Matematika Politike: Iluzija Proporcionalnog Predstavljanja

Problem Proporcionalnog Predstavljanja

Svoj prvi veto, prvi Predsednički veto u istoriji USA, George Washington je iskoristio u 1792 protiv odluke američkog kongresa da upotrebi Hamiltonov metod raspodele mesta u kongresu. Pre nego što se vratimo na političke detalje i motive vezane za ovaj veto probaćemo da damo jednostavan opis problema iz matematike politike koji je u korenu cele priče (dobro ste pročitali, prvi veto je, u suštini, utrošen na matematički problem). 

Da probamo jedan hipotetički primer. Recimo da je 1991 i da postoji zemlja zvana Jugoslavija koja je federacija šest republika. Recimo i da postoji Federalna Skupština koja broji 121 poslanika (ovaj broj je izmišljen, ne znam koliko poslanika je imala Federalna Skupština, ako je uopšte postojala) i da, po slavnom i savršenom ustavu iz 1974, svaka republika treba biti predstavljena u Skupštini proporcionalno svojoj populaciji (i ovo najverovatnije nema veze sa realnošću istorije SFRJ). Populacija svih šest republika je data u prvoj koloni sledeće tabele 

Populacija  Kvota   Min  Max Republika
------------------------------------------------
9.778.991  50,258  50   51   SRB
4.784,265  24,588  24   25   HRV
4.365,369  22,435  22   23   BiH
2.033.964  10,453  10   11   MAK
1.965,986  10,104  10   11   SLO
  615.035     3,161    3     4   CG
-------------------------------------------------
23.543.610   121   119 125  Total

Prosta proporcija nalaže da Slovenija treba dobiti 10,104 skupštinskih mesta, Hrvatska 24,588, i tako dalje, sve do Srbije koja treba dobiti 50,258 mesta, što sve ukupno daje 121 mesto, baš kako treba. Ovi brojevi, takozvana tačna kvota (poznata i kao standardna kvota), su dati u drugoj koloni tabele (označena sa Kvota). I tu dolazimo do srži problema. Ne možemo imati 10,104 mesta u skupštini za Sloveniju. I poslanici su ljudi (formalno gledano) pa stoga broj mesta za svaku republiku mora biti ceo broj. Chini se logičnim da Slovenija treba dobiti bar 10 mesta, Hrvatska bar 24, i tako dalje, sve do Srbije koja treba dobiti bar 50 mesta. Ovi brojevi, dobijeni zaokruživanjem prema dole od tačne kvote, su dati u trećoj koloni tabele (takozvana donja kvota, označena sa Min u tabeli). Takodje se čini logičnim da Slovenija treba dobiti ne više od 11 mesta, Hrvatska ne više od 25, i tako dalje, sve do Srbije koja treba dobiti ne više od 51 mesta. Ovi brojevi, dobijeni zaokruživanjem prema gore od tačne kvote, su dati u četvrtoj koloni tabele (takozvana gornja kvota, označena sa Max u tabeli). 

Kad se donja kvota dodeli svakoj republici, popuni se 119 od 121 mesta. Ostaju dva mesta koja se trebaju dodeliti. Zaustavite se tu, razgledajte brojeve u tabeli i razmislite dobro koje dve republike trebaju da dobiju ta dva mesta? Kome bi ih vi dali, al' ni po babu ni po stričevima? 

Problem koji ste rešili ili upravo rešavate, ako ste pokušali, je problem proporcionalnog predstavljanja (ili problem proporcionalne raspodele, u literaturi na engleskom najčešće nazvan apportion problem). Da postavimo problem malo preciznije. 

Kako podeliti ceo broj entiteta na ceo broj učesnika u podeli, s tim da se podela izvrši u nekoj datoj proporciji, a da pri tom svaki učesnik dobije ceo broj entiteta. 

Problem proporcionalnog predstavljanja je čest u praksi i primenljiv je, na primer, kod odredjivanja 

- broja mesta u federalnom parlamentu za svaku federalnu jedinicu, proporcionalno sa populacijom. 

- broja mesta u parlamentu za svaku partiju, proporcionalno sa procentom osvojenih glasova na izborima

- broja menadžerskih mesta za svaku kompaniju u slučaju udruživanja više kompanija, proporcionalno sa kapitalom koji je prenet u udruženje

- ... 

U svakim od ovih slučajeva ulozi mogu biti veoma veliki i svaki od učesnika u podeli može lako reagovati veoma emotivno i agresivno (a često i neracionalno) na svaki privid nepravde pri raspodeli. S druge strane, postoji ozbijan problem u tenziji izmedju dva protivrečna zahteva, naime zahteva da svaki učesnik dobije ceo broj entiteta i zahteva za proporcionalnost. Prosta proporcija je jednostavna za računanje i predstavlja pravedno rešenje ali skoro nikad ne daje cele brojeve (baš kao u gornjem hipotetičkom primeru YU skupštine). Pošto se ne možemo otkazati od zahteva da raspodela bude izvršena koristeći isključivo cele brojeve, moramo žrtvovati proporcionalnost u nekoj meri i moramo malo zakinuti neke učesnike u korist drugih. Tu se postavlja pitanje kako meriti koliko smo otstupili od savršene proporcije, šta je najpravednije, kako kvantifikovati koliko je neko nesavršeno rešenje pravedno (ili nepravedno), i kako izabrati rešenje koje tako kvantifikovanu nepravdu minimizuje? 

Pregled istorije problema proporcionalnog predstavljanja u USA kongresu

Dajemo mali pregled istorije problema proporcionalnog predstavljanja onako kako se manifestovao u USA kongresu (House of Representatives). Ustav USA, važeći od 1789 i još uvek na snazi, zahteva (Article 1, Section 2) da broj poslanika iz svake države u kongresu bude proporcionalan populaciji te države u skladu sa popisom koji se vrši svakih 10 godina (dakle broj poslanika se menja svakkih 10 godina). Još je i propisano da svaka država mora imati bar jednog poslanika i da nijedan poslanik ne sme da pretstavlja manje od 30,000 ljudi. To je sve. Ustavom je dakle propisan samo cilj, ali ne i način da se isti dostigne. Način je u celosti ostavljen kongresu na volju i brigu. Naravno, kongres mora postojati da bi se pobrinuo o ovom pitanju, pa je stoga početna raspodela 65 poslaničkih mesta u prvom kongresu izmedju 15 država tadašnje USA ustavom posebno uredjena. 

Godine 1792 data su dva predloga za sastav kongresa, jedan podržan od strane Hamiltona, a drugi od Jeffersona. Kongres je usvojio Hamiltonov predlog sa ukupno 120 poslanika (ustav ne precizira broj poslanika pa kongres mora sam odlučivat i o tome). Posle ozbiljnog premišljanja, a dan pre isteka roka posle kojeg predlog automatski postaje punovažan zakon i bez Predsedničkog potpisa, George Washington je dao veto na predlog. Kako kongres nije imao dvotrecinsku vecinu da nadvlada Predsednički veto, išlo sa na dodatne predloge, glasanja, i usaglašavanja, posle čega je usvojen Jeffersonov predlog sa ukupno 105 poslanika, koji je Washington potpisao. 

U suštini, borba izmedju Hamiltonovog i Jeffersonovog predloga je zapravo borba izmedju manjih država na severoistoku i vecih država na jugu. Jeffersonov metod raspodele favorizuje veće države na štetu manjih, dok je Hamiltonov neutralniji po tom pitanju. Teško je reći koji je bio pravi motiv za Washingtonov veto, ali činjenica je da je Virginia tada bila najveca država, a da su i Washington i Jefferson iz Virginije.  

Na našem primeru hipotetičke YU skupštine , ako se upotrebi Hamiltonov metod dva dodatna mesta idu Hrvatskoj i Makedoniji (kolona H u tabeli, delegacije sa dodatnim mestima boldovane) dok Jeffersonov metod daje dva dodatna mesta Srbiji i Hrvatskoj.  

Populacija   Kvota   H     A    D  HH  W    J  Republika  
-----------------------------------------------------------------------
9.778.991  50,258  50  50  50  50  50  51  SRB
4.784,265  24,588  25  24  25  25  25  25  HRV
4.365,369  22,435  22  22  22  23  23  22  BiH
2.033.964  10,453  11  11  11  10  10  10  MAK
1.965,986  10,104  10  10  10  10  10  10  SLO
  615.035      3,161   3    4    3    3    3    3   CG

U godinama od 1892 kroz prvu polovinu 19-og veka je i kroz praksu sasvim jasno pokazano da Jeffersonov metod izrazito favorizuje veće države. Posle popisa u 1830, a po datom predlogu koji koristi Jeffersonov metod, Massachusetts je trebao izgubiti jedno mesto (iako se totalni broj članova u kongresu povecao). Preststavnici manjih država iz Nove Engleske su pokušavali da nadju način da zamene Jeffersonov metod nekim drugim koji bi im više odgovarao. Chak tri metoda su predložena u 1832 i to su Adamsov metod, Websterov metod, i Deanov metod. Adamsov metod je, matematčki gledano, potpuno dualan Jeffersonovom i kao rezultat te dualnosti izrazito favorizuje manje države. Ako se isti upotrebi na našem hipotetičkom primeru YU skupštine dva dodatna mesta idu Makedoniji i Crnoj Gori (kolona A u tabeli). Deanov metod takodje favorizuje manje države ali u mnogo manjoj meri nego Adamsov. U našem primeru Deanov metod (kolona D u tabeli) daje isti rezultat kao Hamiltonov metod. Websterov metod se u praksi čini veoma balansiranim u odnosu na velike i male države. U našem primeru dva dodatna mesta bi po Websterovom metodu išla Hrvarskoj i Bosni i Hercegovini. Ipak, u 1832 raspodela mesta u kongresu je opet izvršena Jeffersonovim metodom (ispostavice se po poslednji put).  

Pritisak da se upotrebi balansiraniji Websterov metod ne jenjava i vec posle sledećeg popisa isti je prvi put upotrebjen u 1842. Zanimljivo je da je tada po prvi i poslednji put veličina kongresa smanjena u odnosu na prethodni (sa 240 na 223 mesta). Uobičajeno je bilo da se kongres stalno povecava tako da nijedna država ne bi izgubila broj pretstavnika u kongresu. Ovakva strategija je verovatno zamišljena sa namerom da kupi mir, jer iako su mnoge države sa severoistka i dalje gubile procentualnu zastupljenost kao rezultat velikog porasta populacije na jugu i zapadu (što kroz selidbe, što kroz primanje novih država u uniju) broj poslanika iz tih država se nije smanjivao, što je verovatno umelo da bude dovoljna motivacija za te kongresne delegacije da se ne uzbudjuju previše oko raspodele. 

Period od 1850 do 1940 je dosta komplikovan i konfuzan. Odlikuje se zvaničnim usvajanjem Hamiltonovog, a zatim Websterovog metoda, sa jakom tendencijom da se izabere broj poslanika u kongresu za koji oba metoda daju iste rezultate i da se onda upotrebi ta raspodela (broj poslanika se i dalje uvecava, manje više, posle svakog drugog popisa; konačno staje na 435 posle popisa u 1920 i otad nije menjan). Interesantna protivzakonska i protivustavna otstupanja su nastala u 1872 i 1920-tim. U 1872 je usvojena raspodela koja se ne slaže sa nijednim od predloženih i važecih metoda (dakle usvojena je ad hoc i, po svemu sudeci, pogrešna raspodela). Buduci da Predsednički izbori direktno zavise od broja članova kongresnih delegacija po državama ova raspodela je za samo jedno poslaničko mesto odlučila Predsedničke izbore u 1876. Naime, Hayes pobedjuje Tildena iako je Tilden dobio preko 51,5 procenta glasova i pobedio bi da je raspodela mesta u kongresu bila izvršena bilo Websterovom bilo Hamiltonovom metodom. U 1920-tim uopšte nije došlo do preraspodele mesta u skladu sa novim popisom iz 1920, što je u suprotnosti sa ustavom. 

U 1911 predložen je Huntington-Hill metod ali isti nije zvanično usvojen i upotrebljen do 1941, a od tada je zvaničan metod u upotrebi u USA (u našem YU primeru ovaj metod je u koloni HH i u tom primeru daje isti rezultat kao i Websterov). Pravi razlog za konačno usvajanje Huntington-Hill metoda je, kao i obično u ovakvim prilikama, političke prirode. Websterov metod je davao jedno mesto više Michiganu a manje Arkansasu u poredjenju sa Huntington-Hill metodom. Kako je Arkansas bio naklonjen Demokratskoj Partiji (stara Demokratska Partija juga) a Michigan Republikanskoj, a Demokrate su bile na vlasti, izbor je pao na Huntington-Hill metod. 

Analizirajući argumente koji su pobornici i protivnici raznih upotrebljenih metoda, može se uočiti da se svako uvek zdušno, iz moralnih principa, za dobrobit unije, i za striktno poštovanje ustavnih odredbi, zalagao za najpravedniji moguci pristup, koji je nekom koincidencijom uvek bio na ruku predlagača. U svrhu argumenta se nisu štedele ni veoma zanimljive kvalifikacije. Richard Lee je u 1792 za Hamiltonov metod izjavio da je "aritmetico-political sophistry". S druge strane, Roger Mills, protivnik Jeffersonov metoda, je u 1882 izjavio "here is a new system of mathematics that demonstrates the truth to be false". Možda je najinteresantija izjava kongresmena Johna Littlefielda iz 1901 koji je izjavio "it seems as though mathematics and science had combined to make a shuttlecock and battledore of the State of Maine ... God help the State of Maine when mathematics reach for her and undertake to strake her down". Na ovo mu je, u slobodnom prevodu, jetko odgovoreno da "ako Maine tako mnogo zavisi od toga da li je Littlefield kongresmen onda molitva za božjom pomoci itekako ima smisla". Huntington je, pored nesumnjivog talenta za matematiku (bio je profesor na Harwardu) imao i osecaj za politiku i žestoko i vešto je je zastupao Huntigton-Hill metod pred kongresom. Nazivao je Websterov metod "nenaučnim" i "zastarelim" i uspeo je da u 1929 izdejstvuje zvanično mišljenje Američke Nacionalne Akademije koje daje prednost njegovom metodu (mišljenje današnjih eksperata je da je Websterov metod ako ne bolji, onda sigurno bar ne gori od Huntington-Hill metoda). 

------ beleške na margini ------------

Ako je iko čitao sve i stigao tu, samo da kažem da će drugi deo teksta (oh ne, biće i drugog dela?!) sadržati primere paradoksalnih situacija koje se pojavljuju prilikom proporcionalne raspodele, pokušaj objašnjenja kako koji metod funkcioniše, u kom smislu je "najpravedniji" (u zavisnosti kako se pravednost meri i šta se želi postici), koji metodi se koriste po raznim zemjama, i kratko potsećanje na teoremu Balinskog i Younga koja kaže da, u veoma preciznom smislu, ne postoji dobar metod za rešavanje problema proporcionalnog predstavljanja. Dakle, jedan čovek jedan glas je iluzija, nedostižan ideal, čak i kad bi svi zdušno želeli da postignu što pravednije predstavljanje. A mnogi se i ne trude, mada iz sasvim drugih razloga, što samo dodatno otežava stvari. 

------- reference -----------------

Manje više sve što sam ovde naveo (osim YU primera) se može naci i u knjizi 

M.L. Balinski, H.P. Young; Fair Representation, 2001

Nisam prevodio delove tog teksta, napisao sam svoje vidjenje, samo kažem gde možete naći više o svemu ovome. Knjiga je dobra (ljudi su stvarno eksperti za razliku od mene), a moja jedina zamerka je što je pisana u nekom arhaičnom stilu koji je izgleda namenjen američkim kongresmenima.