja 5, su složeni jer su deljivi prostim brojem 5, itd.
Važnost prostih brojeva proističe iz sledeće fundamentalne teoreme o razlaganju (faktorizaciji):
svaki prirodan broj se može, na jedinstven način, napisati kao proizvod prostih brojeva.
Na primer, broj 15 može da se zapise kao 15=3x5, broj 12 kao 12=2x2x3, broj 13 kao 13=13, tj ovaj broj se ne moze razložiti na prostije delove jer je i sam prost. Prosti brojevi imaju ''atomsku" prirodu nerasčlanjivosti, da tako kažem. U tom smislu se kaže da su prosti brojevi u matematici slični osnovnim harmonicima u muzici. Kao što se svaki ton u muzici može predstaviti kao odredjeni jedinstven zbir osnovnih zvučnih harmonika, tako se i svaki prirodan broj može predstaviti kao odredjeni jedinstven proizvod prostih faktora. Zbog toga se ponekad govori o muzici prostih brojeva. Prosti brojevi su osnovni numerički ''delovi'' od kojih su svi prirodni brojevi ''izgradjeni'' množenjem.
Na ovom mestu je korisno pomenuti i Goldbachovu pretpostavku (1742): svaki paran broj veći od 2 se može napisati kao zbir dva prosta broja. Na primer, broj 18 moze da se napiše kao 18=7+11. Ova dekompozicija, medjutim, nije jedinstvena - broj 20, na primer, se može napisati kao 20=7+13, ali i 20=17+3. Goldbachova pretpostavka je još jedan klasičan problem, star oko 350 godina, za koji nemamo dokaza.
Pitanje se odmah nameće: u beskonačnom skupu prirodnih brojeva, koliko ima prostih brojeva? Odgovor na ovo pitanje je dao Euklid - prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Euklidov briljantni dokaz ove tvrdnje je takodje i sjajna ilustracija matematičkog načina razmišljanja i dokazivanja, pa ću ga ovde opisati. Ko ne voli ovu vrstu dokaza može sledecih par paragrafa da preskoči: izvodjenje ovog dokaza nije neophodno za razumevanje onoga što kasnije sledi.
Podjimo, kako je to Euklid uradio pre oko 2300 godina, od obrnute tvrdnje: neka prostih brojeva ima konačno mnogo. Ako pokažemo da je ova polazna tvrdnja netačna, onda smo pokazali da prostih brojeva ima beskonačno mnogo, i dokaz je završen.
Zamislimo sada skup koji sadrži sve te proste brojeve. Iz naše polazne pretpostavke (da prostih brojeva ima konačno mnogo) sledi da ovaj skup, zovimo ga A, sadrži konačan broj elemenata.
Konstruišimo sada broj P, tako što ćemo da formiramo proizvod svih elemenata skupa A, tj. svih prostih brojeva. Broj P je, po konstrukciji, složen broj, jer se sastoji od proizvoda (svih) prostih brojeva. A šta je sa brojem Q=P+1, tj. brojem koji se dobije tako što se broju P doda jedinica? Postoje dve mogućnosti:
(i) Ako je broj Q prost, onda se on razlikuje od svakog od elemenata skupa A, pa smo na ovaj način konstruisali novi prost broj. To je suprotno polaznoj prepostavci da je A konačan skup koji sadrži sve proste brojeve - evo mi smo na ovaj način konstruisali novi prost broj (Q) koji se ne nalazi u skupu A.
(ii) Ako je broj Q složen, onda on, po definiciji složenog broja, mora da bude deljiv bez ostatka sa nekim prostim brojem. I taj neki prost broj mora da je različit od bilo kog prostog broja koji se nalazi u polaznom skupu A. U suprotnom, ako je složen broj Q deljiv sa prostim brojem iz skupa A, onda, budući da je i broj P (proizvod svih prostih brojeva) takodje deljiv sa tim prostim brojem, onda i razlika brojeva Q i P, tj. Q-P=P+1-P=1, mora da je deljiva tim brojem, odnosno da je broj 1 deljiv nekim prostim brojem, što je apsurd. Dakle, složen broj Q mora biti deljiv nekim novim prostim brojem koji se ne nalazi u skupu A, a to je opet suprotno našoj pretpostavci da skup A sadrži sve proste brojeve.
Drugim rečima, mi smo ovom konstrukcijom uspeli da dobijemo nove proste brojeve koji se ne nalaze u našem početnom skupu A svih prostih brojeva. Ovu konstrukciju možemo da ponovimo beskonačno mnogo puta. Skup svih prostih brojeva, dakle, ne može da bude konačan, tj. prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Dokaz završen.
Ključno je iz svega do sada rečenog zapamtiti da se svaki prirodan broj može faktorizovati, ili rastaviti, kao proizvod prostih brojeva na jedinstven način, i da prostih brojeva ima beskonačno mnogo.
OK, ima ih beskonačno mnogo, ali postoji li neki način da utvrdimo kako su prosti brojevi rasporedjeni duž brojne ose? Na primer, da li ima više prostih brojeva izmedju 1 i 1000, ili izmedju 10000 i 11000, ili na nekom drugom segmentu dužine 1000 na brojnoj osi? Ovo pitanje može da se postavi i na drugi način: koliko ima prostih brojeva manjih od nekog zadatog broja X? Na primer, koliko ima prostih brojeva manjih od 500?
Upravo ovo je bio naslov Riemannovog originalnog rada iz 1859. godine Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse ( O broju prostih brojeva manjih od nekog zadatog broja) u kome je postavio svoju hipotezu.
Delimičan odgovor na ovo pitanje možemo da potražimo "pešačkim" putem. Zamislimo da podjemo duž brojne ose, polazeći od broja 1, koracima jedinične dužine, i da brojimo proste brojeve koje na tom putu "sretnemo". Dok stignemo do broja 10, na primer, prebrojaćemo 4 prosta broja (2,3,5,7), do broja 20 imamo 8 prostih brojeva (2,3,5,7,11,13,17,19), do broja 60, srešćemo 17 prostih brojeva, itd. Sada možemo da grafički predstavimo ovaj rezultat - on ima i tehničko ime - zove se ''funkcija koja prebrojava broj prostih brojeva'' i označava se sa π(x), i, nacrtana na intervalu od 1 do 60, ona izgleda ovako:
Prvo, vidimo da je ova funkcija ‘'stepenasta'' - kako idemo duž brojne ose (na desno), postoje intervali gde nema prostih brojeva (izmedju 7 i 11, recimo) i tu je funkcija horizontalna, tj, ne menja se i vrednost joj je stalno 4, pa kod prostog broja 11 poraste za jedan ''stepenik'' i vrednost joj je 5, pa kod broja 12 se ne menja jer 12 je složen broj, pa kod prostog broja 13 opet poraste za jedan ''stepenik'', pa se kod brojeva 14, 15 i 16 ne menja jer su ovo složeni brojevi, pa kod prostog broja 17 poraste za jedan ''stepenik'', itd.
Kad pogledamo u gonju sliiku, broj tačkica u horizontalnom nizu nam kaže kolika je dužina tog intervala na kome nema prostih brojeva. Negde je ta dužina 2 - tamo gde su prosti brojevi susedni neparni brojevi (3 i 5) recimo, ili (11 i 13), ili (17 i 19) - i ovakvi parovi prostih brojeva se zovu ''blizanci'' (twin pairs). Negde je taj interval na brojnoj osi gde nema prostih brojeva dužine 4 (izmedju 7 i 11, na primer), ili duzine 6 (izmedju 23 i 29, na primer). U svakom slučaju, prosti brojevi nisu ravnomerno rasporedjeni duž brojne ose. To se vidi i po tome što funkcija π(x), predstavljena gore, ne raste ravnomerno, već je zakrivljena, ili, tehnički rečeno, nelinearna.
Dobro, nisu ravnomerno rasporedjeni, a da li su po nekom pravilu rasporedjeni, ili se pojavljuju na brojnoj osi potpuno slučajno, na nepredvidljiv način? Ovo pitanje je, zapravo, pitanje o globalnom ponašanju funkcije π(x) - gore je nacrtano samo njeno ponašanje na intervalu od 1 do 60 - mi hoćemo da znamo nešto o svim prostim brojevima, tj. o njihovom rasporedu na celoj brojnoj osi. Odgovor na njega je suština Riemannove hipoteze.
Da bi stekli malo bolji uvid, korisno je pogledati kako izgleda funkcija π(x) prikazana na većem intervalu. Konkretno, na intervalu od 1 do 1000 ona izgleda ovako
Na intervalu od 1 do 50 000 ovako
Na ovako velikim skalama se "stepenici" na našoj funkciji uopšte ne vide - što, naravno, ne znači da ih nema, samo da su mali. Posebno pada u oči da bi naša funkcija, dobijena najobičnijim brojanjem, možda mogla da se aproksimativno napiše u nekom zatvorenom obliku.
Prvi pokušaj u ovom pravcu je napravio Gauss, Riemannov profesor. On je našao da bi najbliža aproksimacija za našu funkciju bila
Hm, da proverimo. Znamo na primer da je π(100)=25, tj. da od 1 do 100 ima 25 prostih brojeva. Prema gornjoj formuli se dobije 100/log(100)=21.7, što nije baš sasvim tačno, ali nije ni suviše pogrešno - razlika je oko 12%. Za veće brojeve, na primer 1 milion, π(1 000 000)=78 498, tj na intervalu od 1 do million ima oko 78 500 prostih brojeva. Prema gornjoj formuli dobijamo 72 382, što je odstupanje od oko 8%. I, najvažnije, razlika se smanjuje.
Medjutim, Gaus je kasnije uspeo da nadje bolju aproksimaciju za našu funkciju. Umesto izraza x/log(x) , Gaus je predložio funkciju Li(x), poznatu kao logaritamski integral - ona je prosto integral funkcije 1/log(u), na intervalu 2 do x, tj.
Ako bi zajedno nacrtali tok funkcija π(x) i Li(x) od 1 do 50000 dobili bi ovakvu sliku
Drugim rečima, na ovoj skali, razlika se uopšte ne vidi. Ne zaboravimo, ipak, da je naša funkcija π(x) stepenasta, dok je Li(x) neprekidna, glatka funkcija, i da je u pitanju samo aproksimacija. U redu, koliko se to razlikuju naša stepenasta funkcija π(x) koja kaže koliko ima prostih brojeva na intervalu od 1 do x, i glatka funkcija Li(x)? Riemann je ponudio precizan odgovor na ovo pitanje.
Njegov odgovor se bazira na osobinama jedne druge funkcije, tzv. Riemannove zeta funkcije koja je definisana kao
Ovo izgleda malo zastrašujuće nematematičarima, ali izraz je samo skraćeni zapis za beskonačni niz. Drugim rečima, z(1)=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5....itd., ili z(2)=1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...itd., U opstem slucaju, uzmemo broj 1 pa ga stepenujemo brojem s i dobijemo 1^s, pa broj 2 stepenujemo sa s i dobijemo 2^s, pa broj 3 stepenujemo sa s i dobijemo 3^s, itd. Potom formiramo razlomke 1/1^s, 1/ 2^s, 1/3^s, ... itd., i sve te razlomke zajedno saberemo. To je funkcija z(s). Kako se sada odjednom pojavila ova funkcija, i kakve veze ona ima sa našom pričom o prostim brojevima? Odgovor na ovo je dug i zanimljiv (i sadrži oko 200 godina matematičke istorije), ali ja se neću upuštati u detalje. Dovoljno je samo da kažem da je Euler prvi pokazao da se funkcija z(s), definisana gore kao beskonačan niz, može ekvivalentno zapisati i kao beskonačan proizvod
po svim prostim brojevima. I tu se nalazi veza sa našom pričom.
U svojoj studiji prostih brojeva i njihovih osobina, Riemann je prvi proučavao osobine zeta-funkcije, z(s), kada je s kompleksan broj. Dakle, eksponent s nije vise samo realan stepen kao na primer s=1, ili s=4, ili s=0.75, već je u pitanju kompleksan broj koji ima svoj realni i svoj imaginarni deo. Uobičajeno je da se s u ovom slučaju piše kao s=x+iy, gde je i imaginarna jedinica.
Od ključnog značaja za razumevanje rasporeda prostih brojeva na brojnoj osi je tačan položaj nula Riemannove zeta-funkcije. Nula funkcije, setimo se, je ona vrednost argumenta za koju funkcija ima vrednost nula. Pošto je argument zeta-funkcije, s, kompleksan broj, onda se nule te funkcije nalaze u kompleksnoj ravni.
Konkretno Riemannova zeta-funkcija grafički izgleda ovako
Tačnije, na ovoj slici je prikazana apsolutna vrednost te funkcije, a x i y su realna i imaginarna vrednost argumenta s. Riemann je uspeo da dokaže da se nule ove funkcije (nule koje nas zanimaju!) nalaze na "kriticnoj traci" (critical strip) u kompleksnoj ravni izmedju 0<1. To se moze na ovom grafiku lepo videti - funkcija kao da "probija" kompleksnu ravan duž nekakve linije (one udoline kao da su poredjane na neki način). Medjutim, Riemannova hipoteza kaže nešto mnogo preciznije:
sve nule zeta-funkcije se nalaze tačno na liniji x=1/2, u kompleksnoj ravni.
I to je tvrdnja koju treba dokazati, Riemannova hipoteza u jednoj recenici, a za koju je Hilbert rekao ono što sam gore citirao.
Tokom decenija i decenija su pravljeni pokušaji da se ova hipoteza dokaže. Numerički, oko 15 milijardi nula Riemannove zeta-funkcije je izračunato i sve se nalaze baš na liniji x=1/2, kako hipoteza kaže. Medjutim, 15 milijardi je ništa u odnosu na beskonačno, nama treba položaj svih nula.
Poslednjih decenija je došlo do otkrića neočekivane veze izmedju nula zeta-funkcije i nekih fizičkih sistema koji mogu da pokazuju haotično ponašanje (tzv. Gaussian Unitary Ensembles - GUE, kvantni bilijar, itd). Takodje, ustanovljena je veza izmedju nekih statističkih osobina nula zeta-funkcije i energijskih nivoa u teskim nuklearnim jezgrima. Izmišljeni su fizički sistemi, gasovi Eulerium i Riemannium na primer, čije se termodinamičko ponašanje izvodi iz osobina zeta-funkcije, Ukratko, kao da su u osobinama nula ove funkcije enkodirani neki fundamentalni fizički zakoni, na način koji još ne razumemo. Veza izmedju teorije brojeva i teorijske fizike počinje da se ozbiljnije nazire.
Kakve ovo ima posledice po našu prvobitnu priču o prostim brojevima i njihovom rasporedu? Setimo se, došli smo do toga da je funkcija Li(x) dobra aproksimacija naše funkcije, π(x), koja broji koliko ima prostih brojeva na intervalu od 1 do x, ali da se od nje ipak razlikuje. Koliko se razlikuje?
Ako je Riemannova hipoteza tačna, onda je
drugim rečima, ove dve funkcije se razlikuju za korekcioni factor reda veličine x^1/2 log(x), kako piše u formuli. Ovaj stepen 1/2 upravo potiče od položaja nula Riemannove zeta-funkcije i zato nam je cela priča o njoj trebala. Šta ovo konkretno znači, i zašto je to važno?
Evo zašto je važno. Nadam se da ću na ovom mestu da nadjem ponovo sve one koje sam usput izgubio u matematici i formulama, jer dalje više matematike nema i sve ću ilustrovati prostim primerom.
Kada bacimo ispravan novčić u vis, sa verovatnoćom 1/2 (ili 50%) očekujemo da će da padne ‘'glava'', i verovatnoćom 1/2 (ili 50%) da će biti ‘'pismo''. Šta ovo znači? Pa, svakako ne znači da će, ako je u prvom bacanju ispala glava, recimo, da će u sledećem obavezno biti pismo. Ne, mi se ne bi iznenadili ako bi glava izašla nekoliko puta uzastopno - to nije nemoguće, ali nije ni suviše neverovatno ako je broj bacanja mali. U drami Toma Stoparda ‘'Rozenkranc i Gilderstern su mrtvi'' njih dvojica prekraćuju vreme tako što bacaju novčić. Kad je već sedamdeset i neki put uzastopno izašla glava, oni već počinju da filozofiraju o malo verovatnim dogadjajima - onima koji se skoro nikada ne dešavaju, ali nisu nemogući.
Ako 1000 puta bacimo novčić, mi očekujemo da će oko 500 puta ispasti glava i oko 500 puta pismo. Naravno, kod konkretnih bacanja, ovo ne mora tačno da se ostvari - možemo da dobijemo 495 puta glavu i 505 puta pismo. I to je OK. Verovatnoća kaže da će, prosečno 500 puta ispasti glava, ali ne obavezno i tačno toliko puta kod 1000 bacanja novčića. Medjutim, ako bi dobili 300 puta glavu i 700 puta pismo, to bi bilo sasvim neočekivano. Zašto neočekivano, čime se neočekivanost meri? Meri se standardnom devijacijom, koja je u slučaju bacanja novčića jednaka kvadratnom korenu iz broja bacanja, u našem slučaju sqrt(1000)/4=8 ili nešto slično [za ljubitelje statistike u pitanju je binomna raspodela gde je srednja vrednost np, a kvadrat devijacije np(1-p), p=1/2]. Zapamtimo reči kvadratni koren u prethodnoj rečenici. Dakle, svi rezultati gde smo u 1000 bacanja dobili 500 puta glavu, plus minus 8 ili slično, su očekivani. Ako bi dobili glavu samo 300 puta, to je ekstremno malo verovatno - pomislili bi da ili sa novčićem nešto nije u redu, ili sa svetom kakav poznajemo nešto nije u redu (što je eksploatisano u Stopardovoj drami).
Ako je Rimanova hipoteza tačna onda je ona gore formula o rasporedu prostih brojeva na brojnoj osi tačna. A to znaci da mi možemo da predvidimo pojavu sledećeg prostog broja na brojnoj osi sa pouzdanosću koja je ista kao i kod bacanje novčića. Ako izračunamo da je broj prostih brojeva u intervalu od 1 do x, dat prema funkciji Li(x), onda smo u tom odgovoru pogrešili otprilike kao kod predvidjanja da će iz 1000 bacanja novčića 500 puta da se pojavi glava. I ovo se sve zasniva na hipotezi da se nule Riemannove funkcije nalaze na liniji ½ kako je gore objasnjeno. Zbog te ½ imamo i kvadratni koren. Dokaz ove hipoteze bi nas uverio da su prosti brojevi, do nama razumne mere predvidljivi koliko i bacanje novčića. Svi su izgledi da je ovo slučaj, barem koliko možemo numerički da proverimo.
Ako Riemannova hipoteza nije tačna onda ovo predvidjanje ne važi, i prosti brojevi su rasporedjeni na mnogo više neuredjen način. Drugim rečima, ovo znači da postoji negde numerički beskraj u svemiru brojeva gde su naša osnovna razumevanja o prostim brojevima netačna, i gde su ekstremno retki dogadjaji češće mogući.
Da bi znali u kojem od ovih svetova živimo potrebno je da rešimo najteži problem na svetu. U tome se sadrzi celokupna agonija i ekstaza Riemannove hipoteze