I see trees of green........ red roses too
I see em bloom..... for me and for you
And I think to myself.... what a wonderful world.
(Luis Armstrong)
Zasto i kada za nesto kazemo da je lepo? Ovo je, naravno, prastaro pitanje kojim se bavi estetika, grana filozofije. Razmisljanja o ovom pitanju se javljaju kod Platona, u Dijalozima sa Hipiasom i kasnije, prilikom pokusaja da se definise lepota. Pa se navode primeri lepe zene, zlata, itd. (Izmisljeni dijalog sa Fedrom je T. Man uzeo kao ključni motiv za "Smrt u Veneciji". ) U svakom slučaju, do konačne definicije nije se doslo, i Sokrat predlaze da se za lepo uzme ono sto je "ugodno" čoveku - sklad neke vrste, na primer. (Zanimljivo je da se na hrvatskom izraz "sklad" koristi za muziku i kompozitore.)
Ali, o ovome neću ovde pisati - ima na ovom blogu ljudi koji su mnogo kompetentniji da pisu o filozofskim aspektima lepote.
Verujem da će mnogi ljudi reći da je priroda "lepa" - zalasci sunca, vodopadi, cveće, glečeri, pustinje, livade, vrhovi planina, zitna polja, ostrva i morske plaze, itd., mnogi smatraju za "lepe".
Da bi videli sta je to "lepo" u prirodi, posmatrajmo sda lepe prirodne oblike, kao sto su skoljke, cveće, sare na zivotinjama i biljkama, itd. U njima postoji zanimljiva regularnost, koja je uočena jos u antičkim vremenima, i koja je sluzila mnogim umetnicima i graditeljima kao uzor. Ključno pravilo antičkog uzora lepote se zove zlatni presek (jos i "bozanska srazmera"), i o njemu je bilo reči u prethodnom blogu. Zlatni presek govori o odnosu celine i delova i kaze da, kad se Celina zlatnim presekom podeli na veći i manji deo, onda se manji deo prema većem delu odnosi kao veći deo prema celini. Primenom ovog pravila u ljudskim tvorevinama se dobija "sklad" koji je "ugodan" za gledanje - prema Platonu, dobija se lepota. Do ovog pravila se moze doći posmatrajući prirodu.
Jedna od najčesćih geometrijskih "tema" koja se u prirodnim oblicima sreće se matematički moze izraziti preko tzv. Fibonacci-evih brojeva, a ovi su u neposrednoj vezi sa zlatnim presekom. Radi ce o celim pozitivnim brojevima i do niza Fibonacijevih brojeva se dolazi sledećim prostim pravilom: svaki sledeći broj je jednak zbiru prethodna dva. Prva dva F-broja su 0 i 1. Pa je naredni 0+1=1, pa naredni 1+1=2, pa 1+2=3, i tako dalje, tj. Fibonaccijev niz je:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...itd.
Ovaj niz ima mnogo zanimljivih osobina, ova jedna nam je potrebne za kasnije:
Ako pogledamo odnos dva susedna Fibonacijeva broja: 1/1=1; 2/1=2; 3/2=1.5; 5/3=1.666...; 8/5=1.6; 13/8=1.625; 21/13=1.615..; 34/21=1.619..; 55/34=1.617.., itd. Ovaj odnos brzo konvergira ka broju F=1.61803..., koji je u tesnoj vezi sa zlatnim presekom, kao sto ćemo videti.
A zlatni presek?
Setimo se sada pravila zlatnog preseka. Neka je Celina x, a veći deo 1, onda je manji deo ono sto ostane kad se od celine oduzme veći deo, tj. x-1. Zlatni presek kaze: manji deo prema većem delu, tj., (x-1):1 je isto sto i veći deo prema celini, tj., 1:x. U obliku formule:
(x-1)/1=1/x, tj. x^2-x-1=0. Pozitivno resenje ove jednačine je F=(sqrt(5)+1)/2=1.61803...., isti onaj broj koji smo dobili kada smo posmatrali kako se odnose susedni Fibonacijevi brojevi.
OK, basta sa matematikom, prelazimo na lepotu.
Cvećka Achillea ptarmica je lepa. Ona pusta jedan izdanak koji posle par meseci izbaci novi izdanak, a ovaj novi izdanak posle par meseci izbaci sledeći novi izdanak, itd., dok stare grane "sačekaju" dva ciklusa pa izbace izdanak. Sematski predstavljeno, ona raste ovako:
Brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6... numerisu cikluse proizvodnje izdanka. Posle prvog ciklusa, biljka ima 1 granu, posle drugog 2, posle trećeg 3, posle četvrtog 5, posle petog 8, posle sestog 13...kao na slici gore. Hej, pa ovo su Fibonacijevi brojevi: 1, 2 ,3 ,5 ,8, 13!
Pogledajmo sada cveće, pogledajmo ljiljane u polju kako rastu i broj latica na njima.
3 latice - ljiljan, iris;
4 latice - malo cveća ima 4 latice;
5 latica - divlja ruza, divlji karanfil
8 latica- delfinium; 13 latica - neveni i bele rade, itd, do 89 latica na jednoj vrsti belih rada. Uglavnom, sa malim varijacijama, broj latica na cveću je Fibonacijev broj.
Ostavimo broj latica i pogledajmo geometriju jednog cveta. Suncokret, na primer
Geometrijski aranzman zrna prati oblik dve spirale. Desne sa 34 spirale; i leve sa 55 spirala. Veći suncokreti imaju 89 spirala, ni manje, ni vise.
I ovo (34, 55, 89) su Fibonacijevi brojevi. Slične brojeve vidimo i kod sisarke i njenih spirala:
u ovom slučaju 13 i 8, sto su Fibonacijevi brojevi. U nauci se ova "matematika cveća" zove Phylotaxia. Pogledati, na primer ovde. Na ne navodim vise, verujem da sam vas ubedio da ovakvih primera ima svugde oko nas.
Da sada predjemo na druge oblike: ako sukcesivno konstruisemo kvadrate čije su stranice jednake brojevima u Fibonacijevom nizu, dobijemo figuru:
(Primetiti brojeve 1, 1, 2,3, 5, 8, ...)
I ako nacrtamo lukove nad dijagonalama tako konstruisanih kvadrata dobijemo Fibonacijevu spiralu:
Skoljke puzeva (Nautilusa na ovoj slici) često imaju oblik Fibonacijeve spirale:
zato sto, svaki put kad puz poraste za ceo krug, on poraste u odnosu zlatnog preseka, kako to pokazuje slika koju je Radojicic poslao:
Da ne duzim vise. D'Arcy Thompson
je 1917 godine napisao seminalnu knjigu "On Growth and Form" gde se ove geometrije prirode do detalja razmatraju.
A sta je sa ljudima? Opet, zahvaljujući Radojicicu, dve slike:
Ratojanje od tla do pupka osobe se odnosi prema rastojanju od pupka do vrha glave u zlatnom preseku - antički ideal lepote, ugodan za videti. S desna je Leonardova analiza ove geometrije.
Mnoge antičke gradjevine su pravljene postujući pravila zlatnog preseka i o tome su mnoge knjige napisane. Pomenuću ovde samo jedan zanimljiv I kontroverzan primer. Ako se pogledaju dimenzije Keopsove piramide:
onda je odnos visine trougla (356 u kubitima), prema polovini stranice baze (440/2=220) jednak 356/220=1.618 - broj veoma blizu zlatnom preseku. Medjutim, za sada se ne zna pouzdano da li su Egipćani zaista znali za zlatni presek ili je ova podudarnost slučajna.
Da li je priroda lepa? Stari Grci su verovali da jeste i to njihovo verovanje se ogleda u njihovoj arhitekturi, vajarstvu, umetnosti uopste. Oni su uzor lepote trazili u svetu oko sebe, u oblicima skoljki i cveca, na mestima svugde oko nas. Jer lepota, kaže Andrić, kao divlje cveće, raste tamo gde je niko ne sadi.
Ovde je bilo reci samo o geometriji prirode - dakle statickim i regularnim oblicima. Oblici koji nastaju drugacijom dinamikom - obale ostrva, velicine oblaka, meandri reka imaju drugu vrstu prostornog aranzmana i drugu lepotu koja se izrazava kroz fraktalnu geometriju. Ali, o fraktalima drugom prilikom.
P.S.
(Blogeri Olga Medenica, Radojicic, i martaI su mi dali ideju da napisem ovo gore. Najlepse im se zahvaljujem).