Order and Chaos (M.C. Escher)
"беше тама над безданом; и дух Божји дизаше се над водом" (Knjiga Postanja 1:2)
Haos = od Grčkog khaos "abyss, that which gapes wide open, is vast and empty"
U svakodnevnom govoru ljudi koriste reč "haos" da opisu stanje totalne neuredjenosti, koje nema formu ili opisiv oblik. U Bibliji, Grčkoj mitologiji, i drugim kosmologijama, prvobitno stanje sveta se na sličan način opisivalo, kao bezdana praznina, a tek je bozanskom intervencijom iz ovoga nastao kosmos - poredak koji je haosu suprotan.
Poslednjih godina se ovaj termin često koristi i u političkom jeziku, obično kao deo fraze "teorija haosa", a Bil Klinton je svojevremeno rekao da njegova administracija funkcionise na principima "kreativnog haosa".
U nauci "haos" je tehnički izraz kojim se opisuje odredjena vrsta dinamičkog ponasanja nekih sistema. Ispostavlja se, naime, da haotično ponasanje ipak nije tako "haotično", tj., da ima specifičnu i opisivu strukturu, i tome je ovaj blog.
Pre svega, da razjasnimo neke termine koji nam trebaju.
Dinamički sistem je svaki sistem čije se stanje sa vremenom menja: to moze biti, recimo, klatno koje se klati, ili meteorolosko stanje u nekom periodu, na primer. A moze biti i nesto apstraktnije - na primer populacija ljudi na planeti - tj. ovaj termin se ne odnosi samo na mehaničke ili termodinamičke sisteme.
Da bi opisali promene u dinamičkom sistemu, moramo imati neku veličinu koja opisuje stanje tog sistema, i ta veličina se zove dinamička promenljiva - kod klatna je to, recimo, ugao otklona od vertikalne ose; kako se klatno krece, tako se i taj ugao menja. U ovom prostom primeru, taj ugao je dovoljan da u potpunosti opise system. Kad meteoroloskih sistema, medjutim, potrebno je vise dinamičkih veličina, zato sto nije moguće samo pomoću pritiska, ili samo pomoću temperature, ili samo pomoću brzine vetra opisati klimu - potrebne su nam sve tri veličine istovremeno.
I najzad, ključni element je da imamo i jednačinu iz koje se moze izračunati kako se dinamička promenljiva sa vremenom menja. Ta jednačina se zove jednačina razvoja (evolution equation): u slučaju klatna, to je jednačina iz koje se moze izračunati ugao otklona klatna u svakom trenutku, i dobija se iz jednačine kretanja pod uticajem sile, tj., iz Njutnovih jednačina. Kod meteoroloskih sistema, s druge strane, u pitanju su jednačine kretanja fluida, itd. Ovi primeri su jednostavni, jer fizika koja stoji iza ovih kretanja je potpuno poznata (mehanika, termodinamika, mehanika fluida). Ovim nisam rekao da su i resenja odgovarajučih jednačina potpuno poznata, ali o tome ćemo kasnije.
Medjutim, kada razmatramo druge sisteme, čije se funkcionisanje ne moze izvesti iz elementarnih fizičkih principa, tu već nismo na tako poznatom terenu. U tom slučaju nam je potreban model od koga polazimo. Evo primera koji to dobro ilustruje.
Put u katastrofu Tomas Maltus, poznati demograf iz Engleske, je 1798 stampao čuveni traktat o broju stanovnika na planeti, i pokusao da tom problemu pridje na egzaktan načn (razume se, u okviru podataka koji su tada bili dostupni). U ovom slučaju, dinamički system je populacija planete, dinamička promenljiva je broj ljudi u nekom trenutku, P(n), i koji se menja od trenutka do trenutka, i sada je jos ostalo da napisemo jednačinu iz koje P(n) moze da se izračuna - jednačinu razvoja za P(n). Maltus je rezonovao ovako: zamislimo da prebrojavanjem dodjemo do podatka da u nekom trenutku na planeti zivi P(0) ljudi. Koliko će ih ziveti u nekom kasnijem trenutku - posle jedne godine, ili posle 10 godina, ili posle jedne generacije, na primer (tačan vremenski interval, videće se, nije bitan)? Pa, kaze Maltus, populacija u sledećem trenutku, P(1) je srazmerna populaciji u prethodnom, P(0), tj. P(1)=r*P(0), gde je r koeficijent srazmernosti koji moze da se dobije iz postojećih podataka. Ova jednačina samo kaze da će u tom vremenskom intervalu izmedju dva brojenja, neki ljudi da umru (iz raznih razloga - ratovi, siromastvo, bolest), neki će da se rode, i ukupan efekat se moze sazeti u neki parametar, r, koji nam opisuje neto prirastaj stanovnistva. Ovo je, dakle, taj model od koga je Maltus posao.
Sada, ako je P(1)=r*P(0), kako je Maltus pretpostavio, onda je P(2)=r*P(1), pa je P(3)=r*P(2), itd., populacija u narednom trenutku je srazmerna onoj u prethodnom. Ovo se moze lako resiti prostom smenom: iz P(2)=r*P(1)=r*(r*P(0)) =r^2*P(0), gde smo P(1) zamenili odgovarajucim izrazom P(1)=r*P(0). Na taj način, sukcesivnim smenama. se dobije: P(3)=r^3*P(0); P(4)=r^4*P(0), itd. Posle n intervala merenja (n godina, n generacija ili slično), dobijemo da je populacija u tom trenutku P(n)=r^n*P(0). Primetimo da će P(n), po ovoj formuli, imati različite konačne vrednosti (posle dovoljno velikog broja vremenskih intervala n) u zavisnosti od toga kolika je vrednost prirastaja r. Ako je r<1, r^n postaje veoma mali broj koji se priblizava nuli: drugim rečima, za r<1, bez obzira od koje smo početne vrednosti P(0) počeli, populacija će da dostigne 0, tj., da isčezne; kad je r=1, r^n=1, pa populacija ostaje ista u svim generacijama i biće jednaka početnoj populaciji P(0); najzad, za r>1, populacija će da se povećava sa stepenom r^n, i postati beskonačno velika, bez obzira od koje smo početne populacije P(0) počeli. Ove vrednosti - 0, 1, i beskonačno - su moguća konačna stanja naseg dinamičkog sistema i tehnički se zovu "atraktori" - to su stanja kojima system tezi posle dovoljno dugog vremena. U kome će od atraktora system da zavrsi, zavisi od vrednosti parametra r. U ovom prostom primeru, svaki od atraktora je prosto tačka (0 dimenzioni geometrijski objekt)
Aha! Znači polazeći od neke početne populacije P(0), broj ljudi na planeti će da raste (stepenom) geometrijskom progresijom, sa koeficijentom progresije = r. Ako je r>1, tj. ako je broj ljudi u narednoj generaciji veći nego u prethodnoj (a to jeste slučaj), onda se populacija geometrijski povećava i brzina povećanja je odredjena prirastajem, r.
Ovaj jednostavan rezultat je imao ogroman uticaj na demografe i mislioce tog vremena. Naime, sa povećanjem broja stanovnika povećava se i količina proizvedenih resursa, hrane i slično, ali ovo povećanje, prema tadasnjim podacima, raste prostom aritmetičkom progresijom. Broj stanovnika raste brze nego količina resursa. Posle dovoljnog broja godina, dakle, resursa će biti manje, a stanovnika koji će ih koristiti vise, pa će tako zavladati oskudice. I ova situacija će se vremenom pogorsavati - videti u vezi sa ovim raniji blog naslovljen The Tragedy of the Commons. Ovo stanje je dobilo i tehnički naziv - demografska (Maltusova) katastrofa. Nije haos, ali je katastrofa.
Lumeni tog vremena (a i kasnije, bogami) su dosli do zaključka da je jedini način da se katastrofa izbegne ili odlozi taj da se smanji prirastaj, r. To se na primer moze postići ako se poveća smrtnost - namerno izazvana ratovima, bolestima, oskudicama - ili ograničenjem radjanja (ovo poslednje je, na primer, Maltus preporučivao radnim masama). Iz ovakvog rezonovanja je kasnije nastala Eugenika (Eugenics), drustvena doktrina koja zagovara kontrolu prirastaja stanovnistva, ili selektivnog ukrstanja, koja je do sredine proslog veka bila u priličnoj modi. Hitlerova praksa ove vrste je totalno diskreditovala Eugeniku kao nauku, i ona se danas smatra za pseudo-nauku, mada se i dalje pojavljuje tu i tamo u prerusenom i nasminkanom obliku (jedan od ex-blogera je, na primer, zagovarao da se svi pusači i narkomani izoluju u zasebne gradove i da im se spreči mesanje sa "normalnim" ljudima). Ali, da se vratimo osnovnoj temi.
Maltusov model ima bitan nedostatak: naime, nijedna realna sredina ne moze da odrzava na sebi neograničeno veliki broj ljudi. Istina je da, na početku, kad je broj ljudi mali, njihov prirastaj se odvija geometrijskom progresijom, ali kada populačija dovoljno poraste i smrtnost počinje da raste (sa većim brojem ljudi sukobi su česći, zarazne bolesti se lakse prenose, itd.), sto se odrazava na vrednost parametra r.
I jos jedna napomena: mi mozemo da posmatramo Maltusov model kao model nekog drugog razvojnog procesa - recimo načina na koji deca uče jezik; u tom slučaju, P(n) bi bio broj reči koje je dete naučilo posle n vremenskih jedinica, sto, u veoma grubom smislu, nije nerazumno pretpostaviti. Kako dete zna vise reći tako će lakse da nauči nove reči (neke će da zaboravi) ali celokupni efekat je povećanje fonda reči. Medjutim, ako ovaj model ozbiljno shvatimo, dolazimo do resenja da će posle dovoljno drugog vremena (velikog broja n), dete naučiti praktično neograničen broj reči, vise nego sto ih ima u rečniku - sto je apsurd. U početku učenja, dete zaista brzo uči nove reči, ali kasnije ovaj process usporava, tako da najzad dete usvoji neki konačan fond reči kojima se koristi. I tu proces učenja novih reči, manje vise stagnira.
Iz ovoga mozemo izvući veoma vaznu pouku: zaključci do kojih dodjemo razmatrajući ovakve modele su onoliko valjani koliko je valjan model od koga smo posli.
Put u haos Uzimajući obzir mane Maltusovog modela, kao sto je neograničen rast, moguće je napisati jednačina razvoja za P(n) koja ne daje apsurdna resenja, i ograničava rast do neke maksimalne fiksne vrednosti specifične za dinamički system koji se posmatra. Ako reskaliramo (normiramo) vrednosti P(n) ovim maksimalnim brojem (tzv. kapacitet sredine), onda P(n) moze da ima vrednosti od 0 do 1, gde 1 znači 100% kapaciteta je popunjeno - ovo sve radimo radi preglednosti.
Jedna od najčesćih i najpoznatijih modifikacija Maltusovog modela je tzv. Logistički rast koji se izrazava razvojnom jednačinom:
P(n+1)=r*P(n)*(1-P(n)),
Gde, kako smo rekli, sada P(n) moze da uzima vrednosti od 0 do 1. Kada bi izmnozili desnu stranu jednačine dobili bi dva člana: prvi r*P(n) sto je Maltusov model, u drugi -r*P(n)^2, sto je korekcija na Maltusov model. Primetimo da je ova korekcija drugog stepena, dakle nije linearna.
Kako izgledaju resenja ove jednaine?
Za Maltusovu jednačinu znamo: resenja su r^n*P(0), I konačna stanja zavise od vrednosti prirastaja r: mogu biti 0,1, ili beskonačno. A za Logističku jednačinu? E, tu počinje igranka!
Prvo, resenja, kao i u slučaju Maltusovog rasta, zavise od prirastaja, r. Medjutim, njih nije moguće zapisati u zatvorenom obiku, pomoću jedne formule, kao sto smo to mogi ranije. Ipak, ona se mogu naći pomoću kompjuteta, prostom iteracijom Logističke jdnačine: počnemo od neke vrednosti P(0), zamenimo tu vrednost u gornju jdnačinu I dobijemo P(1). Tu vrednost zamenimo u gornju jednačinu, dobijemo P(2), tu vrednost zamenimo...itd.
Rezultat svega toga je sledeći: kad je r<1, ovim iterativnim postupkom se dobije da je konačno stanje uvek = 0, tj., populacija nestane (kao u slučaju Maltusvog rasta) - prirastaj je nedovoljan da odrzi populaciju, bez obzira kolika je početna populacija P(0). Kad je r>1, dobija se druga slika: kada počnemo od neke početne populacie P(0), ona, posle dovoljno dugog razvoja, dostigne konstantnu vrednost i takva ostane za stalno.Nije tesko izračunati da je ta konstantna krajnja vrednost, ili stanje populacije jednako (r-1)/r, dakle zavisi od vrednosti prirastaja, r, ali ne i od početne vrednosti populacije P(0). Polazeći od bilo kojeg početnog stanja, nasa populacija se razvija i dostigne neku krajnju vrednost (r-1)/r, kako je već rečeno. I to je sve? Nije.
Postavlja se pitanje kada je ova krajnja vrednost populacije stabilna. To jest, da li je krajnja vrednost uvek nezavisna od početne poulacije P(0), bez obzira koliko je r (r>1 sada)? Odgovor: nije.
Kad je r=3, konačno stanje (r-1)/r postaje nestabilno, i umesto njega se pojavljuju dva stabilna resenja, koja se naizmenično pojavljuju u sukcesivnim generacijama!
Stavise, kako se r menja (povećava), i ova dva resenja (konačna stanja) postaju nestabilna, ali se umesto njih pojavljuju četiri nova stabilna konačna stanja (r=3.449..), koje se obnavljaju u sukcesivnim generacijama - prostije, posle svake četiri generacije se populacija ponavlja: prodje kroz četiri različite vrednosti u svakoj generaciji, i onda se ceo cikus vraća na početak.
Sa daljim povećanjem prirastaja, r, ova četiri stanja gube stabilnost, pa se pojavi novih osam stabilnih stanja (r=3.544..), pa 16, pa 32 - dolazi do kaskadnog udvajanja stabilnih stanja, ili kako se to tehnički kaze, do kaskade bifurkacija. Sve sto sam rekao u poslednja tri paragrafa je prikazano na slici dole. Tu je prikazana slika stabilnih konačnih stanja Logističkog modela rasta, ili portret "atraktora", sa promenom prirastaja r, kao sto je pomenuto gore.
Na ovoj skali, prikazanoj na slici, to se ne vidi dobro, ali kaskada udvostručavanja se odvija u beskonačnost, sve do vrednosti r=3.5699.. koja predstavlja tačku akumulacije - tu se kaskada udvajanja zavrsava sa beskonačno mnogo tačaka, od kojih je svaka stabilno konačno resenje. Zanimljivo da je skup ovih tačaka fraktalni, pa I dakle atraktor nije vise tačka, ili dve tačke, ili 512 tačaka, već beskonačni kup fraktalne dimenzije. Atraktor fraktalne dimenzije se zove "čudni atraktor" (strange attractor), a za dinamički system čiji je attractor fraktalan (čudni) se definise kao haotičan. U tački akumulacije nije moguće vise predvideti koje je konačno resenje, i takvo stanje se zove haos.
Ako nastavimo dalje da povečavamo prirastaj, r, ovaj haos se prekida, pojavljuju se "prozori" unutar kojih opet imamo regularne cikluse raznih periodičnosti (3, 5, itd.), pa opet dobijemo haos, pa prozore, pa haos....Skoro svi detalji oko naizmeničnog pojavljivanja haosa i "prozora" u ovom slučaju se dobro znaju, ali neću na njima da se zadrzavam.
Ono sto je vazno istaći je:
Prvo, polazeći od potpuno determinističke jednačine razvoja, jednostavan system moze da udje u haotični rezim kada je nemoguće predvideti njegov razvoj.
Drugo, kad smo u haotičnom rezimu, dva slična početn stanja će da se razvijaju svaki za sebe, i, bez obzra koliko su u početku slična, ona se posle dovoljnodrugog vremena mogu drastično da se razlikuju. Mi to ne mozemo predvideti. Ovo se tehnički zove "osetljivost na početne uslove", ili, jos popularnje, "efekat leptira": dva beskrajno bliska početna stanja evoluiraju u dva sasvim različita stanja, grubo rečeno.
Termin efekat leptira je nastao iz razmatranja sličnih jednačina razvoja - tzv. Lorentzovog modela. To je model korisčen u meteorologiji i opisuje kako se meteoroloske dinamičke promenljive razvijaju sa vremenom. O ovom slučaju se radi o tri jednačine (za tri promenljive) koje zavise jedna od druge, ali da ne davim sa tehnčkim detaljima. Rezultat je konceptualno isti: polazeći od nekih početnih vrednosti metorolskih promenljivih, konačna stanja mogu da se dramatično razlikuju, bez obzira sto su početne vrednosti veoma slične. Rečima je to iskazano ovako: ako se moja početna stanja vetra razlikuju za mahanje leptirovih krila, onda je to dovoljno da su konačna stanja nepredvidljiva. Ili: "ako leptir mahne krilima Brazilu, to moze da izazove tornado u Teksasu". Takva je priroda klime.
Ovaj već predugačak blog je, plasim se, suvise tehničke prirode, pa ne bi vise da davim, ali da zavrsim sa nekoliko opstih zaključaka.
Naravoučenije
Najveći broj dinamičkih sistema u prirodi je se opisuje nelinearnim jednačinama. One, za odredjen vrednosti parametara, mogu da imaju haotična ponasanja, kako smo videli. Takvih sistema ima, zapravo, mnogo vise nego "regularnih" - uredjeni sistemi su izuzetak a ne pravilo:
Elektroencefalogram čoveka tokom epileptičkog napada je haotičan.
Meteorologija je haotična.
Sunčev system je, na duge staze, haotičan.
Izolovan mrav se haotično kreće.
Populacije su haotične. Itd.
Zadrzimo se na ovom poslednjem. Ako se populacije zaista ponasaju kako je opisano gore (a svi su izgledi da je ovaj model dobro opisuje situaciju u stvrnosti), zamislimo onda vise bioloskih populacija koje koegzistiraju, i, recimo, neke se hrane drugima (kao medju ribama, na primer). Zivotni ciklusi ovih populacija su različiti, pa dok je jedna u usponu, druga moze biti u nekom drugom ciklusu - mi najčesće to ne znamo. Posle miliona godna evolucije, ove populacije su nasle stabilno resenje koegzistencije, kada ni jedna vitalno ne ugrozava drugu - one su uspele da prezive zajedno. Intervencijom čoveka se menjaju početni lokalni uslovi (leptir je mahnuo krilima), i konačna stanja su nam totalno nepredvidiva - ona mogu da su stabilna, a mogu i da vode unistenju nekih vrsta, sto proizvodi ozbiljne poremećaje okruzenju drugih vrsta, sto vodi...bolje da ne mislimo. Ukratko, delikatna ekoloska ravnoteza je postignuta posle mnogo miliona godina "probanja", a sada se pojavio čovek sa svojim uticajem.
Kada su prvi put naselili zečeve u Australiju,svi su mislili da je to korisno - čak simpatično. Medjutim, populacija zečeva je vremenom do te mere narasla, da su svi oni koji su eksperiment napravili zbog njega zazalili.
Na Novom Zelandu ne postoje grabljivice (sem čoveka), i strogo je zabranjeno takve zivotinje donosti na N.Z. Sada razumemo zasto.
Zbog leptirova.
P.S. Posle mnogo razmisljanja, odlucio sam ovaj blog ipak ostane razumljiv, te nisam ubacivao niz spektakularnih slika kakve se mogu naci na internetu, a koje ilustruju atraktore raznih dinamickih sistema.