Evariste Galois, tragedija jedne mladosti

nsarski RSS / 21.11.2007. u 01:12

 

galois.jpg

Evariste Galois

"Ne plači! Potrebna mi je sva snaga koju imam da bih mogao da umrem sa 20 godina" - E. Galois.

Evariste Galois je u svetu matematičara bio ono što je Dzejms Din bio u svetu glumaca. Ziveo je brzo i kratko, poginuo je u besmislenom dvoboju kada mu je bilo 20 godina, i za sobom ostavio matematičku zaostavštinu koja je danas ugradjena u temelje savremene algebre, teorije grupa, teorije brojeva, i moderne matematike uopšte. Igrom sudbine, Galois nije doziveo da vidi plodove svoga rada - neke od svojih ključnih rezultata je zabelezio u pismu koje je grozničavo sastavio te fatalne noći pred dvoboj, 29. maja 1832., a vaznost njegovih otkrića je prvi put prepoznata tek oko 25 godina kasnije.

U vremenskom rasponu od samo te jedne noći, on je budućim naučnicima ostavio dovoljno materijala koji će ih drzati zaposlenima tokom sledećih 100 godina. Ili barem tako kaze legenda.

galois-notes.jpg

Faksimil jedne strane Galoisovih beleski.

Razume se, legenda je prica za sebe, a istina je u njenom tkanju samo jedna nit: najpre, Galois je neke svoje rezultate objavljivao u par navrata pre svoje prerane smrti, a zatim, matematičari se i danas, skoro 200 godina kasnije, bave problemima o kojima je pisao Galois. Ali, da podjemo redom.

Evariste Galois je rodjen 25. oktobra 1811, u selu Bourg-la-Reine (danas predgradje Pariza), u kome je njegov otac bio gradonačelnik. Njegova majka je bila obrazovana zena, i podučavala je Evarista kod kuće latinskom i grčkom i muzici, sve do njegove 12. godine, kada se upisao u školu Louis-le-Grand koja i danas postoji. U početku je bio dobar djak, ali su mu klasične discipline ubrzo dosadile - posebno loše mu je "išla" retorika. Učitelji su za njega pisali da je "originalan i neobičan" ali i "svadjalica". Tada je "otkrio" matematiku: naišao je na Lezandrovu (Legendre - čuveni matematičar) knjigu iz geometrije, prilično tešku, koju je brzo savladao. Potom je prešao na Lagranzove knjige o analitičkim funkcijama i kalkulusu. Učitelji su ga cenili kao darovitog, ali su ga savetovali da bude sistematičniji i bolje organizovan. Evarist je, medjutim, sledio svoj interes i svoju strast, i sa 16 godina pokušao da se upiše na Politehničku školu bez polozenih uobičajenih ispita. Bio je odbijen.

Ovo je za Galois-a bio tezak udarac, još jedan dokaz nepravde i izvor zivotnog ogorčenja. U godini koja je usledila, Galois se ozbiljnije posvetio matematici, pokazivao je veliki talenat, i sa 17 godina štampao svoj prvi mali naučni rad o periodičnim beskonačnim razlomcima.

Sa 18 godina je ponovo pokušao da se upiše na Politehničku školu, ali je opet bio odbijen. Tokom prijemnog ispita, legenda kaze, naljutio se na jednog ispitivača i gadjao ga brisačem. (Ovaj dogadjaj se često pominje kao ilustracija jednog okoštalog i zastarelog obrazovnog sistema koji nije imao dovoljno sluha da pred sobom prepozna genija.) Takodje, nekoliko dana pre ovog sudbonosnog ispita, Evaristov voljeni otac je izvršio samoubistvo gušenjem; izlozen političkim pritiscima, malicioznom klevetanju i kaljanju časti, on nije mogao da izdrzi izazov surove politike tog vremena. Ovo je za Evarista bilo definitivno zivotno ogorčenje. Ne zaboravimo da je Galois ziveo u vremenu Visokog Romantizma, kada su ljudi cenili čast koliko i zivot sam; ovaj narativ zivljenja će najzad postati koban po njega samog.

Sada počinjemo da brojimo Evaristovo vreme unazad, kao kod lansiranja rakete. Ima psihijatara koji tvrde da je za razumevanje nečijeg zivotnog puta, ovo najbolji način da se razume dinamika dogadjanja.

Sredinom 1829, Galoisu je skoro 18 godina, i on podnosi svoj prvi veliki rad Akademiji. Recenzent je bio Cauchy (još jedna matematička legenda) koji je trebao da predstavi taj rad u januaru 1830. Medjutim, Cauchy se razboli i odlozi predstavljanje rada, i istovremeno ubedi Galoisa da rad povuče i objedini ga sa drugim rezultatima i tako proširenog ga predstavi drugom prilikom.

Godina je 1830., Galois još nema punih 19 godina. U februaru 1830., Galois podnosi revidiranu i proširenu verziju rada Akademiji, i Furije (svi znamo za Furijeove redove!) bude odredjen da rad referiše. I ovde sudbina opet umeša svoje prste. U maju te godine Furije umre. Medju njegovim papirima nije pronadjen Galoisov rad! Uprkos tome, Galois ipak uspeva da u aprilu i maju objavi dva rada o algebarskim rešenjima jednačina, i vazan rad u junu o teoriji brojeva. Ohrabren ovim uspesima, Galois otvara školu matematike, u januaru 1831,, ali je broj polaznika bio razočaravajuće mali.

Ovo je takodje bilo vreme ozbiljnih društvenih previranja u Francuskoj: posle izgubljene bitke na Waterlou, Napoleon je konačno prognan na Svetu Jelenu. Sukob izmedju Rojalista i Republikanaca se zaoštravao. Galois se stavio na stranu Republikanaca - "ako su potrebni leševi da se pokrenu mase, ja ću priloziti svoj!", rekao je u zanosu. Posle par incidenata(jedno pismo i jedna zdravica, te šetanje u javnosti u zabranjenoj uniformi Republikanske garde), Galois dolazi u sukob sa zakonom. Na jednom sudjenju, gde je optuzen za "pretnju kralju" je oslobodjen, ali je na drugome osudjen na 6 meseci zatvora zbog nošenja zabranjene uniforme republikanske artiljerijske garde. Galoisova zalba je odbijena i presuda potvrdjena 3. decembra 1831, 6 meseci pre duela, i Evarist je otišao na sluzenje kazne. Onih par meseci boravka u istraznom zatvoru mu je oduzeto od kazne.

U medjuvremenu, njegov ključni rad, podnesen Akademiji, je odbijen (ovog puta Puason kao recenzent). Još jedan udarac sudbine.

Tokom sluzenja kazne, Galois se posvetio svojim matematičkim idejama, bio prilično buntovan, a jednom prilikom se napio do izbezumljenja iskapivši skoro celu bocu jakog pića (on, inače, nije pio). O tom dogadjaju je pisao ovako: "Ali, šta se dešava sa mojim telom? U meni se nalaze dve osobe, i, nazalost, prilično mi je jasno koja će da pobedi".

Takodje, prema oskudnim i nesigurnim podacima, tokom boravka u zatvoru, Galois je doziveo affaire de coeur sa Mademoiselle Stephanie D., ćerkom zatvorskog lekara. Pouzdanih podataka o ovome nema, osim fragmenata dva pisma koja su nadjena u njegovim papirima. Prvo njeno pismo počinje sa: "Moramo završiti ovu aferu." Ova informacija će nam biti potrebna kasnije.

29. aprila 1832, mesec dana pre duela, Galois izlazi iz zatvora. U jednom pismu svom prijatelju Chevalier-u on se zali da je njegova ljubavna afera završena. U svakom slučaju, pod nepoznatim okolnostima, sa nepoznatim suparnikom, Galois zakazuje duel za 29. maj 1832. Tačne okolnosti koje su do duela dovele, kao i ime njegovog suparnika su predmet spekulacije već 175 godina. Prema nekim izvorima, Galois je hteo da odbrani čast neke prostitutke, prema drugim, došao je u sukob sa svojim drugom koji je takodje bacio oko na Stephanie D., La belle dame sans mercie, Galoisovu ljubav iz zatvora. Evaristov brat, s druge strane, je godinama tvrdio da je duel namestio policijski provokator (Galois je stekao mnogo političkih neprijatelja svojim aktivnostima) i nemilosrdno ga ubio. Ali najzad, povod ovom besmislenom duelu i nije mnogo bitan, ili, kako kaze T.S. Eliot, "vi samo pričate o dogadjanjima, a ne o tome šta se zaista desilo". Svi su izgledi da je Galois, razočaran, zeleo smrt i ovo je bio način da do nje dodje.

Galois izlazi na dvoboj tog oblačnog jutra 29. maja 1832. Sa rastojanja od 25 koraka, pistoljima, Galois puca prvi. Prema nekim izvorima, u pitanju je bila svojevrsna vezija Ruskog ruleta, gde je jedan pištolj bio prazan. Prema drugim, Galois jednostavno nije bio u stanju da puca u prijatelja i ispaljuje metak u nebo. U svakom slučaju, Galois bude ranjen u stomak. Njegovo napušteno i skoro bezzivotno telo su malo kasnije pronašli lokalni seljaci i odneli ga u bolnicu u kojoj je umro od zadobijene rane. Prema jednim navodima, Galoisovi sekundanti su prosto otišli sa poprišta; prema drugim, oni su pošli da potraze lekara (mada izgleda nelogično da jedan nije ostao pored ranjenika). U bolnici je proveo naredni dan, a poslednje reči, upučene ozalošćenom bratu, su bile one navedene u naslovu ovog bloga. Umro je 31. maja 1832, u bolnici u Parizu. Poštu mu je 2. juna odalo oko 2000 ljudi na sahrani koja se pretvorila u malu pobunu. Bila su to vremena koja se pamte.

Noć pred duel, Galois je proveo budan, pišući pisma prijateljima i zaokruzujući svoje matematičke ideje. Na onom odbijenom radu od strane Akademije je pokušao da izvede dokaze nekih tvrdnji. U jednom trenutku je na margini napisao: "Ovo se moze lako dokazati, ali nemam sada vremena". I ta rečenica, "nemam vremena, nemam vremena", će postati deo legende zvane Evariste Galois. Za sobom je ostavio oko 60 stranica beleški i rukopisa koji ce "drzati matematičare u poslu sledećih 100 godina".

Ove beleške su sakupili i sredili Chevalier i Galoisov brat i poslali ih nazad Akademiji u roku od par dana.

Dvadeset četiri godine kasnije, Liuvil (Liouville, još jedna matematička legenda), sredjuje Galoisove rezultate i objavljuje ih sa sledećim komentarom: "Posle ispravki nekih sitnih nejasnoća, mogu da kazem da je Galoisov metod besprekoran. On je briljantno dokazao sledeću teoremu: da bi nesvodljiva jednačina nekog stepena bila rešiva pomoću radikala, potrebno je i dovoljno da svi njeni korenovi (rešenja) budu racionalne funkcije bilo koja dva od njih."

Rizikujući da ovaj tekst postane predugačak i nečitljiv, ipak ću da kazem makar par reči o ovom Galoisovom otkriću. Evariste Galois je pokušao da odgovori na sledeće pitanje: "Koje su jednačine rešive?" Najtezi matematički problemi se lako postavljaju, ali teško, ili nikako, rešavaju. Tako se i ovo pitanje provlačilo kroz matematiku oko par hiljada godina pre nego što se Galois uhvatio u koštac s njim.

Stari Vavilonci su umeli da reše jednačinu oblika a*x=b, ili a*x-b=0, kada su a i b celi brojevi (takvi su bili tada poznati i svima bliski), i o takvim jednačinama ćemo nadalje govoriti. Na primer, jednačina 2*x=6, ili 2*x-6=0, ima rešenje x=3. Naime, ova jednačina kaze: koji je to broj (nepoznata "x") koji treba pomnoziti sa 2 da bi se dobio broj 6? Tri, naravno, jer 2*3=6, to se odmah vidi. U opštem slučaju, jednačina a*x=b, ima rešenje x=b/a. Drugim rečima, ako ovo (b/a) zamenimo umesto iksa u gornju jednačinu dobijemo a*b/a=b, što je b=b, što je tačno. Ništa lakše. Ali korisno da zapamtimo za kasnije. Da ugraviramo u mozak, takoreći.

OK, a kako ćemo naći rešenje jednačine a*x^2+b*x+c=0? (a, b, c celi brojevi). Whoa! Ovde imamo i "iks na kvadrat" i "iks" i još neke brojeve! (Ovo se zove jednačina drugog reda ili kvadratna jednačina - uči se na kraju osnovne škole kod nas). Stari Grci su znali odgovor na ovo pitanje, mada ne potpuni odgovor. Recimo, rešenja jednačine x^2-3*x+2=0 su x=1 i x=2. (Zato što je 1-3+2=0, i 4-6+2=0, što dobijemo kad zamenimo ove vrednosti u jednačinu). Ovde treba sledeće ugravirati u mozak: jednačina drugog stepena (kvadratna jednačina) ima dva rešenja - iksjedan i iksdva - i opšte rešenje (dva komada, zapravo) opšte jednačine, a*x^2+b*x+c=0, moze da se zapiše u obliku "iksjedan/dva = -b+-koreniz(bnakvadrat - 4*aputac) /2a", to smo učili kao pesmicu u školi. Dakle, ona naša jednačina gore ima rešenja iksjedan/dva=(3+-1)/2, sto daje, kao što već znamo, iksjedan=1 i iksdva=2. Ili, mozda, iksjedan=2 i iksdva=1? Hej, šta je tačno, prvo ili drugo? Svejedno je, iksjedan i iksdva se mogu zameniti i sve bi ostalo isto. Graviramo u mozak - isto je kada permutujemo (zamenimo) rešenja.

Medjutim, šta bi se desilo da imamo jednačinu x^2-3*x+3=0 umesto one gore? Pa, koristeći našu pesmicu, dobili bi koren iz negativnog broja, sqrt(-3), a Stari Grci nisu znali šta to znači. To je bio nedefinisan svet, i oni bi rekli da ova jednačina nema rešenja. Ne postoji "realan broj" koji, zamenjen u ovu novu jednačinu,x^2-3*x+3=0, zadovoljava tu jednačinu. Bitna stvar.

Dobro, a šta ćemo sa jednačinom a*x^3+b*x^2+c*x+d=0? Uuuh, ovo je jednačina trećeg stepena (najveći stepen nepoznate iks). Jedna vazna teorema u matematici kaze da ova jednačina mora da ima tri rešenja. Lepo, broj rešenja (tri) je jednak stepenu jednačine (tri), ali kako ih naći? Stari Grci su takodje znali za ovu jednačinu - ona se pojavljivala prilikom pokušaja da se geometrijski kontruiše trećina ugla, ali su mogli da ga nadju samo u posebnim slučajevima. Omar Khayam, pesnik i matematičar, je proučavao rešenja ovakvih jednačina, ali tek je 1545 (Ferrari i njegov mentor Cardano) nadjeno opšte rešenje (za bilo koje vrednosti brojeva, a,b,c i d). To rešenje je prilično ruzno i glomazno na papiru, i ne moze da se zapamti kao pesmica, pa se najčešće ne uci u školama. Ali postoji, i ima lepotu sasvim druge prirode.

U redu, a šta se dešava sa jednačinom četvrtog stepena a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0? Ona bi, prema gornjoj teoremi morala imati 4 rešenja, ali ima li ona rešenja u obliku korenova, količnika, i tih poznatih matematičkih operacija zvanih "radikali"? Ima i ona - to je pokazao opet Ferrari, ali se rešenje svodi na rešenja dve jednačine trećeg stepena, pa je celokupna stvar štampana u "Ars Magna", 1545., zajedno sa rešenjem jednačina nizeg reda. Očevidno, ime Ferrari nije poznato samo po automobilima.

A petog stepena? E, petog nema. Jednačina petog stepena se ne moze rešiti "pomoću radikala", u opštem slučaju. To je dokazao slavni Norvezanin Nils Henrik Abel (9 godina stariji od Galoisa), koji je takodje umro mlad, sa 26 godina, ali u bedi kako se i rodio, od tuberkuloze.

Takva rešenja nemaju ni jednačine šestog, ni sedmog, ni viših stepena. I upravo ovo je Galois dokazao: jednačine petog i većeg stepena ne mogu da se reše pomoću radikala, u opštem slučaju. Zašto ne mogu?

Pa, odgovor na ovo pitanje je tehnički malo slozen; ja ću samo da ukazem na osnovnu koncepciju. Setimo se sada ranijih ugraviranih zaključaka: jednačina a*x=b, gde su a i b celi brojevi, ima rešenje oblika x=b/a. Ali, ako a i b nisu deljivi jedan sa drugim, onda ni ovo recenje nije ceo broj već razlomak! Ovo je ključna činjenica: polazeći od jednačine čiji su koeficijenti a i b celi brojevi (pripadaju skupu celih brojeva - kako se to tehnički kaze) mi mozemo dobiti rešenja koja nisu iz ovog skupa. Neophodno je "proširiti" skup unutar koga radimo (u ovom slučaju moramo uvesti i razlomke) da bi on obuhvatao i rešenja sama, a ne samo koeficijente. Kad su jednačine drugog stepena (kvadratne) u pitanju, moramo uvesti i brojeve kao sqrt(2), i slične. Ne samo to, nego nam se rešenja mogu pojaviti i u obliku sqrt(-3), kvadratnog korena iz negativnog broja, što je, danas znamo, imaginarni broj. Setimo se takodje i druge ugravirane ideje: postoji simetrija u rešenjima kvadratne jednačine - iksjedan i iksdva mogu da zamene mesta, i opet bi sve bilo isto. Ta simetrija izmedju rešenja, načini transformacije jednih resenja u druge, čini suštinu Galoisovog otkrića. Da bi tehnički razumeli simetrije, moramo uvesti koncepte trasformacija unutar skupa - Galois je bio prvi koji je odredjene osobine skupa u odnosu na transformacije nazvao "grupa". Zatim je uveo pojam "polje", i ostalo je istorija. Ovim su uvedeni sasvim novi koncepti u matematiku.

Pokušavajući da rešimo jednačine petog i višeg stepena, mi mozemo dobiti "rešenja" koja nemaju geometrijski analogon (nisu konstruktibilna, kako se to kaze), i imaju simetrije koje se ne mogu opisati rotacijama, inverzijama, i slično.

Rešenja jednačina višeg stepena proizvode matematičke veličine koje se ne mogu izraziti operacijama koje već znamo. I to je, po mom mišljenju, najvaznija pouka iz Galoisovog zivota i rada. Ajnštajn je jednom rekao da "nije moguće rešiti neki problem onom istom svešću koja je taj problem stvorila". Galois je pokazao da resenje neke jednacine moze da dodje iz sasvim drugog sveta, koji nema veze sa onim sto vec znamo. Ovo je ognjena istina bi trebala da bude ugravirana na Galoisovom grobu.

Nazalost, Galois je posle dvoboja sahranjen na neoznačenom, javnom groblju, i nadgrobnog spomenika nema.

 

 



Komentari (116)

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

angie angie 01:31 21.11.2007

sharski,

samo da ti kazem HI, jer ja i matish, smo na dva suprotna kraja chegagod, jedva sam s pushkicama polozila vishu matematiku1 na PMF-u, kod one smushene Preshicke i evo josh imam tikove iako sam ubola osmicu:))), pa me cela familija zavitlavala da im dajem chasove.
nsarski nsarski 01:34 21.11.2007

Re: sharski,

E pa ovo se uci u prvim razredima:)))
Salim se - ljudi nauce pa zaborave. Ali prica je poucna, mislim, nevertheless.
Hvala na javljanju. (Vi imate turkey day?)
angie angie 01:47 21.11.2007

Re: sharski,

ne- to je bilo, shto pitash?
Radojicic Radojicic 01:56 21.11.2007

Re: sharski,

angie
ne- to je bilo, shto pitash?


kad bilo? Zar nije u cetvrtak?
Nsarski hvala za tekst, onaj faksimil je genijalan
angie angie 02:02 21.11.2007

Re: sharski,

shta je u chetvrtak- ja sam neobaveshtena?:))))
nsarski nsarski 02:09 21.11.2007

Re: sharski,

Ma Thanksgiving, ovde svi po prodavnicama prave guzvu kao da ce tsunami!
nsarski nsarski 02:14 21.11.2007

Re: sharski,

onaj faksimil je genijalan

E, kazhi choveche, zar nije ludilo? Nije mu bilo lako, sigurno. A vreme leti. Ipak je izgleda dovoljno koncentracije da napise nesto suvislo.
angie angie 03:11 21.11.2007

Re: sharski,

kod nas je bio thanksgiving.vec smo popapali curku i mlince pride.
bauer bauer 03:16 21.11.2007

Re: sharski,

angie
kod nas je bio thanksgiving.vec smo popapali curku i mlince pride.

andzi, kako to? jer ste vi na nekom novom-starom kalendaru?
nsarski nsarski 03:20 21.11.2007

Re: sharski,

jer ste vi na nekom novom-starom kalendaru?

Ma ne, bre. Ona zivi u Kenadi, a to je druga planeta. Canada day je 3. juli. Go figure.%0
Bojan Zdravic Bojan Zdravic 03:24 21.11.2007

Re: sharski,


To je nesto kao srpski Thanksgiving izgleda, pa mis'm ako ima srpska Nova godina zasto ne bi bio i Serbian Thanksgiving:)))
angie angie 03:25 21.11.2007

Re: sharski,

ma ne nego je drugi ponedeljak u oktobru!
bauer bauer 03:27 21.11.2007

Re: sharski,

Ma ne, bre. Ona zivi u Kenadi, a to je druga planeta.

ja sam mislio da smo mi i kanada dva oka u glavi :) jel' oni nisu imali pilgrams?
angie angie 03:27 21.11.2007

Re: sharski,

zdravicu, srbi se nikada saginjati nece- znachi, nema zahvaljivanja!:)))
Bojan Zdravic Bojan Zdravic 03:29 21.11.2007

Re: sharski,


zdravicu, srbi se nikada saginjati nece- znachi, nema zahvaljivanja!:)))

:)))))))))
Da, ali kad ima da se jede i pije - svi principi padaju u vodu:)))
angie angie 03:31 21.11.2007

Re: sharski,

pilgrams je Massachusetts varijanta.
nsarski nsarski 03:31 21.11.2007

Re: sharski,

ma ne nego je drugi ponedeljak u oktobru!

U te odrednice su super. Tako je ovde "poslednji cetvrtak u novembru", ali, hebiga, taj cetvrtak pada mnogoo kasno, a ovce treba osisati izmezi Tenksgivinga i Bozica, pa smo sada pomerili da bi sezona sisanja bila duza. Tako da je ove godine treci cetvrtak u novembru - i svi srecni.
Ma to ni Galois ne bi resio.

bauer bauer 03:35 21.11.2007

Re: sharski,

pilgrams je Massachusetts varijanta.

u jee! a mozda nesto fali masacusetsu? a kuda ste vi dosli :) ?
bauer bauer 03:45 21.11.2007

Re: sharski,

Bojan Zdravic Bojan Zdravic 03:46 21.11.2007

Re: sharski,

u jee! a mozda nesto fali masacusetsu?

Nista, ja bio letos na odmoru, milina Bozija
bauer bauer 03:47 21.11.2007

Re: sharski,

Nista, ja bio letos na odmoru, milina Bozija

mnogo hladno u ovo doba godine :)
Bojan Zdravic Bojan Zdravic 03:52 21.11.2007

Re: sharski,


Leti je fantasticno, more je toplo oko 70 F (nije kao na West Coast 55 F max), napolju ne prelazi 80 F - ne treba air conditioning, zelenilo i priroda kao u Srbiji - a na moru si:)))
Stvarno, niakd se nisam tako dobro odmorio, psihicki i fizicki (meko c)
angie angie 03:57 21.11.2007

Re: sharski,

u jee! a mozda nesto fali masacusetsu? a kuda ste vi dosli :) ?


je l ja rekoh da fali? samo, koliko ja kapiram, ovde ga ne pominju, shto ne znachi da mozda nisam obaveshtena:)))
bauer bauer 04:00 21.11.2007

Re: sharski,

ovde ga ne pominju, shto ne znachi da mozda nisam obaveshtena:)))

znala bi, veruj mi, samiske bi bile pune smrznutih curki (koje jedemo u znak zahvalnosti), ali, necu vise :) promasili smo temu :)
s56a s56a 19:20 21.11.2007

Re: sharski,

Pa nemaju slucajno Bushevi i Kenedijevi vikende na Cape Cod, Mass! U USA sam prvi put doleteo 1976 godine bas u Boston. Tada su bili rasisticki nemiri u juznom delu grada kroz koji se prolazi sa Logan aerodroma ali ja nista ne videh od toga. Sledile su milje nenaseljenih prostora sa ogromno jezera. A ja ocekivao New York junglu na asfaltu!

Thanksgiving je USA porodicni praznik. Za Bozic kud koji mili moji. Pita me moj drugar iz Conn. 1976 godine gde cu biti za vikend? Ja odgovorim u apartmanu firme DEC, a on kaze - "Niko ne sme biti sam za Thanksgiving. Moras da dodjes do mene!" Upoznah njegovog oca i sestru, a ponovo ih videh lanske godine za isti praznik! Lepa strana americke kulture.

Nenade, procitao sam prvu polovinu zanimljive biografije mladog Evarista. Za nastavak ne mogu trenutno da se koncentrisem jer sam imao par nesretnih dogadjaja danas. Ne rade mi dve nove antene za nedeljno takmicenje! Dok sam provlacio koaksijalna kabl za napajanje oko kuce, 7-mesecni pas samoyed odlucio da krene samostalno u svaleraciju. Nisam ga nasao na standardnim punktovima posle pola sata, a malo kasnije saznao, da ga udario auto na najprometnijoj ex-Titovoj ulici. Srecom je prosao samo sa ozledama noge i jezika posle brze intervencije veterinara. Na 90 Eura troskova mozda ce se nakaciti i policija sa kaznom za saobracajni prekrsaj. MMC Baki efekt jos deluje ali ni sudoku ne propustam

macaca macaca 01:50 21.11.2007

preporuka

odlicno, kao i uvek. jedna od najromanticnijih prica u istoriji matematike; bez obzira koliko godinama nalecem na ovu pricu opet ovde ima nekih novih detalja za mene.

samo mala ispravka (ako sam u pravu) - abel je dokazao nemogucnost opsteg resenja za jednacine ne samo petog, vec i svih visih stepena. galoa je medjutim dao kriterijum kada se neka konkretna jednacina moze resiti - recimo jednacine koje odgovaraju konstrukciji pravilnih n-gona, gde je n prost takav da je n-1 stepen dvojke, mogu resiti sto je pokazao jos gaus (tako se moze konstruisati 17-ougao, 257-ougao pomocu lenjira i sestara).
nsarski nsarski 02:08 21.11.2007

Re: preporuka

Koliko znam, Abel je prvo napisao rad koji demonstrira resenje jednacine 5 stepena, pa ga je posle prepravio i pokazao da resenje takve jednacine ne postoji.
Ovo drugo je vezano za konstruktibilnosti pravilnih mnogouglova. O tome sam pisao jednom ranije ranije

i ti mnogouglovi moraju da budu oblika 2^(2^n))+1 - Fermatov broj. Dakle 17, 257, 65537, itd - goni.
Konstrukcija 17- ugla se zasniva na cinjenici da je

sto se moze nacrtati lenjirom i sestarom:)

P.S. Inace, imas potpuno pravo: prica je stvarni High Romance, kao sapunica.
macaca macaca 02:27 21.11.2007

Re: preporuka

provera na netu kaze da je to u stvari dokazao prvi rufini, deset godina pre abela, 1813 (teorema se pise zove abel-rufini i odnosi se na jednacine petog i viseg stepena, mada pise da je njegov dokaz bio nepotpun); abel je dokaz objavio 1824. ja ne znam detalje niti kako je abel dosao do tog otkrica, ali se secam dosta dobro da se abelu daje kredit za ovo, tj. je dokazao za sve stepene vece od cetvrtog. galoa je znao za abelov rezultat.
nsarski nsarski 02:33 21.11.2007

Re: preporuka

Da, Abelu ide kredit za dokaz. Galois je pokazao zasto je to tako. Galois je znao za Abelov rezultat, i citao je njegove radove na studijama.
macaca macaca 02:45 21.11.2007

Re: preporuka

pa ne znam bas da li je to tako; abelov dokaz je bio kompletan, nigde se ne pominje problem s njegovim dokazom. galoa se bavio pitanjem konkretnih jednacina, i povezao je svaku jednacinu (i polje) sa grupom simetrija. abel-rufini su se bavili samo opstom jednacinom, koja ima simetricnu grupu za koju je lakse dokazati da nema resenja. inace, na netu pise da je iz galoovih rezultata tek 1885 dokazana abelova teorema, sto nije nelogicno obzirom da su mu radove dosta dugo zanemarivali. glavno pitanje - resivost jednacina stepena veceg od cetvrtog, resio je abel i zbog toga znacaj rezultati galoa nije bio ocigledan, tako bi se to moglo protumaciti; galoa je dao opstiju teoriju za koju nije bilo toliko jasno koliko mnogo donosi, obzirom da je glavno pitanje vec resio abel.
vucko vucko 02:52 21.11.2007

Re: preporuka

galoa je dao opstiju teoriju za koju nije bilo toliko jasno koliko mnogo donosi, obzirom da je glavno pitanje vec resio abel.

Hehe jel to ona "čemu ovo služi, a uz to i ne radi" beskorisna teorija konačnih polja, na kojoj se trenutno baziraju:
- zaštitni/korekcioni kodovi u digitalnim telekomunikacijama
- manje više sva moderna kriptografija i kriptoanaliza
- solidan deo tehnika digitalne obrade slike
- ... dodati po želji :)
nsarski nsarski 02:58 21.11.2007

Re: preporuka

Pa, ne sporimo se oko toga, ili mi se barem tako cini. Galoisov rad je bio opstiji i samo je stavio ove rezultate u novu perspektivu. Da ponovim sto sam gore rekao: on je pokazao zasto je to tako.
macaca macaca 03:01 21.11.2007

Re: preporuka

hm, koliko znam konacna polja nemaju neposredne veze s resavanjem jednacina, mada je i njih galoa izmislio. kriptografija verovatno ne manje vise sva, jer se najrasprostranjeniji nacin kodiranja zasniva na rastavljanju brojeva na cinioce, tj. dobroj staroj aritmetici.
macaca macaca 03:05 21.11.2007

Re: preporuka

on je pokazao zasto je to tako.


dobro sad razumem. to je vec filozofsko-vrednosni iskaz, ne bih time da se bavim. :)
vucko vucko 03:09 21.11.2007

Re: preporuka

jer se najrasprostranjeniji nacin kodiranja zasniva na rastavljanju brojeva na cinioce, tj. dobroj staroj aritmetici.
Mislite na RSA?

Re: preporuka

U jednom pismu svom prijatelju Chevalier-u on se zali da je njegova ljubavna afera završena. U svakom slučaju, pod nepoznatim okolnostima, sa nepoznatim suparnikom, Galois zakazuje duel za 29. maj 1832. Tačne okolnosti koje su do duela dovele, kao i ime njegovog suparnika su predmet spekulacije već 175 godina.

P.S. Inace, imas potpuno pravo: prica je stvarni High Romance, kao sapunica

navorucenije: pravi dzentlmen ljubi a ne prica.
Hi Sharski
nsarski nsarski 21:19 21.11.2007

Re: preporuka

navorucenije: pravi dzentlmen ljubi a ne prica.

Sada ja tebi da kazem kao sto si ti meni pre nekog vremena: ko zna zna:))
Covek u belom Covek u belom 12:16 22.11.2007

Re: preporuka

vucko
jer se najrasprostranjeniji nacin kodiranja zasniva na rastavljanju brojeva na cinioce, tj. dobroj staroj aritmetici.
Mislite na RSA?
RSA se zaista ne zasniva na poljima Galoa, ali je trenutno najrasprostranjeniji vid public key cryptography ECC koja se zasniva na poljima Galoa.
vucko vucko 14:06 22.11.2007

Re: preporuka

RSA se zaista ne zasniva na poljima Galoa, ali je trenutno najrasprostranjeniji vid public key cryptography ECC koja se zasniva na poljima Galoa.

Ok, RSA nije na bazi GF, pošto nije aritmetika po modulu p^n nego po modulu pq, iako ono "(txt ^e mod pq)^d mod pq = txt zato što je ed mod pq = 1" malko vuče na tu stranu... ECC jeste, da.
Atomski mrav Atomski mrav 14:17 22.11.2007

Re: preporuka

Ok, RSA nije na bazi GF, pošto nije aritmetika po modulu p^n nego po modulu pq, iako ono "(txt ^e mod pq)^d mod pq = txt zato što je ed mod pq = 1" malko vuče na tu stranu... ECC jeste, da.

Ma, kome ti "txt ^e mod pq)^d mod pq = txt"? :) Sad ću da te prijavim supermodu :)
Milan M. Ćirković Milan M. Ćirković 02:27 21.11.2007

Sjajna stvar!

A primer teorije grupa je odlican za pokazivanje kako naizgled apstraktni problem otvaraju ne samo most izmedju razlicitih disciplina (danas se grupama bavi bar za red velicine vise ljudi van matematickog esnafa nego samih matematicara), vec i stvaranju potpuno novih oblasti. Uzgred, davno sam to citao, jel zbilja Ferari ili del Fero (bas su dusu dali za konfuziju, a mrzi me da proveravam) dao opste resenje kubne jednacine?

Predlog: hajde napisi kad i ako stignes i nesto o Kardanu - on je bio skoro podjednako genijalna i tragicna licnost; mada je mnogo duze ziveo, imao je verovatno najbizarniju porodicu za koju sam cuo...
nsarski nsarski 02:38 21.11.2007

Re: Sjajna stvar!

Pa, postojala su dva coveka vezana za kubnu jednacinu, a slicnog su imena - Scipione del Ferro, i Lodovico Ferrari. Oni se nisu preklapali mnogo - del Ferro je umro kad je Ferariju bilo 4. godine. del Ferro je resio jednu klasu kubnih jednacina, a Ferrari je dao opste resenje.
A Kardano je prica za sebe - hvala na predlogu!

Nego, ja sam se opredelio za ovu temu, inspirisan prethodnim blogovima, politikom, svadjama na blogu itd. A navraga sam sinoc citao Dusana Kovacevica "Lari Tompson, tragedija jedne mladosti", gde se u sred onog ludila restrikcija i embarga porodica Nos svadja oko sudbine Larija Tompsona, Australijanca, koja se prikazuje na TV.
Pa, reko, da ukljucim TV. Cak sam mislio da citiram reci Dragana Nosa:
"Sad ce Larija da osude...Ako se izvuce sa dozivotnom robijom dobro je prosao...Posle pet godina koledza pedeset godina robij! E, jebem te zemljo koja si u stanju mlade ljude da unistavas, satires i gazis! Koja ti je buducnost bez mladosti, majku li ti jebem!"
Ali sam se obuzdao.
Doctor Wu Doctor Wu 05:01 21.11.2007

A ne bi bilo loše

napisati nešto i o Hamiltonu, kvaternionima i geometrijskom računu (dosta toga ima i u Hestenesovoj New Foundations...).
Dax Dax 16:12 21.11.2007

No comment

Milan M. Ćirković
A primer teorije grupa je odlican za pokazivanje kako naizgled apstraktni problem otvaraju ne samo most izmedju razlicitih disciplina (danas se grupama bavi bar za red velicine vise ljudi van matematickog esnafa nego samih matematicara), vec i stvaranju potpuno novih oblasti. Uzgred, davno sam to citao, jel zbilja Ferari ili del Fero (bas su dusu dali za konfuziju, a mrzi me da proveravam) dao opste resenje kubne jednacine? Predlog: hajde napisi kad i ako stignes i nesto o Kardanu - on je bio skoro podjednako genijalna i tragicna licnost; mada je mnogo duze ziveo, imao je verovatno najbizarniju porodicu za koju sam cuo...


Cardano's eldest and favorite son was executed in 1560 after he confessed to having poisoned his cuckolding wife. His other son was a gambler, who stole money from him. He allegedly cropped the ears of one of his sons. Cardano himself was accused of heresy in 1570 because he had computed and published the horoscope of Jesus in 1554. Apparently, his own son contributed to the prosecution. He was arrested, had to spend several months in prison and was forced to abjure his professorship. He moved to Rome, received a lifetime annuity from Pope Gregory XIII (after first having been rejected by Pope Pius V) and finished his autobiography. He died there on the day he had (supposedly) astrologically predicted earlier; some suspect he may have committed suicide.


Tarkovski Tarkovski 03:21 21.11.2007

Re: Blog

Vrlo lepo i moram da priznam naucih nesto novo.

Galois, mrtav sa 20 ili vecno ziv? Moze se "matematcki" i dokazati:
polumrtav = poluziv
1/2 * mrtav = 1/2 * ziv
1/2 * mrtav = 1/2 * ziv / *2 (sve to se pomnozi sa dva
2/2 * mrtav = 2/2 * ziv
mrtav = ziv
nsarski nsarski 03:24 21.11.2007

Re: Blog

Tacno!
Provajdid da je osnovna premisa
polumrtav = poluziv
tacna. Iz nje se da izvesti slicna jednacina za macku:
9*mrtav=9*ziv:))
Temerin Temerin 03:33 21.11.2007

Re: Blog

Eh jadni genijalac, stradao zbog nekakve ženske.

Evo i dokaza ko je kriv za tragediju:

1. Za žene su potrebni vreme i novac

žene=vreme x novac

2. Vreme je novac, dakle

žene=novac^2

3. Novac je koren sveg zla

novac=koren(zlo)

žene=koren(zlo)^2

DAKLE: žene=zlo


Bojan Zdravic Bojan Zdravic 03:34 21.11.2007

Re: Blog

Eh jadni genijalac, stradao zbog nekakve ženske.


Svi mi na kraju stradamo zbog nekakve zenske:))
nsarski nsarski 04:07 21.11.2007

Re: Blog

Svi mi na kraju stradamo zbog nekakve zenske:))

Ne zna se bas tacno da li je zbog zemske, ili ga je neki lokalni udbas isprovocirao i ukantao.
Bojan Zdravic Bojan Zdravic 04:10 21.11.2007

Re: Blog

Ne zna se bas tacno da li je zbog zemske, ili ga je neki lokalni udbas isprovocirao i ukantao.

Izgleda mi da ima tu i jedno i drugo, stvari mi lice na uzajamnu uzrocno-posledicnu povezanost:))))
nsarski nsarski 04:16 21.11.2007

Re: Blog

I to moze da bude tacno.
Ali, pazi, on sedi sa nekim drustvom u kafani, malo popili, on drzi zdravicu, i kaze - ako ovaj izda (kralj valjda), imamo pozdrav za njega, i razgrne malo kaput i pokaze utoku. E, sad, ovi iskonstruisali to kao pretnju drzavi i kralju!
Da citiram opet D. KOvacevica:"E, jebem te zemljo koja si u stanju mlade ljude da unistavas, satires i gazis!". Al, hebiga, takva su vremena bila.

P.S. Da, a ispred kafane "slucajno prolazio" Dumas (cuveni pisac) - on ga druknuo.
Bojan Zdravic Bojan Zdravic 04:40 21.11.2007

Re: Blog

on drzi zdravicu

Izvini molim te, sta on to meni drzi:((((
E, sad, ovi iskonstruisali to kao pretnju drzavi i kralju!

Dada, verbalni delikt klaiscan,
P.S. Da, a ispred kafane "slucajno prolazio" Dumas (cuveni pisac) - on ga druknuo.

Taj je udbas garant!!!!!! Pa ne bi bio toliko cuven - tak taaaaako burazeru,,,,,

Da citiram opet D. KOvacevica:"E, jebem te zemljo koja si u stanju mlade ljude da unistavas, satires i gazis!".

A 'El si ovo naseg ovdasnjeg-lokalnog Druga Lenjina citirao
antioksidant antioksidant 09:27 21.11.2007

Re: Blog

.S. Da, a ispred kafane "slucajno prolazio" Dumas (cuveni pisac) - on ga druknuo

mladji il stariji?
Strongman Strongman 20:27 21.11.2007

Re: Blog

nsarski
Tacno!
Provajdid da je osnovna premisa
polumrtav = poluziv
tacna. Iz nje se da izvesti slicna jednacina za macku:
9*mrtav=9*ziv:))


Hmm...

a da dokazemo

ko drugome jamu kopa = sam u nju upada
--------

Ko kopa = ziv
ko upada = ziv

i evo resenja na osnovu tranzitivnosti

ko drugome jamu kopa = ziv = sam u nju upada

ko drugome jamu kopa = sam u nju upada




nsarski nsarski 21:24 21.11.2007

Re: Blog

Druknuo je Alexander Dumas. Evo sta je tim povodom zapisao u svojim memoarima: It would be difficult to find in all Paris, two hundred persons more hostile to the government than those to be found reunited at five o'clock in the afternoon in the long hall on the ground floor above the garden.
Bojan Zdravic Bojan Zdravic 22:15 21.11.2007

Re: Blog


Tacno!!! Spremali su zaveru
Strongman Strongman 06:16 21.11.2007

Sharski :)

Tekst sam poceo da citam ne obrativsi paznju na ime autora. Pa ako i=mi drzi paznju procitam do kraja i pogledam ko je autor. Vec u trecem redu sam znao da si ti autor.

Odlicna ljudska prica. Sto bi mu gastarbajteri rekli ljucka.


Ja sam inace bio strasno navucen na matematiku. Isao sam na sva takmicenja i iz fizike i matematike. Jedne godine sam bio jedini na saveznom i iz fizike i matematike. Ajde da je bilo republicko a da sam otisao na savezno iz matematike (blede secanja a ne laze mi se).

Tekst je oodlican i u tvom stilu. Preporuka
jinks jinks 07:05 21.11.2007

Teza na dve stranice

Sredinom 1829, Galoisu je skoro 18 godina, i on podnosi svoj prvi veliki rad Akademiji. Recenzent je bio Cauchy (još jedna matematička legenda) koji je trebao da predstavi taj rad u januaru 1830. Medjutim, Cauchy se razboli i odlozi predstavljanje rada, i istovremeno ubedi Galoisa da rad povuče i objedini ga sa drugim rezultatima i tako proširenog ga predstavi drugom prilikom.
Veliki rad koji se izlaze pred Akademijom, ustvari je (po jednom tumacenju) u to vreme bio forma teze ... sadasnje magistrature i doktorati tada nisu postojali ... tako da je ovakva forma izlaganja pred francuskom Akademijom ustvari bio ekvivalent danasnjeg doktorata.

U vezi sa doktoratom Galoa, koji ste pomenuli, i u kome je data kompletna ideja i koncept polja Galoa, klase polinoma koji su, izmedju ostalog, kamen temeljac modernih telekomunikacija ... teza Galoa stala je na dva lista hartije, koji bi prosli kao doktorat da se Kosi nije razboleo i da nije bilo nesrecnog dvoboja.

p.s.

Sa 18 godina je ponovo pokušao da se upiše na Politehničku školu,
Ko zna koliko je matematicara i fizicara zavrsilo na nekom Tehnickom fakultetu (koji su mnogima bili prvi izbor, u odnosu na fundamentalne nauke). Secam se ... koliko je bilo primera ljudi koji su paralelno studirali neki tehnicki fakultet i pmf.

I Dzon Nesh, matematicar dobitnik Nob. nagrade o kome je snimljen film 'A beautiful mind', je teoriju zbog koje je nagradjen ustvari predao kao predlog doktorske disertacije, na 38 stranica pisanih rukom. Predlog je prihvacen, i Nesh je doktorirao i otisao nekim drugim putem, dok je njegova teza ostala zaboravljena u fioci, godinama. Sve dok jedan ekonomista slucajno nije dosao do nje i, u potpuno drugom kontekstu u odnosu na onaj koji je Nesh imao na umu dok ju je pisao, upotrebio je na berzi ... sto je obojici donelo Nobelovu nagradu za ekonomiju.
Dobrosav Dobrosav 07:25 21.11.2007

Biznis ideja

Tekstovi su vam odlični, popularišu matematiku i nauku uopšte, inspirativni. Šteta ako ne nastavite i od dovoljno obrađenih tema o matematičarima ne objavite knjigu. Preporuka.
Черевићан Черевићан 07:55 21.11.2007

раскорак

штета што је таленат ( генијалност) неретко брат близанац урођеном бунту тјст неприлагодљивости околишу , па стога, само летимичним погледом кроз историју , погубисмо множину Посебних. .или та 2 можда иду једно уздруго. коће знати. . . .
што се пак овог састава тиче заљубљеници у математику могу само да уживају читајућига док онима другим ето идеалне прилике да тај мрак од науке напречац их намами.БРАВО! (х3)
Hyperborejac Hyperborejac 08:45 21.11.2007

Neš se ti leba najest od... (dopuni sam)

Odličan tekst! Zanimljivo je kako me elementi ove priče podsjećaju na druge. Recimo, priča o dvoboju priziva dvoboj Miloša Crnjanskog i Sondermajera. Miloš Crnjanski je pucao prvi u Sondermajera, dok je Sondermajer pucao u vazduh. Iako na Internetu cirkuliše verzija da pištolj nije htio da opali, bliže istini je da Sondermajer nije želio da puca, što potkrijepljuje i kasnije razmišljanje Crnjanskog o ovom događaju. Eto, ako francuski dvobojnik o kome ne znamo ništa nije prepoznao talenoat jednog Galoa, Sodermajer jeste prepoznao talenat vjerovatno najvećeg pisca ovog prostora (i meni, lično, najdražeg pisca uopšte).

O prepoznavanju i neprepoznavanju u matematici, na pamet mi pada legenda o Gausu i Janošu Boljaju, vezana za hiperboličku geometriju. U mojim mislima, Gaus je jedan nadrndani i egoistični starac koji je, uprkos tome što je vjerovatno najveći matematičar koji je ikada živio (opšte mjesto je da su druga dvojica Arhimed i Njutn), kao svoj životni poraz posmatrao Euklidove postulate o geometriji. Janoš je bio sin njegovog prijatelja, matematičara, koji se dopisivao sa Gausom, pri čemu je bio i višestruki genije: govorio je devet stranih jezika. U svom radu, Janoš je udario temelje hiperbolične geometrije i oduševljen, svom ocu tražio da rezultate proslijedi (nadrndanom) Gausu. Ovaj se jako pohvalno izrazio o Janoševom radu, ali je odmah dodao da bi hvaljenje Gausa bilo kao hvaljenje sebe, jer je on do tih rezultata već došao godinama ranije. Razočarani Boljaj je i dalje nastavio da se bavi matematikom, ali demoralisan, više nije objavio nijedan rad. Danas se uz Lobačevskog i Gausa, smatra osnivačem neeuklidske geomerije.

Ako ćemo o mladom, neprepoznatom momku koji razbija, tu vodi već pomenuti Abel. Da je bio u autobusu kojim se vozilo društvo iz 'Ko to tamo peva', Cigo bi Abelu rekao 'Neš se ti leba najest od algebarskih jednačina'. Abel je u sebi objedinio dvije loše osobine za matematičara: skromnost i siromaštvo. Umro je u 27-oj, dok mu je rad bio totalno nepoznat, slično kao i Galoa...

Uzgred, ni Crnjanski se nije leba najeo od književnosti, a ni Boljaj od matematike. Ko zna koliko genija ovog ranga svijet nije uspio da prepozna? Ko zna koliko ih tek ima na ovom blogu :)? I guess we'll never know...
v.stojkovic v.stojkovic 10:25 21.11.2007

GENIJALCI, ČUVAJTE SE!

Znam da mnogo osporavana Stanojvićeva knjiga "Tragedija genija" nije više aktuelna, ali evo i Galoisov primer, na neki način pokazuje da stav naivne psihologije, da je od genijalosti do ludila samo jedan korak, i nije tako naivan ili bar da su taj korak mnogi genijalci napravili. Poznatiji su primeri umetnika ( Po, van Gog, Jesenjin, Dostojevski...), ali ni genijalci iz domena egzaktnih nauka nisu tako retki kad su čudna ponašanja (najblaže rečeno) u pitanju: Tesla, Gedel, Neš, Galoa... Ima mnogo čudaka koji misle da su genijalci, ali ima i genijalaca sa vrlo čudnim ponašanjem.
Zato: GENIJALCI, ČUVAJTE SE!
neverlander neverlander 10:51 21.11.2007

Super tekst

sa uzivanjem procitala!
mnogi koji ne vole matematiku i fiziku bi se lako navukli kada bi profesori imali pristup slican vasem.

Interesantno, ova stvar sa radovima i odbijanjem. Bas me pogodi.
juce mi odbili rad pa sam jos besna... grrrr....

Marija S Marija S 12:02 21.11.2007

Re: Super tekst

neverlander
sa uzivanjem procitala!
mnogi koji ne vole matematiku i fiziku bi se lako navukli kada bi profesori imali pristup slican vasem.


Potpuno se slazem. Moj profa matisa je bio OK cova, ali dosadan dozlaboga. Al' fizicarka je bila Zmaj Ognjeni Vuk, pa me navukla (bar za neko vreme).
Kako bi ovo bio drugaciji svet da ima vise predavaca, ucitelja, profesora, koji bi imali/umeli da prenesu strast prema nauci, deci....... eh...


telekomunista telekomunista 11:03 21.11.2007

Lema 1.1

Ovo mi je sjajno: da bi nesvodljiva jednačina nekog stepena bila rešiva pomoću radikala, potrebno je i dovoljno da svi njeni korenovi (rešenja) budu racionalne funkcije bilo koja dva od njih.
Covjek se iznenadi koliko istine ima u tome:)
Inace, uvijek su me nervirali oni moji profesori matematike koji bi tako olako prelazili preko imena ljudi odgovornih za odredjene stavove, teoreme i sl. Kao da ih (ne sve, ali vecinu) uopste nije interesovalo ko je taj covjek koji se krije iza pojmova: Polje Galoa, Liuvilova teorema, Abelova grupa, Banahov stav o invarijantnoj tacki, Cauchy-Schwartz-Bunjakovskijeva nejednakost i sl. Onda bi oni nastavili da predaju dalje, a ja sam jos pola sata nastavio da razmisljam ko su bili zapravo svi ti ljudi.
Hvala vam za predivan tekst!
Hyperborejac Hyperborejac 11:48 21.11.2007

Re: Lema 1.1

Meni formulacija pomalo liči na circulus vituosus. Ajde da analiziramo:

Da bi nesvodljiva jednačina nekog stepena bila rešiva pomoću radikala, potrebno je i dovoljno da svi njeni korenovi (rešenja) budu racionalne funkcije bilo koja dva od njih.

Da bi nešto bilo rješivo pomoću radikala, potrebno je da REŠENJA budu... Kako rješivost nečega dokazujemo preko prirode rešenja, do kojih treba da dođemo? Jasno je da rešenja postoje (osnovna teorema algebre o broju rešenja stepene jednačine), ali, ako dobro shvatam, mi ne znamo ništa o njihovoj prirodi (osim da ona postoje - jako često u matematici, dokažete da nešto postoji, ali nemate pojma koliko je - recimo, svaki ograničen Košijev niz u skupu R konvergira, ali teorema ne daje nikakav odgovor o tome ČEMU konvergira). Takođe, na šta se misli kada se kaže 'racionalne funkcije bilo koja dva od njih'? Ako se funkcija nazove racionalnom, šta to znači, da preslikava iz kog u koji skup? Šta je domen, a šta kodomen ove funkcije (na stranu strogo algebarsko zasnivanje koje funkcije definiše kao podskup Dekartovog proizvoda sa svojstvom da jednakost prve koordinate uređenog para povlači jednakost druge). Šta je ovo: 'bilo koja dva od njih'? Šta, oni su uzajamno prosti, nesvodljivi...

Bilo bi dobro da neko pojasni ove dileme. Inače, shvatio sam tekst ispod, ali ovako formulisana teorema mi je vrlo konfuzna. Pa neka je čak i Liuvil napisao :). A za profesore matematike ste u pravu, mada nije čudo - kod nas je pedagogija mrtva još davno i na PMF-u je to uvjek bio onaj bezvezni, laki ispit, koji treba položiti kad date sve ostalo. Činjenica da je neuporedivno bitnije prenijeti znanje nego znati, nikad nije bilo prepoznato kao bitno na našim fakultetima koji proizvode profesore (ne samo matematike, nego i sve ostale). To je šteta, jer matematika zaista pruža prostor da se većina ključnih koncepata fino objasni i poveže sa nečim što svi razumiju. Doduše, Rasel je ovo prepoznao kao problem generalno u obrazovanju, tako da izgleda da je ovo globalan problem, a ne samo naš.

P.S. Dobro je ovo i o omiljenoj matematičkoj teoremi i konceptu. Za mene je to koncept Lebedovog integrala. Tako jednostavno, a tako savršeno. Ključni koncepti topologije su takođe odlično zasnovani, sa zanimljivim dokazima. Isto tako sam se iznenadio kad sam u kompleksnoj analizi vidio da korijeni kompleksnog broja odgovaraju pravilnim mnogouglovima upisanim u jediničnu kružnicu. Još me drži :).
gambit gambit 16:08 21.11.2007

Re: Lema 1.1

. Kao da ih (ne sve, ali vecinu) uopste nije interesovalo ko je taj covjek koji se krije iza pojmova: Polje Galoa, Liuvilova teorema, Abelova grupa, Banahov stav o invarijantnoj tacki, Cauchy-Schwartz-Bunjakovskijeva nejednakost i sl.


Zanimljivo zapazanje. Sjecam se svog ushicenja kad me prijateljica upoznala sa Stajnhausovim unukom (iz Banah-Stajnhausove teoreme). Ne sjecam se price o djedu i matematici, ali sam zapamtio da smo marlljivo ispijali (Viborove) votke u jednom dzez klubu u Krakovu... ili kad sam u Varsavi vidio tramvaj za naselje Banah.

Inace, nsarski je spomenuo Lagranza i "kalkulus", pa za one koji nisu upuceni u matematiku i/ili engleski, radi se o matematickoj analizi ("kalkulus" zvuci kao neka numericka matematika). Usput, Lagranzova teorema (o srednjoj vrijednosti?) je jedna od osnova analize.

Prilaz temi je odlican, zato sto je teziste na jednacinama. Kod nas je teorija grupa pocinjala aksiomatski, kao "grupa je uredjeni par skupa i operacije koji zadovoljava...", a mnogo prirodnije bi bilo govoriti o rjesivosti jednacina na nekom skupu.

Ovo pisem treci put (my?Sql problemi)... Ako se pojave i ostale kopije, izvinjenje.
macaca macaca 17:35 21.11.2007

Re: Lema 1.1


Da bi nešto bilo rješivo pomoću radikala, potrebno je da REŠENJA budu... Kako rješivost nečega dokazujemo preko prirode rešenja, do kojih treba da dođemo? Jasno je da rešenja postoje (osnovna teorema algebre o broju rešenja stepene jednačine), ali, ako dobro shvatam, mi ne znamo ništa o njihovoj prirodi (osim da ona postoje - jako često u matematici, dokažete da nešto postoji, ali nemate pojma koliko je - recimo, svaki ograničen Košijev niz u skupu R konvergira, ali teorema ne daje nikakav odgovor o tome ČEMU konvergira). Takođe, na šta se misli kada se kaže 'racionalne funkcije bilo koja dva od njih'? Ako se funkcija nazove racionalnom, šta to znači, da preslikava iz kog u koji skup? Šta je domen, a šta kodomen ove funkcije (na stranu strogo algebarsko zasnivanje koje funkcije definiše kao podskup Dekartovog proizvoda sa svojstvom da jednakost prve koordinate uređenog para povlači jednakost druge). Šta je ovo: 'bilo koja dva od njih'? Šta, oni su uzajamno prosti, nesvodljivi...

Bilo bi dobro da neko pojasni ove dileme. Inače, shvatio sam tekst ispod, ali ovako formulisana teorema mi je vrlo konfuzna

pa evo, da probam ja. "racionalna funkcija" je kolicnik dva polinoma - domen i kodomen nisu toliko bitni, mogu se uzeti sve vrednosti gde imenilac nije nula. e sad, u principu kada se radi s resenjima algebarske jednacine, umesto racionalne funkcije moze se uzeti samo polinom; ako je X resenje jednacine p(x)=0, gde je p-polinom s racionalnim koeficijentima n-tog stepena, onda se za svaku racionalnu funkciju r(x) moze naci polinom q stepena manjeg od n s racionalnim koeficijentima, tako da je je r(X)=q(X). To u stvari znaci da je skup vrednosti svih polinoma q(X) zatvoren za deljenje, tj. da je "polje", minimalno polje koje sadrzi racionalne brojeve i broj X (oznacava se sa Q(X)). Slicno, minimalno polje koje sadrzi racionalne brojeve i X1, X2, oznacimo ga sa Q(X1,X2), je skup vrednosti svih racionalnih funkcija r(x1,x2) izracunatih u X1 i X2 - kada su X1 i X2 koreni neke algebarske jednacine, opet se mogu posmatrati samo polinomi.

e sad, za kvadratnu jednacinu p(x)=0, p(x)=ax^2+bx+c, ako je P(X1)=0, onda se drugi koren moze izraziti kao racionalna funkcija od X1 (X2=-b/a-X1), te se sva resenja jednacine p(x)=0 nalaze u polju Q(X1). To nije uvek tako za jednacine viseg stepena. Moguce je imati jednacinu p(x)=0, tako da resenje X2 nije u polju Q(X1). Teorema kaze sledece: jednacina p(x) resiva je u radikalima kada sva resenja leze u polju Q(X1,X2), kad god su X1 i X2 dva razlicita resenja te jednacine.

galoa je u stvari povezao prosirenja polja sa grupom automorfizama polja - koje permutuju resenja jednacine p(x). Dakle, posmatra se minimalno polje gde se nalaze sva resenja, a onda se gledaju automorfizmi tog polja (funkcije iz polja u to isto polje koja se slazu sa operacijama mnozenja, sabiranja i deljenja), koji cuvaju racionalne brojeve. to je neka podgrupa grupe svih permutacija korena jednacine. ova grupa se moze izracunati za svaku jednacinu. da bi se videlo da li je jednacina resiva u radikalima, treba videti da li je grupa "resiva", sto je jedan uslov koji se moze efektivno proveriti. taj uslov je ekvivalentan uslovu da svaki automorfizam koji cuva dva korena jednacine u stvari trivijalni automorfizam (slika x u x).

nsarski nsarski 21:09 21.11.2007

Re: Lema 1.1

E, hvala ti macaca ko najrodjenijem - ni Galois ne bi bolje objasnio!
Pozdrav.
telekomunista telekomunista 14:39 22.11.2007

Re: Lema 1.1

Samo mala ispravka, radi se o Lebegovoj mjeri, odnosno o Lebegovim integralima (Henri Lebesgue 1875-1941).
Hyperborejac Hyperborejac 14:39 26.11.2007

Re: Lema 1.1

Zaboravih da se zahvalim, kao što je red, ali nisam bio pri kompu. Sve najbolje.
cincili cincili 11:46 21.11.2007

pitko...

se citaju ovi tvoji prilozi iz oblasti matematike... kompliment & preporuka za uzivanje koje nam uvek podaris. iako vec dugi niz godina matematika ne egzistira u mojoj svakodnevnici (u smislu da se njom bavim naucno ili pisuci domaci zadatak sebi ili nekome) apsolutno uzivam citajuci svako tvoje izlaganje. keep going...
d j o l e d j o l e 12:02 21.11.2007

Kakvo je to vreme bilo

kada su u njemu, u istom gradu, u istoj zgradi boravili i radili Galoa, Furije, Poason, Kosi ...

p.s.

Nikada mi nije bio jasan taj obrt u francuskoj revoluciji ... otkud odjedanput, posle svih onih silnih revolucionarnih previranja i pobeda (kao i poraza) revolucionarne armije pod Napoleonom sirom Evrope, ponovo na istom mestu Republikanci i Rojalisti. Cak je i sam Napoleon Bonaparta (general republikanske armije) bio krunisan za cara Francuske i ko zna cega sve jos, vencan sa austirjskom princezom, sa njom dobio prestolonaslednika Napoleona II, zvanicno krunisanog Kralja Rima od strane tamosnje crkve - koji inace nikad nije vladao ... Trolujem, ali, ipak, cudna je ta istorija ... dinamika istorijskih procesa je tako nelinearna - nekada su potrebne stotine godine, a nekad tri dana da se jednoj zemlji desi ista vrsta promene (Francuska je u roku od nekoliko godina vise puta dozivljavala revolucionarne promene u Napoleonovo vreme).
Atomski mrav Atomski mrav 15:19 21.11.2007

Zev..

... matematika (teorijska) je uvek nalazila način da me uspava :) Kad patim od nesanice, ja lepo uzmem knjigu iz algebre , već kod grupoida mi se prispava a dok dođem do polja i prstenova, zahrčem :)

Elem, vezano za problematiku rešavanja jednačina petog i viših stepena, zapamtio sam dve zanimljivosti.

1) Sećam se da nam je profesor fizike na prvoj godini faksa rekao da u prirodi nisu zabeleženi procesi koji bi se opisali diferencijalnim jednačinama čiji je stepen veći od četvrtog i tako nam dokazao da su oni silni zadaci iz Matematičke analize sa dif. jednačinama ne znam kog stepena čisto iživljavanje :) Doduše, radi se o diferencijalnim a ne algebarskim jednačinama, ali ove prve mogu da se svedu na ove druge Laplasovom transformacijom, čini mi se... (a to nam nisu rekli sve do druge godine faksa, krvnici) :)

2) Iz Sistema automatskog upravljanja smo naučili da je svaki sistem koji poseduje integralno dejstvo (astatizam) stepena > 4 po definiciji nestabilan...

Zaključak - nije ni čudo što se za jednačine 5+ stepena ne mogu naći rešenja u opštem slučaju, jer ni priroda ni čovek nisu još uspeli da kreiraju nešto što bi se takvim jednačinama moglo opisati. To što nekakva jednačina ima rešenja u kompleksnim brojevima, u stvarnom životu ne znači mnogo...
nsarski nsarski 15:26 21.11.2007

Re: Zev..

Pa, nije bitno da li su nepotrebne (mada ni to nije tacno - pitaj ljude koji se bave solitonima, a evo i ja se vec mesecima mucim da dijagonalizujem vece matrice i karakteristicne jednacine mogu da budu proizvoljno velikog reda), zanimljivo je znati zasto nisu resive.
Atomski mrav Atomski mrav 15:31 21.11.2007

Re: Zev..

A ne, ne, ne, ne... nisam hteo da ispadne kako mislim da su nepotrebne... već samo da me ne čudi što su nerešive. Tj. ako su rešive, ta rešenja "nisu sa ovoga sveta" da se tako izrazim... Na kraju, moram da dodam, da nam je treći profesor jednom rekao kako ne bi bilo moguće snimati CD-ove da nije teorije ograničenih polja (WTF? mislio sam tada...).

Inače, bojim sa da pitam, ali ipak ću morati - šta su to, do đavola, solitoni?
Matrice - brrrr... jeza me hvata od njih, pogotovo od tih velikih koje ni Matlab ne može da svari... :)
nsarski nsarski 15:45 21.11.2007

Re: Zev..

Solitoni su solitary waves - super stvar.
Izvinjavam se na kratkoci, sledecih par sati imam neodlozna posla (a mozda cu da izadjem i na duel:)).
Javljam se malo kasnije.
jinks jinks 15:53 21.11.2007

Re: Zev..

da u prirodi nisu zabeleženi procesi koji bi se opisali diferencijalnim jednačinama čiji je stepen veći od četvrtog
Bilo bi super da je tako. Vetar, morska struja, pomeranje stabljike trave na povetarcu ... ko zna kog su reda.

A tek, naprimer, kucanje prstiju na tastaturi ili citanje (bloga :) , kada se uzme u obzir dinamika ociju, pokreti glave ... dinamika receptora, obrada u mozgu na nivou prepoznavanja slova ... pa onda slojevi svesti od odnih sa kojima smo se rodili pa sa onim sto smo naucili, pa onda ko zna koliko procesa svesnih i nesvesnih da bi se razumeli ... sve zajedno ovaj proces da neko pise i neko drugi to cita ... izgleda kao da taj nelinearni sistem diferencijalnih jednacina ima beskonacni red
Atomski mrav Atomski mrav 21:43 21.11.2007

Re: Zev..

Šta znam, četvrti izvod meni zvuči prilično brzo i za dinamiku očiju i pokrete glave... sve što si napisao/la, kad se malo razmisli, nema baš tako brze promene...
nsarski nsarski 21:50 21.11.2007

Re: Zev..

Kod solitona se pojavljuje Boussinesq jednacina:

na primer. Takva je priroda, sta ces.
Ali, zaista, u fizici se najcesce dobijaju dif. jednacine drugog reda jer svemu je uzrok sila, a sila (ubrzanje) je drugi izvod. Ali one nisu jedine.
jinks jinks 22:27 21.11.2007

Re: Zev..

četvrti izvod meni zvuči prilično brzo
Ako se gleda jedna karika u modelu neke pojave, retko gde jedan element sistema ima veci red i od drugog. Ali, kada se svi elementi sloze u jedinstven sistem (bilo u prirodi, bilo u necemu sto je covek napravio), prorade modeli visih redova.
ivana23 ivana23 15:35 21.11.2007

?

marta l marta l 19:44 21.11.2007

slika drugog sveta

Faksimil jedne strane Galoisovih beleski

apsolutno fantasticno. strana izgeda kao fotos unutrasnjosti njegovog mozga u tom trenutku. Sve je tu, a opet sve u nekom svom redu i poretku (nista slevanadesno, odozgonadole...) pored matematike uhvacena i dramaturgija napisanog, tenzija, ozbiljnost, sumnja, negacija, nada....sve je tu.
jasno samo ovom nesretnom mladicu. Ostalima, kako kome, nekome jasno posle dva veka, a nekome moze da se dopadne samo kao mustra za heklanje.
zaista
iz sasvim drugog sveta, koji nema veze sa onim sto vec znamo

i jos jedan besmisleni duel
puskin
nsarski nsarski 21:17 21.11.2007

Re: slika drugog sveta

Pa nije ni cudo da su od njega ucitelja trazili da bude "malo organizovaniji":))
Atomski mrav Atomski mrav 21:44 21.11.2007

Re: slika drugog sveta

Valjda je to odlika genija... s druge strane, i haos je vrsta organizacije :)
nsarski nsarski 21:53 21.11.2007

Re: slika drugog sveta

Valjda je to odlika genija.

G. jesete bio genijalan, medjutim, rekao bih da tako svi mislimo: lovimo u mutnoj vodi emocija, logike, memorije, nagona neku slamku, ili nit, koja ce nas izbaciti na suvo.:)
Kako, na primer, misli Djokovic kad servira mec loptu?
gordanac gordanac 22:11 21.11.2007

:))

Kako, na primer, misli Djokovic kad servira mec loptu?

Garant misli gde lopta treba da preda energiju podlozi :)
Ima izračunat drugi izvod u ramenom i ručnom zglobu :))
bindu bindu 22:15 21.11.2007

Re: slika drugog sveta

Kako, na primer, misli Djokovic kad servira mec loptu?




hahaha;on nemisli;zar too nisi znao?
nsarski nsarski 22:23 21.11.2007

Re: :))

Na, sigurno ne! Ali, sta mu se vrzma po glavi? (Ovo sam dao samo kao primer, mogu i drugi da se nadju).
Pinker kaze da ljudi prilikom razmisljanja koriste taj jezik "mentalese" - mesavinu svega i svacega, ukljucujuci i budalastu muziku koja ti se pre par sati zakucala u mozak i ne mozes da je se oslobodis. Nesto kao one beleske gore.
Imao sam jednog kolegu sa kojim sam igrao fudbal. Ja nisam neki super igrac, ali baratam onako OK, za totalnog amatera. Ali ovaj je bio totalna dibidusara - spoplitao se o sopstvene noge. I voleo. Pa kad sutne a lopta ode totalno bez veze on kaze: "nisam dobro izracunao tangens!".
gordanac gordanac 22:30 21.11.2007

Re: :))

Znaš šta je to zanimljivo?
(to mi je prvo palo na pamet dok sam čitala post)
Izrazi lica ili neverbalni govor tela dok ljudi koriste "mentalese" (po Pinkeru) ili dok jednostavno duboko skoncentrisani misle o nečemu (problem, ideja, inspiracija....šta god)
Neprocenjiv prizor.

I kod dece (češće) i kod posebnih odraslih..
nsarski nsarski 22:31 21.11.2007

Re: :))

Ima svega toga. Bio je jedan blog ranije (ne secam se, nazalost) o sujeverju kod sportista.
bindu bindu 22:33 21.11.2007

Re: :))

on kaze: "nisam dobro izracunao tangens!".


haha izvini al mi je malo sve to smesno (po obicaju) a ako nije zezanje probaj malo onu meditaciju ; zaustavi misli;pa javi kako je bilo; kazu ta meditacija pravi cuda!
bauer bauer 22:38 21.11.2007

Re: :))

dok jednostavno duboko skoncentrisani misle o nečemu

Ili čitaju blogove :)
Atomski mrav Atomski mrav 23:36 21.11.2007

Re: :))

Aha, znači zato Nole toliko dugo tapka loptu pre serviranja... rešava čovek u glavi parcijalnu diferencijalnu jendačinu četvrtog reda sa razdvojenim koeficijentima, a pre riterna sigurno reši onako na brzaka jednu Ojlerovu... :)
nsarski nsarski 22:30 21.11.2007

Zanimljivosti iz Njujorka

U poslednje vreme je u Nnujorku (i drugim gradovima, ali Njujorku najvise) postala velika moda da se u barove pozivaju naucnici raznih zanimanja - fizicari, biolozi, hemicari, astronomi, itd., - koji tu imaju svoj nastup. Drustvo sedi, pijucka i cakula o nauci. Palo mi je na pamet da je to mozda zgodna koncepcija za klub Milana Novkovica. Bez alkohola i strobo svetla, naravno.
Detaljnije se moze naci na ovom mestu These Scientific Minds Think (and Drink) Alike
nestorijanac nestorijanac 23:05 21.11.2007

Tragedija jedne mladosti ?

U cemu je tragedija ove mladosti ?
Zbog toga sto za nju nije bilo vise vremena ? Ali, da je imala vise vremena to onda i ne bi bila neka mladost.
nsarski nsarski 23:10 21.11.2007

Re: Tragedija jedne mladosti ?

Ovo je parafraza naslova drame D. Kovachevica ("Lari Tompson, tragedija jedne mladosti"- pisao sam malo o tome u komentaru gore.
A i zvuci kao sapunica.
A i prilici vremenu u kome se desavala.
A i tako je predstavljena publikumu u Bell-ovoj knjizi iz 30-ih godina. Poglavlje o Galois-u se zove "Genius and Stupidity".
Za neke je u pitanju Romantika (sa velikim R)
Za neke je ljiga par excellence.
Stvar vidjenja.
Bojan Zdravic Bojan Zdravic 23:27 21.11.2007

Re: Tragedija jedne mladosti ?

Ovo je parafraza naslova drame D. Kovachevica ("Lari Tompson, tragedija jedne mladosti"- pisao sam malo o tome u komentaru gore

Aaaa, to nije bio nas Drug Lenjin onda, dobro-dobro, a jel' znas da je onomad isao da gleda tekmu na Karaburmi bez kape - pa je morao u poluvremenu da zapali od hladnoce, ne zna drug Lenjin sta je nasa Kosava beogradska izgleda, bar periku da je turio da ne ozebe tztztztz....mora da je imao groznicu posle kad je pisao, al' ne smeta to njemu, moze on da stvara i sas' groznicu - nas drug Lenjin je zaista genije:)))
jaglika jaglika 23:08 21.11.2007

Ajnstajn za sva vremena

Nije moguce resiti neki problem onom istom svescu koja je taj problem stvorila.
Misao vredna i primenljiva siroko.
Kovertirati i poslati predsedniku Vlade Srbije i samoj Vladi, recimo.
nsarski nsarski 23:11 21.11.2007

Re: Ajnstajn za sva vremena


Misao vredna i primenljiva siroko.


Ja sam je nazvao ognjena istina (po Bulgakovu).

Arhiva

   

Kategorije aktivne u poslednjih 7 dana