Dokaz

Prolog

Ovo je blog o dva matematička dokaza koji su tokom poslednjih deset meseci ozbiljno uzbudili svet teorijske, ili čiste matematike. Oba se odnose na prepostavke, ili hipoteze, o osobinama prostih brojeva, za koje se dugo verovalo da su tačne, ali eksplicitni i konačni dokazi istinitosti ovih pretpostavki nisu do sada postojali.

Matematičari su posebna sorta ljudi: ako im na milijardu primera pokažete da je neka hipoteza tačna, oni će vas ljubazno pogledati ali neće bezrezervno verovati da ona važi za sve, baš sve, slučajeve do beskonačnosti. Takav isti pogled uputiće vam ako im važenje hipoteze pokažete na 100 milijardi ili milijardu milijardi slučajeva - svaki konačan broj je ništa u odnosu na beskonačnost i sve manje od beskonačnosti je uverljivo, ali nije i dokazano.

Ipak, ovo nije blog o matematici, mada će i o njoj biti reči, već o dokazu kao takvom i nekim gotovo filozofskim implikacijama dokazivanja Istine.

Pošto je ovde reč o osobinama prostih brojeva, da se malo podsetimo.

Nežni uvod

Prirodni brojevi su oni koji se dobiju prebrojavanjem stvari (ovo nije rigorozna definicija, ali je za naše potrebe dovoljna). Dakle, broj prstiju na ruci, broj đaka u razredu, broj jabuka na stolu, broj zrna pirinča u kesi, broj zvezda na nebu, broj gledalaca na utakmici, itd, jesu prirodni brojevi. To su prvi brojevi koje naučimo u školi i koje deca nauče kad ih učimo da broje: 1, 2, 3, 4, 5, 6….107, 108,…itd. Koliko prirodnih brojeva ima? Pa, ima ih beskonačno mnogo jer, ma koliko veliki broj zadali nekome kao “najveći”, taj može tom broju dodati jedinicu i dobiti veći. I tako do u beskonačnost.

Takođe, u školi su  nas učili da među prirodnim brojevima ima parnih i neparnih - parni su deljivi brojem 2. Koliko parnih brojeva ima? Pa, ima ih koliko i neparnih, i ima ih beskonačno mnogo. Jer, ma koliko veliki parni broj zadali nekome kao “najveći parni broj”, taj može tom broju dodati dvojku i dobiti veći parni broj. I tako do u beskonačnost. Slično je i sa neparnim brojevima.

Ili, recimo, zamislimo brojeve deljive brojem 3. To su 3, 6, 9, 12, 15…itd. Koliko takvih brojeva ima? Takođe beskonačno mnogo – bilo kom “najvećem broju deljivom sa 3” možemo dodati trojku i imamo veći broj deljiv sa tri. I tako do u beskonačnost. Ovo je bila matematika za obdanište.

Među prirodnim brojevima posebno mesto zauzimaju prosti brojevi. Prosti su oni brojevi koji nisu deljivi (bez ostatka) nijednim drugim brojem osim samim sobom.  To su brojevi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97... da popišem one manje od 100.  (Primetiti odmah da je 2 jedini paran prost broj – svi ostali moraju biti neparni. U suprotnom neki drugi “paran prost broj” bio bi deljiv dvojkom, jer je paran, ali onda on nije prost broj jer je deljiv još nekim brojem osim samim sobom.) Koliko prostih brojeva ima? Ima ih beskonačno mnogo – ovaj dokaz je izveo Euklid pre više od 2000 godina. Njegov ingeniozni dokaz je sličan postupku koji smo koristili gore da pokažemo beskonačnost skupa parnih brojeva, ili brojeva deljivih trojkom.

Evo tog briljantnog Euklidovog rezonovanja.

Uzmimo, na primer, da smo se uzjogunili i tvrdimo da su 3 i 5 “jedini prosti brojevi”. OK, kaže Euklid, pomnožimo onda 3 i 5 i rezultatu dodajmo jedinicu, tj., 3x5+1=16.  Ha, broj 16 nije deljiv sa 3 ili 5, ali je deljiv sa 2, a 2 nije deljiv nijednim drugim brojem osim samim sobom, dakle prost je. Sada moramo popustiti i priznati da naš novi skup prostih brojeva mora da sadrži i dvojku, tj. prosti brojevi su sada 2, 3 i 5.

Odlično, pomnožimo sada sve te proste brojeve i dodajmo rezultatu jedinicu, tj., 2x3x5+1=31. Aha, 31 je broj koji je deljiv jedino samim sobom, prema tome prost je. Naš skup “jedinih prostih brojeva” mora da uključi i broj 31, tj. on sada sadrži brojeve 2, 3, 5 i 31. Ovakvim postupkom možemo od bilo kog konačnog skupa prostih brojeva generisati nove i nove proste brojeve i to tako da je, množenjem “svih prostih brojeva” i dodavanjem jedinice, dobijen ili novi prost broj (kao što je broj 31 u gornjem primeru) ili složen broj koji je deljiv nekim prostim brojem koji se ne nalazi u našem polaznom skupu (kao što je bio slučaj sa brojem 2 u gornjem primeru). I tako do beskonačnosti. Dakle, prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Koliko god daleko išli po brojnoj osi, uveć ćemo naići na neki prost broj. Whew.

Da pogledamo ponovo našu listu prostih brojeva manjih od sto: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97... Primetimo odmah da prostih brojeva manjih od 100 ima manje nego prirodnih brojeva  manjih od 100,  te da se “razređuju” na neki način:  recimo, u dekadi od 10 do 20 ima ih četiri (11, 13, 17, 19), dok ih u dekadi od 20 do 30 ima samo dva (23 i 29), itd. Bez obzira što su prosti brojevi “ređi” od prirodnih brojeva – ili od parnih brojeva, svejedno – njih ipak ima podjednako “beskonačno mnogo” koliko i prirodnih brojeva.

Ipak, postoji beskonačno i postoji beskonačno. Na primer stepena broja 2 ima takođe beskonačno mnogo na brojnoj osi, ali između brojeva 1 i 1000 njih ima tačno deset: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Prostih brojeva u istom intervalu ima 72 komada.

U teoriji brojeva, i u matematici uopšte, prosti brojevi su izuzetno značajni zbog sledeće ognjene teoreme: Svaki prirodan broj može da se na jedinstven način napiše kao proizvod prostih brojeva. Fundamentalna stvar. Imam bilo koji broj i on može da se jednoznačno razloži na proizvod svojih faktora. Na primer, 15=3x5, ili 60=2x2x3x5, itd.

Na svoj način, prosti brojevi su “atomi” od kojih su svi ostali brojevi sastavljeni. Slično kao što bilo koji zvuk može da se rastavi na proste harmonike, tako i bilo koji prirodan broj može da se rastavi na proste brojeve (faktore) na jedinstven način. Ovo će nam trebati malo kasnije. Vratimo se sada našoj listi prostih brojeva.

Primetimo da na toj listi ima prostih brojeva koji dolaze u parovima: recimo (17,19), pa (41,43), pa (59,61), itd, dok su ostali “sami” da tako kažem. Ovakvi parovi prostih brojeva se zovu prosti brojevi blizanci (twin primes), a ja ću ih zvati “prosti parovi”.

I sada dolazi važno pitanje: koliko ima prostih parova? Vekovima se verovalo da prostih parova ima beskonačno mnogo, ali to niko nije uspevao da dokaže. Ovo verovanje se još zove i pretpostavka o prostim parovima (twin prime conjecture), ali, bez obzira na to što su matematičari pronašli ogromne proste parove, kao što su, recimo, brojevi 3756801695685 · 2^666669 ± 1 koji  imaju preko 200 hiljada cifara, dokaz da prostih parova ima beskonačno mnogo nije postojao.  Sve do nedavno.

Dokaz br. 1 - Jitan Žang

Jitan Žang je danas pedesetogodišnjak i predavač je matematike na Univerzitetu Nju Hempšir. Međutim, taj posao je dobio tek posle dugogodišnjih pokušaja da se zaposli u svojoj struci.

Žang je diplomirao matematiku u Pekingu 1982. godine i na istom univerzitetu magistrirao 1985. godine u oblasti teorije brojeva. Za nastavak studija, kao odličan student, i na preporuke svojih profesora, dobio je stipendiju na Perdju (Purdue) univerzitetu u Americi, gde doktorira matematiku 1991. godine (doktorat nije iz teorije brojeva). Nakon toga je uzaludno pokušavao da dobije akademski posao, pa je godinama radio kao računovođa, radio u jednom motelu u Kentakiju, kao raznosač za neki restoran u Njujorku, radio je u prodavnici sendviča, itd. Najzad je uspeo da se zaposli kao predavač matematike u Nju Hempširu.  Sve vreme je, međutim, pratio razvoj događaja u teoriji brojeva, premda to nije bila njegova uža specijalnost.

Pre dva meseca (17. 04. 2013), u časopis Annals of Mathematics poslao je naučni rad “Ograničeni razmaci među prostim brojevima” u kojem je dokazao jednu “razblaženu” verziju pretpostavke o prostim parovima. Naime on je dokazao da postoji beskonačan broj prostih brojeva koji nisu udaljeni jedan od drugog više od nekog konačnog broja. Žang je za taj broj uzeo 70 miliona. Dakle, pokazao je da ima beskonačno mnogo prostih brojeva koji nisu međusobno udaljeni više od sedamdeset miliona koraka. Izmedju 70 miliona i 2 velika je razlika, ali je ona ipak konačna.

Da bi došao do svog dokaza, Žang je koristio komplikovane matematičke teoreme, izvedene tokom poslednjih nekoliko decenija, ali dobro poznate u matematičkim krugovima. Ljudi koji su prvi referisali Žangov rad su napisali da je on “primer jasnog i transparentnog izlaganja”.  Rad je primljen u štampu, a Žang je dobio pozive da održi predavanja na Harvardu, pa u Francuskoj i na drugim prestižnim mestima.

Razume se, matematičari su bili zatečeni jer je dokaz izveo čovek koji je bio praktično nepoznat u akademskom svetu. Ubrzo su proverili Žangove argumente i uverili se u njihovu tačnost. Štaviše, neki od najvećih matematičara sveta (Terence Tao, na primer) poboljšali su Žangov dokaz i ono rastojanje od 70 miliona smanjili na 5 miliona (taj rad je poslat u štampu pre osam dana, 4. juna). Svi su izgledi da će, zahvaljujući Žangovom radu, milenijumska pretpostavka o prostim parovima biti konačno dokazana.

Nastavak nežnog uvoda

Teorija brojeva obiluje pretpostavkama i hipotezama za koje se veruje da su tačne, i njihova tačnost demonstrirana je na ogromnom broju pojedinačnih slučajeva, ali definitivni dokaz da one važe za sve brojeve nije još izveden. Štaviše, mnoge od ovih pretpostavki mogu se lako formulisati i objasniti i nekom klinji u osnovnoj školi. Na primer, Goldbahova prepostavka kaže da se svaki paran ceo broj veći od 2  može napisati kao zbir dva prosta broja. Ova pretpostavka je formulisana još 1742. godine, ali do danas nije dokazana, mada je pokazano da važi za prvih 10^18 parnih brojeva, ali to je ipak manje od beskonačnosti.

Ili Katalanova prepostavka koja kaze da su brojevi 8 i 9 jedini uzastopni celi brojevi koji se mogu napisati kao stepen nekog broja. Naime, 8=2^3 i 9=3^2.  Uprkos svim naporima da se nađu neka druga dva uzastopna broja koja se mogu napisati kao stepeni, traganje nije urodilo plodom, tj. Katalanova pretpostavka je verovatno tačna.

U pokušaju da se mnoge od ovih i sličnih prepostavki objedine, 1985. godine formulisana je takozvana abc pretpostavka. Ona je nešto komplikovanija od ovih prethodnih, ali, naoružani znanjem koje sada imamo o prirodnim i prostim brojevima, i nju ćemo lako razumeti.

Rekli smo gore da se svaki ceo broj može jednoznačno napisati kao proizvod prostih brojeva. Uzmimo onda tri cela broja, a, b i c, koji zadovoljavaju jednacinu a+b=c. Takvih brojeva ima neograniceno mnogo – kadgod saberete dva cela broja i dobijete rezultat, onda ta dva broja koja ste sabirali (zovimo ih a i b) i broj koji ste dobili kao rezultat (zovimo ga c) zadovoljavaju ovu jednačinu.

Međutim, mi nećemo uzeti bilo koje cele brojeve i njihov zbir za a, b i c, već ćemo ih posebno izabrati.  Naime, uzećemo one brojeve za a, b i c koji nemaju zajedničkih delilaca, tj. faktorizuju se različitim prostim brojevima. Na primer, uzmimo da je a=16 (faktorizuje se kao 2x2x2x2), b=17 (on je sam prost broj), onda je c=16+17=33 (faktorizuje se kao 3x11). Drugim rečima, izabraćemo one brojeve koji nisu međusobno deljivi i istovremeno zadovoljavaju a+b=c.

Za formulisanje abc pretpostavke potreban je još jedan jednostavan korak, odnosno potrebno je da uvedemo još jedan pojam. Znamo da svaki ceo broj može da se faktorizuje kao proizvod prostih brojeva, ali kod mnogih celih brojeva faktori se ponavljaju više puta. Recimo 60=2x2x3x5, faktor 2 se ponavlja. Nazovimo “radikal broja n”, i označimo ga sa rad(n), takav broj koji se dobije ako se pomnože samo oni različiti faktori broja n bez ponavljanja (ponovljene faktore uključimo samo jednom u ovaj proizvod). Recimo rad(60)=2x3x5=30 (faktor 2 se ponavlja u faktorizaciji 60=2x2x3x5 pa ga uzimamo samo jednom), rad(16)=2 (setimo se da 16=2x2x2x2, pa dvojku uzimamo samo jednom), rad(15)=3x5 ( u faktorizaciji 15=3x5, svi su faktori različiti i sve ih množimo da dobijemo rad (15) ), itd. E, sada smo na čistom.

Vratimo se sada na brojeve a, b, i c koji nemaju zajedničkih faktora i zadovoljavaju jednačinu a+b=c. Ako bismo izračunali radikal proizvoda ova tri broja, tj., broj rad(abc) onda je, gotovo uvek, c   U gornjem primeru gde je a=16, b=17, c=33, imamo rad(abc)=rad(16x17x33)=2x17x3x11=1122. Dakle c=33 je manje od rad(abc)=1122 i ovakav rezultat ćemo dobiti u gotovo svim slučajevima, ali ne baš svim. Koliko takvih izuzetaka ima? Pa, abc pretpostavka kaže da njih ima konačno mnogo, tj., da ima konačan broj trojki brojeva a, b i c, koji su medjusobno nedeljivi zajedničkim faktorom, koji zadovoljavaju jednačinu a+b=c, i za koje je c>rad(abc). Eto, sasvim prosto.

(Ovo nije najpreciznija formulacija, ali poslužiće).

Ako bi se dokazalo važenje abc pretpostavke, onda bi mnoge pretpostavke iz teorije brojeva bile dokazane. Recimo, veliki Fermaov problem (koji je nezavisno dokazan 1998) prirodno bi sledio iz takvog dokaza. Ukratko, abc pretpostavka se bavi suštinom matematike brojeva i elementarnim operacijama sa njima kao što su množenje i sabiranje. Stvari od fundamentalne važnosti. Na svoj način, ona u sebi sadrži veliki deo fundamentalnih matematičkih problema koji matematičare vekovima opsedaju.

Dokaz br.2 – Šiniči Močizuki

Šiniči Močizuki se kao petogodišnje dete sa roditeljima preselio iz Japana u Njujork i tamo pohađao najprestižnije škole, gde je zapažen kao izuzetno talentovan matematičar. Na Univerzitetu Prinston upisao je studije matematike kad mu je bilo 16 godina, i sa 23 je doktorirao iz oblasti teorije brojeva 1992. godine. Iste godine dobija posao na Kjoto univerzitetu, gde je 2002. godine izabran za redovnog profesora.  Zahvaljujući svom radu, stekao je izvanrednu naučnu reputaciju jer je dokazao nekoliko važnih teorema, razvio nove egzotične oblasti, kao što je, na primer, inter-univerzalna Teichmullerova geometrija. Rečju, matematičar vrhunske reputacije. Genije, kako bi rekli

Krajem avgusta 2012. godine, Močizuki na svom internet sajtu objavi da je dokazao abc pretpostavku. Javnost je reagovala odmah: “Najsloženiji problem na svetu je rešen”, “Mogući proboj u abc hipothezi”, bili su neki od naslova u svetskim novinama.

 Razume se, i cela matematička javnost je bila uzbudjena, željna da vidi taj dokaz. Medjutim, kada su stručnjaci otišli na odgovarajući sajt, čekalo ih je nešto potpuno neočekivano: dokaz je bilo nemoguće pročitati.

Na sajtu su postavljenaa 4 rada. Prvi od njih- “Inter-univerzalna Teichmullerova Teorija I: Konstrukcija Hodžovih Teatra” je sadržala rečenice kao: “naš cilj je da zasnujemo aritmetičku verziju Teichmullerove teorije brojnih polja (number fields) pojačanih eliptičkim krivama … primenjujući teoriju polu-grafova anabeloida, Frobenoida, etal teta funkcija, i log-šelovima”. I tako, na sličan način na oko 1000 stranica gustog matematičkog teksta.

Svima, pa i najvećim stručnjacima, je ovo zvučalo, od naslova pa na dalje, kao gomila reči bez značenja.  Rečju, dokaz je bio nečitljiv i potpuno nerazumljiv. Nekolicini koji su se usudili da ipak prodju kroz ceo tekst ubrzo je postalo jasno da je takav trud uzaludan. Da bi razumeli prirodu dokaza i sve njegove detalje trebali bi da potroše znatan deo karijere učeći Močizukijev jezik, njegovu matematiku i njegove matematičke konstrukcije.

Za sada nema na vidiku nikog ko bi kroz svu tu šumu termina i notacija mogao da se probije, da u svemu nadje smisao razumljiv ostalima, i da prodre u matematički svet Šiniči Močizukija. 

Šiniči odbija da napiše dodatna objašnjenja, ne pojavljuje se na ponudjenim predavanjima, niti se upušta u razgovore o svom dokazu. On je rekao šta je imao, a drugi neka rastumače detalje. Na njegovom sajtu, kao opis profesije, piše inter-univerzalni geometar Šiniči Močizuki.

Zanimljivo je da je slično postupio Grigorij Pereljman, ruski matematički genije, kada je pre neku godinu objavio rešenje čuvene Poenkareove pretpostavke. On je samo rekao da je njegov dokaz prepušten na uvid javnosti, pa ko nadje grešku ili manjkavost neke vrste neka se javi.  Ipak, njegov komplikovan i  slabo razumljiv dokaz je najzad rastumačen i potvrdjen i Pereljman se vodi kao matematičar koji je dokazao tu pretpostavku.

Sa Močizukijem stvar je mnogo teža.  Proći će mnogo vremena dok se bilo ko usudi da istinski zagrize u celu stvar. Inter-univerzalni geometar je deset godina proveo konstruišući svoj matematički svet u kome je trenutno potpuno sam.

Implikacije

Prvo pitanje je, razume se: da li je abc pretpostavka dokazana ili ne? Niko ne zna. Močizuki tvrdi da jeste, ali niko ne razume njegov dokaz. Možda će nam jednog dana objasniti.

Potom, hajde da uzmemo da abc pretpostavka jeste dokazana (mada za ovo, zaista, treba verovati čoveku na reč), ali onda je pitanje sledeće: ako bi se kojim slučajem, nedaj Bože, desilo da Močizuki izgubi razum, ili na drugi način izgubi moć komunikacije i objašnjavanja, da li bi i tada smatrali da je abc pretpostavka dokazana?

Ovo su već filozofska pitanja, i ja bih razmišljanja o njima radije prepustio filozofima.

*beleške na margini (thanks, BB!)

Pre dva dana je na sajtu B92, rubrika Život, u jednom skandalozno napisanom članku, objavljena vest da je

izvesni Ramiz Jahić, penzioner iz Fojnice i samouki matematičar, rešio matematički problem vredan million dolara. Rešenje se odnosi na Beal-ovu hipotezu koja je svojevrsna generalizacija Fermaovog problema (već rešenog pre 15 godina). Jahić je odbio da izloži detalje svog dokaza, koji je prvo najavljen u “Dnevnom Avazu”. 

Samo je rekao: “Znači, radi se o matematičkoj pretpostavci. Dugo sam pokušavao riješiti zadatak na klasični matematički način – jednačinom. Međutim, nije išlo, jer nema nijedne poznate. Onda sam išao logikom i pretpostavkom i tako da sam došao do tri nepoznate, a ostale tri sam otkrio putem redovne jednačine. To je za sada sve što vam mogu otkriti”, dodao je Jahić. Jedini savet koji imam za matematičara entuzijastu jeste: ako je Močizuki u pravu, onda postoji beskonačno mnogo kontra-primera Beal-ovoj hipotezi. Močizuki ili Ramiz – odlučite sami.