Narušena ravnoteža

Things fall apart; the center cannot hold (W.B. Yeats)

Ovim stihovima je započeo P. Krugman svoju nedavnu kolumnu pod naslovom The Widening Gyre o raspadu globalnog finansijskog sistema. Štagod bili razlozi ovog raspada nije nam trenutno mnogo važno, ali cela dinamika kolapsa, njena brzina i trajanje, i način raspada, u generalnom smislu, je zaseban i zanimljiv problem.
Svetski sistem finansija je samo jedan primer kompleksnog sistema kakvi postoje svugde oko nas - u biologiji, u ekonomiji, u društvu, u svesti, ili kosmosu. Internet, mreža neurona u mozgu, politicka organizacija planete, ekološki sistemi na vodi i kopnu, Sunčev sistem, galaksije u kosmosu, organi u organizmu, itd., su primeri takvih sistema. Zapravo, ako bolje pogledamo, manje više sve oko nas je ili kompleksan sistem ili deo takvog jednog sistema. Tinejdžer sa kompjuterom je samo pojedinac koji je deo interneta - i sa tačke gledista umreženosti kompjutera on je prosta jedinka. Medjutim, taj tinejdžer je takodje i kompleksan biološki, neuralni, imunološki, itd., organizam. Takodje, i taj kompjuter je, za sebe, kompleksan sistem koji funkcioniše zahvaljujući usaglašenom radu procesora, memorija, monitora, mrežnih kartica, itd.
Neki od kompleksnih sistema su po veličini mali (mozak, na primer, ili ćelija u organizmu), neki su veliki (ekoloski sistemi, Sunčev sistem), dok za neke prostorne dimenzije nisu bitan faktor (finansijski sistem).
Kada razmišljamo o trajanju ili o promenama u kompleksnom sistemu, važno je koju vremensku skalu imamo u vidu. Neke promene su brze i traju nekoliko minuta, koliko da proključa voda, na primer, vremenske prilike se menjaju u periodu od par dana, politički sistemi mogu da traju nepromenjeni više godina ili čak generacija, Sunčev sistem se menja na skalama od desetina milona godina, itd. Drugim recima, dok se oko nas neke stvari menjaju i razvijaju pred našim očima, druge nam deluju, u tom istom intervalu, stabilno i nepromenljivo. Medjutim, na dovoljno dugim vremenskim skalama, svaki složen sistem podleže promenama, bez obzira da li je u pitanju kosmos, ljudsko drustvo, naše raspoloženje, ili moda.
Od ključne važnosti je, dakle, razumeti stabilnost i načine promena kod različitih kompleksnih sistema. Na prvi pogled izgleda neočekivano da bi mogla postojati jedinstvena teorija koja obuhvata sve ove različite sisteme na univerzalan način. Na odredjenom nivou apstrakcije, medjutim, takva teorija postoji, barem za odredjenu klasu kompleksnih sistema, u koju spadaju mnogi nabrojani gore, i o tome je ovaj blog.

Neki kompleksni sistemi mogu da imaju manje više nepromenljiv broj delova ili članova (Sunčev system, organi u organizmu), dok se u drugima broj članova menja, najčešće rastom (Internet, naseljenost u gradovima, veličina koralnog grebena, broj bioloških vrsta na nekoj lokaciji). Upravo u ovom kontekstu su se pojavila i prva sistematska razmišljanja o stabilnosti ovakvih sistema.
Sedamdesetih godina je izašao rad R. May-a Will a large complex system be stable? (Da li će veliki kompleksan system biti stabilan?) gde autor, inače svetski autoritet u ekologiji, razmatra ovakvu ideju: zamislimo kompleksni sistem kome dodajemo sve više i više članova, i neka ti članovi medjusobno interaguju na slučajan (nepredvidljiv) način, da li će u nekom trenutku, kada broj članova dostigne neku dovoljno veliku vrednost, sistem postati nestabilan? Recimo, ako broj bioloških vrsta u nekoj ekološkoj zajednici raste, i te vrste se nalaze jedne drugima u lancu ishrane, ili koriste neki zajednički izvor hrane (na taj način se realizuje interakcija izmedju vrsta), da li će u nekom trenutku ta ekološka zajednica da se destabilizuje? Njegov odgovor - kasnije malo tehnički korigovan u radu Cohena i Newmana When will a large complex system be stable? - je da stabilnost zajednice može da se održi samo ako se postave oštri uslovi na veličinu i način interakcije medju vrstama. Inače će se sistem raspasti.
Ovo rešenje koje je pronašao May je blisko intuiciji.
Zamislimo da, umesto ekološkog sistema u kome broj vrsta raste, razmatramo povećanje broja stanovnika u nekom ljudskom naselju. U početku, kada je populacija naselja sasvim mala, svako može da gradi kuće i stavlja ograde gde želi, ali, kako se broj stanovnika povećava, neophodno je uvesti restrikcije u načinu i veličini gradnje - što, u suštini, znači da treba regulisati koliko stanovnici jedni s drugima interaguju ili imaju prava jedni druge da ometaju. Inače, divlja naselja će početi da rastu svugde, ljudi će neregulisanom gradnjom dovesti do kolapsa energetskog sistema, sistema snabdevanja i transporta, i tako uništiti normalno funkcionisanje grada. (Za one koji imaju bolje pamćenje, samo da pomenem da ovakav kolaps je ilustracija fenomena zvanog Propast opšteg dobra, o kome sam pisao ranije. S tačke gledišta teorije igara, ljudi na početku tretiraju gradsko zemljište kao opšte dobro, i koriste ga sebično i nekooperativno. Medjutim, kada se broj stanovnika u naselju dovoljno poveća, ovo više nije optimalna strategija. Zajedničko stanovanje je Igra saradnje - u istinskim situacijama se ta saradnja propisuje zakonom jer je nerealno očekivati da će ljudi svojevoljno saradjivati, bez obzira koliko je to u njihovom ili opštem interesu)

Ljudsko naselje nastalo bez regulisanog plana gradnje

Setimo se, takodje, da je sistem finansija nedavno krahirao upravo zahvaljujući odsustvu regulacija - novi finansijski instrumenti su uvodjeni, regulacije su smanjivane, i jedino vladajuće pravilo je bilo sebičnost i pohlepa - berzanski špekulanti su finansijski sistem tretirali kao opšte dobro. Čak je i regulator Volstrita, Mr. Greenspan, kasnije nakon kolapsa, izjavio da je ''šokiran od neverice'' što berza nije ‘'regulisala samu sebe''. Da je pročitao gore pomenuti rad Roberta May-a, iznenadjenja ne bi bilo.
Ovakav scenario raspada, medjutim, nije specifican samo za sisteme čiji se broj članova uvećavaja, kao u gornjim primerima. Sunčev sistem, na primer, se sastoji od približno konstatnog broja delova (Sunce, planete, sateliti, asteroidi i poneka kometa). Na prvi pogled, ovaj sistem deluje stabilno i nepromenljivo.

Medjutim, zahvaljujući nelinearnim interakcijama izmedju nebeskih tela, mali poremećaji ili fluktuacije u rasporedu masa mogu tokom vremena da proizvedu kumulativnu nestabilnost (‘'efekat leptira'') ili čak raspad sistema.. Nedavno je pokazano, u radu pod naslovom Haos i stabilnost Sunčevog sistema, da na vremenskim skalama od giga godina (milijardu godina), orbite planeta evoluiraju na haotičan način. Na našu sreću, ova se nestabilnost ispoljava tokom vremenskog perioda koji je duži od starosti Sunca, te ne utiče neposredno na naše živote. Kod ovakvih sistema, nestabilnosti se često mogu detaljno numerički analizirati uz pomoć kompjutera - medjusobne interakcije izmedju nebeskih tela su poznate (gravitaciono privlačenje), njihovi trenutni položaji i brzine mogu precizno da se izmere, i samo je potrebno numerički rešiti Njutnove jednačine koje nam daju položaje i brzine tih tela u bilo kom budućem vremenu. Ovo, razume se, nije lak zadatak, ali je izvodljiv, makar u principu.
Na sličan način se može razmatrati i stabilnost ekoloških sistema sa fiksiranim brojem vrsta.

 Napišu se jednačine populacije vrsta (Lotka-Voltera jednačine, na primer), uzme se u obzir lanac (mreža) njihove ishrane, i onda se iz njih kao rešenja dobiju populacije tih vrsta u bilo kom budućem vremenu. [Već ovaj korak, konceptualno jednostavan, je tehnički veoma složen jer je potrebno razumeti celu matricu interakcija medju različitim populacijama.] Od interesa je pronaći stabilnost takvih rešenja, tj. onu populaciju vrsta koja daje dinamički ravnotežnu ekološku zajednicu. U ovakvim situacijama se podjednako mogu dobiti i haotična ili nestabilna rešenja koja vode uništenju nekih vrsta ili raspadu ekološke zajednice. Uvodjenje nove vrste u zajednicu, ili uništenje neke vrste koja već pripada zajednici, takodje može dovesti do dezintegracije ili nekontrolisanog rasta (dobar primer je uvodjenje zečeva u australijsku ekologiju).
Ovi primeri ilustruju opšti princip koji se primenjuje u analizi stabilnosti kompleksnih sistema. Počnemo od nekog početnog stanja sistema (to može da bude početni broj vrsta u ekološkoj zajednici, ili početni položaji i brzine planeta) i iz jednačina koje opisuju interakcije izmedju delova sistema izračunamo buduća stanja sistema. U konceptualnom smislu, veoma jednostavno. Medjutim, postoji mnogo sistema za koje mi ne znamo precizne jednačine koje opisuju njihov vremenski razvoj. Na primer, globalno funkcionisanje naše svesti ili raspoloženja, koji su posledica aktivnosti nervnih ćelija, ili skup genetskih i spoljnih faktora koji, tokom mnogo generacija, utiču na evolutivne promene i razvoj pojedinih vrsta su takvi sistemi. Mi jednostavno ne znamo detaljne mehanizme interakcija izmedju delova takvih sistema, pa je gornji, redukcionistički prilaz na njih neprimenljiv. Kako onda opisati dinamiku promene ovakvih sistema?
Postoji nivo apstrakcije na kome mnogi ovakvi sistemi, o cijem detaljnom (fizicari bi rekli "mikroskopskom") mehanizmu ne znamo mnogo, mogu ipak da se opisu. Odgovor je dosao iz neočekivanog pravca - od paleobiologa. Kao i svaka generalna dinamička teorija, i ova se ne odnosi specifično ni na jedan poseban sistem, već na sve one koji se daju ovakvim prilazom opisati. Nadam se da ce do kraja teksta ova rečenica biti jasnija.

Početkom sedamdesetih, u vreme kad je May proučavao stabilnost kompleksnih sistema, Eldredge i Gould su pokušavali da razumeju paleobiološke podatke o evolutivnom razvoju vrsta. U to vreme se verovalo da se evolutivne promene vrsta dešavaju postepeno (gradualizam), da se, na primer, dužina krila, ili optička prilagodjenost oka, ravnomerno menja sve dok ne dostigne optimalnu vrednost koja toj vrsti daje evolutivnu prednost u preživljavanju. Drugim rečima, da se evolutivna adaptacija na spoljašnje uslove odvija postepeno. Dostupni podaci su, medjutim, ukazivali da ovo nije slučaj, već da se promene ka optimumu adaptacije dogode u relativno kratkom vremenskom intervalu (kratkom u poredjenju sa dužinom života neke vrste na planeti).
Konkretno, broj bodljica na telu vinske mušice je genetski fiksiran (postoji gen koji ovaj broj reguliše, da tako kažem) i iz generacije u generaciju radjaju se mušice sa prosečno istim brojem bodljica. Medjutim, mušice izložene životu na nižoj temperaturi razviju veći broj bodljica na telu, i ova se osobina prenosi dalje na buduće generacije mušica. Ovo je eksperimentalno potvrdjeno tako što se posmatra kolonija mušica, izložena životu na nižoj temperaturi, tokom desetina generacija i utvrdjuje promena broja bodljica na njihovom telu. Evo kako izgledaju rezultati takvog eksperimenta:

Na vertikalnoj osi je nacrtan prosečan broj bodljica na telu mušice kako se menja kroz generacije. Tokom perioda od oko 50 generacija, prosečan broj bodljica je oko 10, sa manjim fluktuacijama, i onda se, u vremenskom periodu od svega nekoliko generacija, ovaj broj naglo promeni na oko 16, gde se stabilizuje i dalje genetski prenosi na buduće generacije. Ovakvi, i mnogi drugi, ekperimentalni podaci ukazuju da se evolutivne promene ne dešavaju postepeno, već da je u pitanju dinamika koju su Eldredge i Gould nazvali ''punctuated equilibrium'' (P.E.). Gornja slika upravo takvu dinamiku ilustruje: neka vrsta, izložena pritisku da se promeni, dugo opstaje u ''starom'' genetskom aranžmanu (ovaj period genetske stabilnosti se zove stasis), a potom se u kratkom vremenskom intervalu promeni u novu, povoljniju, genetsku arhitekturu koja je stabilna u potonjim generacijama. Stara genetska ravnoteža je narušena i ustupa mesto povoljnijoj. U ovom procesu važnu ulogu imaju koncepti kao ''genetska izolovanost'' (mušice u ovom eksperimentu se ne ukrštaju sa drugim, ''divljim'', mušicama), genetski drift, genetski pritisak, ali to su detalji koji za nas nisu trenutno bitni. Ideja o P.E. je neko vreme bila osporavana u naučnim krugovima, ali je najzad bila generalno prihvaćena. (Ironično, ova promena mišljenja naučne javnosti se desila u relativno kratkom intervalu, što je samo po sebi ilustracija P.E. u genetici naučnog mišljenja, da tako kažem. Ljudi se dugo protive nekoj ideji, a onda se, u kratkom periodu, svi njoj privole, kao da su razvili po neku ekstra moždanu ćeliju, i počnu da tvrde da su oduvek tako mislili. Gould je napisao sjajan esej na ovu temu.)
Primetimo da nam P.E. odmah nudi odgovor na pitanje: ''Zašto se u paleobiloškim podacima veoma retko mogu naći prelazne forme?''. Recimo, zašto ima veoma malo fosilnih ostataka životinja koje su prelazni oblik izmedju ptica i dinosaurusa? Pa, zato što prelaznih oblika ima jako malo i traju veoma kratko - kao vinske mušice sa, recimo, 14 bodljica, koje postoje samo generaciju ili dve, i onda nestanu. Hibridne forme su nestabilne i retke. Medju fosilnim ostacima koji već su sami po sebi retki, prelazne oblike je izuzetno teško naći. Ja lično bih se čak usudio da kažem da je to jedan od razloga što još nije pronadjena toliko tražena ''nedostajuća karika'' u lancu evolucije čoveka - evolutivne forme šimpanze i čoveka su stabilne (evo, traju već milionima godina), ali prelazna forma nije. Ovo je, razume se, samo moja špekulacija.
Vrsta dinamike kakvu sugeriše P.E. nije ograničena samo na evolutivne promene, i ja ću pokušati to da demonstriram do kraja ovog teksta.
Centralna dva koncepta neo-darvinističke teorije evolucije su male slučajne genetske promene i prirodna selekcija. Neke od ovih promena proizvode bolju adaptaciju (darvinovski ''fitness'' je veći) i takva nova genetska arhitektura se stabilizuje. Retrospektivno gledano, priroda ''odabere'' najpovoljniju formu koja se dalje razvija i adaptira uvek novim uslovima. Treba upamtiti, naravno, da su promene slučajne (priroda je Blind Watchmaker) i u celom procesu ne postoji nikakva viša ''namera'' ili dizajn. Polazeći od ova dva koncepta, Cohen, Newman i Kipnis (prva dvojica su isti autori koji su pomenuti na početku ovog teksta, a u vezi sa radom R. May-a) su konstruisali matematički model ove P.E. dinamike u radu pod naslovomNeo-Darvinovska evolucija imlicira P.E. Po svojoj osnovnoj ideji, koncept je jednostavan.
Zamislimo da imamo neku populaciju (vinskih mušica, na primer) ciji ''fitness'' prema okolini ima dva stabilna stanja (ovo se lako može generalizovati na više od dva stanja) - na primer, stanje sa oko 10 bodljica na telu, i stanje sa oko 16 bodljica. U matematičkom smislu, funkcija prilagodjenosti (fitness function), kao funkcija broja bodljica, ima dva minimuma (ili maksimuma, u zavisnosti od znaka ispred nje). Ova funkcija prilagodjenosti je samo jednodimenzioni matematicki model Waddingtonovog ''fitness lanscape-a'' Promena broja bodljica na telu mušice će se dešavati tako da mušica pokušava da ostane blizu maksimuma prilagodjenosti, plus slučajne i male genetske fluktuacije koje će menjati iz generacije u generaciju broj bodljica ka većem ili manjem broju (na slučajan način!).
Ovo može i matematički da se zapiše, ali ja ću izbeći matematičke formule da ne bih sasvim dotukao par već utrnulih citalaca, ako i takvih još uvek ima. [ U sustini, jednacina je dx/dt=a*dG/dx+e, gde je x prosecan broj bodljica, G fitness funkcija (polinom cetvrtog reda sa dva minimuma, na primer), a je prost parametar, i e je random clan promenljivog znaka.] . Iterativno rešavajući ovaj model - ovo prosto znači da se podje od nekog početnog broja za datu osobinu (broj bodljica u početnoj generaciji, na primer), i onda se po formuli izračuna koliku vrednost ta osobina ima u sledećoj generaciji, pa u sledećoj, itd., - dobije se rezultat prikazan na slici dole

Na vertikalnoj osi je nacrtana srednja vrednost neke osobine (x u ovom slučaju) kao funkcija vremena, koja se u ovakvom modelu dobija sa proticanjem vremena. (Na istoj osi je, radi ilustracije, takodje prikazana i fitness funkcija G(x), koja ima dva optimuma - kod p=0 i p=3, na slici). Posmatrajući ovaj grafik, odmah je jasno da prilikom razvoja ovakvog sistema, neka osobina dugo vremena ima manje više jednu vrednost, koja se potom u vrlo kratkom vremenskom intervalu promeni u drugu i tu stabilizuje. Ovo je samo rečima iskazana P.E. dinamika.
Ključni rezultat je, dakle, jednostavan: kada je system izložen pritisku da optimizuje svoju prilagodjenost, i istovremeno izložen slučajnim fluktuacijama, onda će ta osobina koja mu menja prilagodjenost (broj bodljica, na primer) da se promeni u veoma kratkom vremenskom intervalu.
Nadam se da je jasno da se ovaj zaključak ne odnosi samo na promenu broja bodljica na telu neke mušice. Evo, na primer, kako izgleda grafik promene vrednosti njujorške berze 24. novembra 2008. godine.

Matematički modeli, slični ovome, su razmatrani u kontekstu teorije katastrofa (ovaj konkretan mehanizam se zove fold katastrofa) i faznih prelaza. Još ranije, u fizici je razvijen tzv. Kramersov model, gde se neka čestica kreće u potencijalu sa dva minimuma (fluktuacije u ovom sistemu su kvantne prirode) i proučava se dinamika prelaza iz jednog minumuma u drugi. Kvaziklasično rešenje ovog problema je poznato kao Rate Theory u hemijskoj kinetici.

Kompleksni sistemi su svuda oko nas. Njihova stabilnost i dinamika je nekada dobro definisana, ali postoje mnogi takvi sistemi kod kojih nekontrolisan rast ili slučajne fluktuacije mogu da dovedu do dramatičnih promena na globalnoj skali. Neke od ovih promena, ili prelaza, se ponekad zovu i noise driven transitions (prelazi izazvani šumom) jer male fluktuacije proizvode globalni efekat. Kad ne bi bilo malih genetskih fluktuacija (mutanata), naša vinska mušica nikada ne bi uspela da promeni broj bodljica na telu i prilagodi se promenjenim uslovima temperature na Zemlji. Uslovi temperature na Zemlji su posledica klimatsko-meteorološke stabilnosti, koja je takodje kompleksan system podložan globalnim promenama pod uticajem slučajnih faktora i čovekovih aktivnosti, izmedju ostalog. Čovekove aktivnosti na Zemlji su posledica rasta i razvoja ljudskog društva i ekonomsko-političkih zakonitosti koje su se, evo, industrijskom revolucijom dramatično promenile. Zemlja ostaje u svojoj orbiti zahvaljujući relativnoj stabilnosti Sunčevog sistema, ali, kako smo videli, i ova stabilnost može da bude narušena. Prema nekim teorijama, i sam nastanak kosmosa i sveta oko nas je posledica kvantnih Fluktuacija u ranom svemiru, koja je dovela do inflatornog širenja. Na neki način, mi smo nastali kao posledica fluktuacija, i možda ćemo, u nekoj budućnosti, kao svaki kompleksan sistem, isto tako bez traga nestati.
Jedino što pouzdano znamo je da će se ta promena, ako je bude, desiti veoma brzo, kao što bi narušena ravnoteža onog dečka na prvoj slici ovog bloga naglo i nepovratno prekinula magiju njegovog lebdenja.