Matematika Politike: Iluzija Proporcionalnog Predstavljanj 2

(nema te matematike koja će pomoći ljudima da se bolje razumeju, uvažavaju, i vole, ako oni to ne žele)

Dva paradoksa proporcionalnog predstavljanja u USA kongresu

U drugoj polovini 19-og veka uobičajeno je bilo da se izradi tabela mogucih raspodela mesta po državama po Hamiltonovom i Websterovom metodu za razne veličine kongresa. Težilo se da se pronadje veličina kongresa koja će biti politički prihvatljiva (u smislu da će zasititi dovoljno zainteresovanih strana), a obično se birala veličina koja daje iste rezultate za ta dva metoda. Kao rezultat ovoga veličina kongresa je stalno rasla. Naime, obično bi stara veličina kongresa dala nezadovoljavajuće rezultate kad se proba izračunati raspodela sa brojevima dobijenim na novom popisu. Izmedju izbora za veći broj mesta koji daje dobre rezultate i manji broj mesta kongres se bez izuzetaka odlučivao za povećanje broja mesta iz razloga koje sam već naveo (da se delegacija iz nijedne države ne bi umanjila). Pored promena u populaciji, postojala je i promena u broju država kao posledica primanja (mada ima i ljudi koji bi u nekim slučajevima upotrebili i teže reči, kao recimo otimanja) novih država sa zapada. Porast broja država je takodje zahtevao povećanje broja mesta u kongresu da ne bi nijedna delegacija izgubila neko mesto pri novoj raspodeli. 

U 1880 zabeležen je u praksi prvi paradoks Hamiltonovog metoda, takozvani Alabama paradoks. Naime Hamiltonov metod je davao 8 mesta Alabami ako je veličina kongresa 299, a samo 7 ako je veličina kongresa 300. 

Dakle povećanje ukupnog broja entiteta (u ovom slučaju kongresnih mesta) koja su se delila dovela bi do smanjenja broja entiteta koja bi jedan od učesnika u podeli (u ovom slučaju država) dobio pri raspodeli. Ovaj paradoks dovodi u pitanje ispravnost korišćenja Hamiltonovog metoda u rešavanju problema proporcionalnog predstavljanja i 88 godina posle prvog veta pomalo daje za pravo Washingtonu na toj odluci (uostalom, u Americi se uzima za činjenicu da Washington i Oprah nikada nisu pogrešili u ničemu). 

Iako je ovaj paradoks interesantan sa matematičke tačke gledišta isti se može lako "ukinuti" političkom odlukom da se veličina kongresa nikada ne menja (naravno paradoks tako ne bi nestao, ali bi se gurnuo pod tepih i vremenom bi se možda prestalo govoriti o njemu). Malo je teže otarasiti se sledećeg paradoksa političkim sredstvima. 

U 1900 je primećeno da je moguće da, kao rezultat promena u populaciji, jedna država izgubi mesto u kongresu a da druga dobije, a da pri tome država koja je izgubila mesto ima brži porast populacije (meren istovremeno i u apsolutnim terminima kao veći priliv i u realtivnim terminima kao veći procenat rasta) od države koja je mesto dobila. Ovaj paradoks se ne može izbeći političkim odlukama (osim možda ako se zakonom ne propiše da nijedna država ne sme menjati svoju populaciju, ali ovo ima male šanse za uspeh u praksi; naime programi apstinencije ponekad imaju kontra efekte). Od šest metoda koje smo pomenuli (Hamilton, Adams, Dean, Huntington-Hill, Webster, Jefferson) Hamitonov je jedini koji pati od ovog ozbiljnog paradoksa, takozvani populacioni paradoks, u kojem učesnik u podeli popravlja svoju zastupljenost u odnosu na drugog učesnika a pri tome ipak gubi u raspodeli. 

Hamiltonov metod (metod najvecih ostataka)

Možda samo komplikujemo stvari bezveze, rešenje našeg hipotetičkog YU problema je očigledno zar ne? Ona dodatna dva mesta treba dati republikama koje bi najviše izgubile kad ne bi dobile to dodatno mesto. Naime, ako Sloveniji damo 10 mesta, Slovenija gubi samo 0,104 poslaničkih mesta (zato što je tačna kvota za Sloveniju 10,104). Ako Hrvatskoj damo 24 mesta, Hrvatska gubi 0,588 poslaničkih mesta (tačna kvota je 24,588). Dakle očigledno je da je pravednije dati dodatno poslaničko mesto Hrvatskoj nego Sloveniji. 

Populacija  Kvota   Min  H   Rep.  Populacija po poslaniku
--------------------------------------------------------------------------
9.778.991  50,258  50  50   SRB  195.580
4.784,265  24,588  24  25   HRV  191.371
4.365,369  22,435  22  22   BiH   198.426
2.033.964  10,453  10  11   MAK  184.906
1.965,986  10,104  10  10   SLO  196.599
   615.035     3,161    3    3  CG     205.012
-----------------------------------------------------------------------------
23.543.610    121  119 121 Total

Razmišljajući na sličan način, uporedjivanjem ostatka preko donje kvote koje svaka republika ima u svojoj pravoj kvoti, zaključujemo da su dve republike koje trebaju dobiti dodatnog poslanika preko svoje donje kvote Hrvatska i Makedonija zato što su njihovi ostaci 0,588 i 0,453 najveći. Kao meru totalnog otstupanja od tačne (i pravedne) kvote tu se uzima totalni "broj" poslanika koje su četiri republike koje nisu dobile dodatnog poslanika izgubile u odnosu na svoju tačnu kvotu, a to je ukupno 0,258+0,435+0,104+0,161=0,958 poslanika plus "broj" poslanika koji su Hrvatska i Makednonija dobili preko svoje tačne kvote (što je naravno ukupno opet 0,958). Dakle mera nepravde ovde je 2*0,958 = 1,916. Nijedno drugo od ukupno 15 mogucih predlog rešenja (postoji 15 načina da se dva mesta daju dvema različitim of šest republika) nece dati manje totalno odstupanje od tačne kvote, pa stoga ovo rešenje ima smisla i možda se može računati najpravednijem u datoj situaciji. 

Ako ste razmišljali kao u prethodnom paragrafu, onda ste samostalno otkrili Hamiltonov metod raspodele. 

Ponovicemo sada upotrebu Hamiltonovog metoda na našem hipotetičkom YU primeru, ali ovaj put sa 122 poslaničkih mesta

Populacija  Kvota   Min  H  Republika
------------------------------------------------
9.778.991  50,673  50  51  SRB
4.784,265  24,791  24  25  HRV
4.365,369  22,621  22  23  BiH
2.033.964  10,540  10  10  MAK
1.965,986  10,187  10  10  SLO
   615.035     3,187    3   3  CG
-------------------------------------------------
23.543.610   122  119 122 Total

Sa povećanjem broja poslanika sada ima tri dodatna mesta koja se trebaju podeliti. Kada se uporede ostaci preko donje kvote vidi se da ta tri mesta idu Hrvatskoj, Srbiji, i Bosni i Hercegovini. Dakle sa povećanjem broja mesta u skupštini Makedonija gubi jedno mesto i umesto 11 poslanika, koliko je imala kada je bilo 121 mesta, sada ima samo 10. Tu vidimo Alabama paradoks na delu. 

Ako želite možete da probate i sami da sebi ilustrujete populacioni paradoks u hipotetičnom YU primeru. Promenite populaciju tako što ćete uvećati Makedoniju za 4%, a Srbiju i Hrvatsku za 3%. Ostavite veličine ostalih repubilka neizmenjene. Sa 121 mestom u parlamentu i sa novim brojevima za populaciju, Makedonija dobija 10 mesta ako se upotrebi Hamiltonov metod. Dakle Makedonija gubi jedno mesto iako ima najveci procenat rasta populacije. Tu vidimo populacioni paradoks na delu. 

Jefferson metod (D'Hondt metod, Hagenbach-Bischoff metod)

Jeffersonov metod, u Evropi obično nazvan D'Hondt metod ili Hagenbach-Bischoff metod, je samo malo komplikovaniji za primenu od Hamiltonovog. Njegova izrazito dobra prednost je što je Alabama pardoks, kao i populacioni paradoks nemoguć pri upotrebi ovog metoda. Još jedna osobina ovog metoda je što favorizuje velike učesnike u podeli. Ne kažem da je ovo mana ovog metoda, jer je ova osobina sasvim poželjna u nekim problemima proporcionalne podele (ali o tom potom).

Početna ideja metoda može biti sledeća. A zašto ne bi samo zaboravili na ostatke? Kako bi bilo da, u hipotetičkom YU primeru, umesto dodeljivanje svih raspoloživih 121 mesta dodelimo samo onih 119 koja se dobijaju zaokruživanjem na dole od tačne kvote i da zanemarimo dva nedodeljena mesta? Na prvi pogled sasvim prihvatljivo ali tu ima dva problema. Možda se moraju podeliti svih 121 mesta (recimo da to nalaže zakon). Drugo, ako neko ima tačnu kvotu od 10,99 pa mu se zaokruži na 10 nije mu svejedno u poredjenju sa nekim ko ima tačnu kvotu od 10,01 pa mu se zaokruži na 10. 

Način na koji Jeffersonov metod rešava oba ova problema je veoma jednostavan. Pomnoži se tačna kvota svih učesnika sa istim koeficientom (dakle sve početne proporcije ostaju iste!) koji je nešto veći od 1. Tako se za svakog učesnika dobije modifikovana kvota koja je malo veća od tačne kvote (niko se ne buni naravno). Zatim se svima zaokruži na dole i svima da dobijeni ceo broj. Cela umešnost je izabrati dovoljno velik koeficient da bi ovo uvećanje svih kvota uz potonje zaokruživanje na dole dalo tačan ukupan broj entiteta koji se dele. To je sve. 

Na našem hipotetičkom YU primeru, dovoljno je pomnožiti sve tačne kvote sa 1,02 (s drugim rečima uvećati sve kvote za 2%) i dobiti modifikovane kvote (kolona označena sa Mod) koje posle zaokruživanja na dole dodeljuju ona dva dodatna mesta Srbiji i Hrvatskoj. 

Populacija  Kvota     Mod     J   Republika
---------------------------------------------------
9.778.991  50,258  51,263  51  SRB
4.784.265  24,588  25,080  25  HRV
4.365.369  22,435  22,884  22  BiH
2.033.964  10,453  10,662  10  MAK
1.965.986  10,104  10,306  10  SLO
   615.035      3,161    3,224  3  CG
---------------------------------------------------
23.543.610    121   123,42  121  Total

Ostali metodi

Kad se izuzme Hamiltonov metod, ostalih 5 metoda koje smo pomenuli funkcinoriaju na sličnom principu i nijedan od njih ne vodi niti u Alabama paradoks, niti u populacioni paradoks što je svakako poželjna osobina ovih metoda. U svakom od njih se prvo tačne kvote pomnože sa nekim koeficientom, a zatim se modifikovana kvota zaokružuje. Razlika je jedino u načinu zaokruživanja. Po Jeffersonovom metodu zaokruživanje je uvek na dole, po Adamsovom zaokruživanje je uvek na gore (stoga koeficient koji koristimo za množenje mora biti manji od 1), a po Websterovom se koristi uobičajeni način zaokruživanja (sve ispod 0,5 se zaokružuje na dole, a iznad 0,5 na gore). Kod Deanovog i kod Huntington-Hill metoda zaokruživanje je samo malo složenije (za matematičke sladokusce, kod Deanovog metoda se zaokružuje na dole kad je kvota ispod harmonijske sredine donje i gornje kvote; kod Huntington-Hill metoda se zaokružuje na dole kad je kvota ispod geometrijske sredine donje i gornje vote; kod Webstera zaokruživanje je na dole kad je kvota ispod aritmetičke sredine donje i gornje kvote). 

Kao posledica različitog načina zaokružuvanja, ovih 5 metoda imaju različitu tendenciju da favorizuju male ili velike učesnike. Naime u sledećem spisku 

Adams, Dean, Huntington-Hill, Webster, Jefferson

metodi su poredjani od Adamsovog koji najviše favorizuje male učesnike, preko Deanovog koji favorizuje male učesnike (ali manje od Adamsovog), pa sve do Jeffersonovog koji najviše favorizuje velike učesnike. Kao ilustracija različitog favorizovanja pogledajte ponovo drugu tabelu iz prvog dela teksta (prošli blog) u kojoj je raspodela izvršena za svih 5 metoda. Adamsov metod daje dva mesta Makedoniji i Crnoj Gori, dok Jeffersonov daje ta mesta Srbiji i Hrvatkoj. Ostala tri metoda daju rezultate izmedju ove dve krajnosti. Po raznim merama (kroz praksu a i teoretski) Websterov metod je, na duge staze, najbalansiraniji po ovom pitanju. 

Teorija i praksa

A što se mi zamaramo sa svim ovim metodima ako oni ne valjaju? Uglavnom zato što ne želimo da kažemo "e problem proporcionalnog predstavlanja nema dobro rešenje pa hajde da uvedemo diktaturu, ionako je svejedno". Još 1832 je Webster rekao "ono što se ne može uraditi perfektno mora biti uradjeno blizu perfekcije koliko je god to moguće". 

Ostaje nam da nekako izmerimo nepravdu koju činimo, da izmerimo otklon od savršene proporcije koje razna celobrojna rešenja imaju, i da se trudimo da minimizujemo taj otklon. Pomenutih šest metoda minimiziraju različite mere (možda je čak bolje reći percepcije) nepravde koje se mogu zamisliti. Sasvim logične mere, ali avaj, različite, i shodno tome, ove različite percepcije pravednosti vode do različitih matematičkih problema minimizacije, koji onda vode do različitih rešenja (i različitih metoda rešavanja problema proporcionalnog predstavljanja). 

Takav je život. Najčešće sve što može da se uradi je da se izabere šta se gubi a šta se dobija, da se onda izabere šta nam je važno i da se to neguje. 

Na primer, Deanov metod minimizira razliku broja žitelja po dodeljenom poslaniku izmedju različitih država. Sasvim razumna mera za nepravdu i stvar koju očigledno treba minimizirati. U našem hipotetičkom YU primeru (prva tabela gore) dat je broj žitelja po poslaniku za svih šest republika ako se upotrebi Hamltonov metod. Na primer Crna gora ima 205.012 žitelja po jednom poslaniku a Makedonija ima 184.906, što je razlika od nešto više od 20 hiljada žitelja po poslaniku. Deanov metod minimizira ovakve razlike. Slično, a opet različito, Websterov metod minimizira razliku broja poslanika po žitelju izmedju različitih država (u neku ruku ovo je dualna mera Deanovoj). Opet sasvim razumna mera nepravde, ali mera koja vodi do različitog rešenja u odnosu na Deanov metod. Huntington-Hill minimizira relativnu razliku žitelja po poslaniku. Na primer, količnik izmedju broja žitelja po poslaniku i Crnoj Gori i Makedoniji u gornjem primeru je oko 1,1. Dakle Crna Gora ima oko 10% više žitelja po poslaniku od Makedonije i Huntigton-Hill metod minimizira ovakve razlike.  

Kako je već rečeno, Hamilton metod minimizira ukupan otklon izmedju tačnih kvota i dodeljenih kvota, što je takodje sasvim razumna mera nepravde kao i sve prethodne koje smo naveli. Može se uočiti još jedna pozitivna osobina Hamiltonovog metoda. Naime, isti uvek dodeljuje ili donju ili gornju kvotu svakom učesniku. Ovo nije slučaj sa ostalih 5 metoda. Na primer, ako se vratimo na početak same priče, jedan od predloga u 1792 za sastav američkog kongresa je predvidjao 112 mesta u kome bi raspodela bila izvršena Jeffersonovim metodom. U ovom slučaju tačna kvota za Virginiju je 19,531 a Jeffersonov metod joj dodeljuje 21 mesto, dakle više i od gornje kvote (setite se, Jefferson je iz Virginije!). Ovo je jedan od glavnih razloga zašto je postojao veoma jak otpor prema Jeffersonovom metodu kod manjih država. 

U potrazi za novim metodom koji bi uključio sve dobre strane poznatih metoda Balinski i Young su u 1980 dokazali sledeću teoremu.

(Balinski - Young, 1980) Ne postoji metod koji uvek dodeljuje svakom učesniku ili donju ili gornju kvotu i koji nikad ne ispoljava populacioni paradoks. 

Dakle jedna od sledećih tri neugodnosti je neizbežna, bez obzira na upotrebjeni metod

- mogućnost da postoji populacioni paradoks ili 
- mogućnost da neko dobije više od svoje gornje kvote ili 
- mogućnost da neko dobije manje od svoje donje kvote. 

Ali manimo teoriju. Shta se dešava u praksi? Situacije se u praksi komplikuje sa malim detaljima sa velikim posledicama. Matematički gledano ovi detalji su minorni, ali sa ljudske tačke gledišta mogu biti izvor ogromnih nesporazuma i nepoverenja, pogotovu ako se stvari ne razumeju dobro. 

Kad se mesta dodeljuju na regionalnom principu proporcionalno s populacijom, uobičajeno je da svaki region bez obzira na veličinu mora dobiti bar jednog predstavnika (ponekad i više od jednog). Ovo zvuči prirodno i obično se niko ne buni protiv ovoga, osim u situacijama kad je region zaista ekstremno mali po populaciji (a tek ako je naseljen "pogrešnim" ljudima ...). Takodje, čini se da je ovde sasvim opravdano zagovarati balans u favorizovanju izmedju velikih i malih igrača, pa je stoga Websterov metod možda najbolji za korišćenje. U praksi, USA koristi Huntington-Hill metod za dodeljivanje mesta u kongresu proporcionalno sa populacijom. 

Kad se mesta dodeljuju partijama proporcionalno dobijenim glasovima onda nema nikakvog smisla davati bar jednog predstavnika svakome, jer bi to dovelo do neobuzdanog usitnjavanja (da bi na kraju svako bio partija za sebe i bio član parlamenta). Dakle u ovom kontekstu mora postojati prag preko kog partija mora da predje da bi uopšte dobila predstavnika. Na primer, sva mesta u Izraleskom Knesetu se daju partijama proporcionalno glasovima (dakle ceo Izrael je jedna izborna jedinica), donji prag za dobijanje mesta je 2% (tek odnedavno je ovaj procenat povećan sa prethodnog koji je bio 1,5%) i koristi se Jeffersonov metod (D'Hondt metod, Hagenbach-Bischoff metod, a Izraelci ga takodje nazivaju i Bader-Ofer metod). Dakle koristi se metod koji favorizuje velike partije. Zašto se ovo radi kad i samo postojanje praga od 2% već favorizuje veće partije? Jednostavno da bi se uvećala stabilnost sistema i verovatnoća za duže koalicije. Naime, ako se koristi Adamsov metod velika partija bi imala neodoljiv motiv da se podeli na dva dela da bi tom podelom osvojila dodatno mesto u parlamentu u ukupnom zbiru (Adamsov metod često ima takav efekat). A onda na još dva dela da bi uzela još neko mesto u ukupnom zbiru, i tako dalje, sve dok se ostaje iznad praga. Zato u ovom kontekstu i ne treba ići na sisteme koji makar malo favorizuju male igrače. Dakle treba se koristiti ili Jeffersonov metod (D'Hondt) ili, u najgorem slučaju Websterov (u Evropi poznat i kao Saint-Lague) ili Hamiltonov metod (metod najvećih ostataka).  
 
Da bi sve bilo još zamršenije i lepše (a istovremeno i izvor većeg nerazumevanja i ponekad ogromnog gneva) mnoge zemlje primenjuju različite mešavine regionalnog i partijskog dodeljivanja mesta. Raznolikost je zaista ogromna i ja neću ni pokušavati da se upustim u ovu temu. Pa onda, ako sve ovo nije dovojno, još postoje i problemi predstavljanja manjina. Sve što mogu da kažem je da nema te matematike koja će pomoći ljudima da se bolje razumeju, uvažavaju, i vole, ako oni to ne žele.