Blog za Miću Markovića i društvo u ćošku: matematika, muzika, veličina organa i ostala preterivanja.

nsarski RSS / 22.06.2007. u 20:58

Na prethodnom blogu, Mića Marković je postavio sjajno pitanje, ali kad sam razmislio o odgovoru, shvatio sam da bi on bio predugačak i da zavredjuje poseban blog. Mićino pitanje se odnosilo na to kako se dolazi do matematičkih rešenja, ili kako se nešto dokazuje.

O tome, naravno, postoji cela nauka, i ja ću ovde da pokazem par prostih primera, ilustracije radi. Potom ćemo naći vezu izmedju matematike, muzike i još koječega.

Pre svega, da bi nešto dokazali ili opovrgli, moramo da imamo tvrdnju. Ja ću navesti dva primera., oba postavljena od strane Fermat-a (1601-1665), koji je bio pravnik i matematičar. Poznati “Veliki Fermatov problem” je tvdnja da ne postoje tri cela broja koji zadovoljavaju jednačinu

fermat.jpg


ako je je ovaj broj “n” u jednačini (eksponent) jednak 3 ili više.

Ako je n=1, na primer, jednačina je x+y=z, pa rešenja ima: recimo x=3, y=5, z=8, tj. kad zamenimo u jednačinu ove vrednosti dobijemo 3+5=8, što je tačno. Možemo da uzmemo za x i y bilo koja dva broja, a z prosto kao njihov zbir. Svaka takva “trojka” brojeva je rešenje (heh, nekad se i rešenja kreću u “trojkama”). Idemo dalje.

Kad zamenimo u gornju jednačinu n=2, onda jednačina glasi x^2+y^2=z^2. Hm, ovo je malo teže od prethodnog slučaja. Ako zamislimo da su x i y katete pravouglog trougla, a z hipotenuza (najduža stranica), onda naša jednačina samo kaže da je zbir kvadrata kateta (x i y) jednak kvadratu hipotenuze (z), što je Pitagorina teorema. Aha! Mi smo time naš algebarski problem redukovali na sledeće pitanje iz geometrije: postoji li pravougli trougao sa celobrojnim stranicama? Ako postoji, onda su dužine stranica takvog trougla rešenja naše jednačine. Ispostavlja se da postoji: na primer, x=3, y=4 i z=5 je pravougli trougao ca celobrojnom dužinom stranica. Takvih trouglova ima mnogo (beskonačno mnogo), a ovaj navedeni je najpoznatiji. Dakle, naša jednacina sa n=2 ima rešenje.

Fermat tvrdi da su n=1 i n=2 jedine vrednosti eksponenta n u gornjoj jednačini za koje rešenje postoji. Za sve druge vrednosti, n=3, 4, 5, itd., ova jednačina nema rešenja. To je tvrdnja.

Kako ovo dokazati, ili oboriti?

Oboriti je lako: treba samo naći tri broja (x,y i z) koja zadovoljavaju gornju jednačinu sa n=3 (ili 4, ili 5 ili neka druga vrednost ako nam je to lakše). Prvo, kad je n=3 nema “Aha, Pitagora!”. Ne postoji neka tvrdnja, slična Pitagorinoj teoremi, koja sadrži treće stepene. Ako nemamo drugu ideju, tada se pribegne metodu “pogadjanja” ili probanja. Recimo, programiraš kompjuter da on bira “trojke” brojeva (x, y i z), svaki broj digne na treći stepen, sabere ih, i proveri da li dobijeni brojevi zadovoljavaju ovu jednačinu. Kompjuter može da izvrši na milione takvih računanja u sekundi. Medjutim, brojeva ima beskonačno mnogo, pa bez obzira što smo probali mnogo miliona-gaziliona puta, i kompjuter je radio satima i nedeljama i godinama bez prestanka, i nismo našli rešenje, još uvek ne možemo tvrditi da ga nema uopšte, ni jednog. Možemo možda reći da su rešenja “retka”, teško se nalaze. Setimo se da Fermat nije imao kompjuter i na margini jedne knjige napisao da on svoju tvrdnju “može da dokaže, ali nema dovoljno mesta na margini da to zapiše”. 350 godina kasnije, dokaz je izveden (Wiles, 1996), ali misterija ostaje. Kako je Fermat mogao da tvrdi da ima dokaz, kad se danas zna da je za izvodjenje dokaza porebno poznavanje ne-Euklidske geometrije, eliptičkih krivih, modularnih formi, i sličnih monstruoznosti, koje u Fermatovo vreme nisu postojale? U svakom slučaju, Fermatova tvrdnja je dokazana kao tačna.

Ljudi koji se bave brojevima, i teorijom o njima, posebno vole “proste” brojeve. Prost broj je ceo broj koji je deljiv samo sa jedinicom i samim sobom, bez ostatka. Recimo, 11 je prost broj; 15 nije prost jer je deljiv sa 3 i sa 5. Evo nekoliko prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 (hvala!)…

Prosti brojevi su interesantni jer su oni, u suštini, kao osnovne note u muzici (vidi dole). Naime, prvo primetimo da je broj 2 jedini paran prost broj na ovom spisku. Svi drugi su neparni jer, kad bi bili parni, bili bi deljivi i sa 2, što je suprotno definiciji prostog broja. Ali, najvažnija stvar vezana za proste brojeve je sledeća: svaki ceo broj može, na jedinstven način, da se napiše kao proizvod prostih brojeva. Na jedinstven. Ovo razlaganje broja na proste faktore se zove faktorizacija. Recimo 35=5*7, ili 24=2*2*2*3, i tako dalje. Ovo je fundamentalna teorema u matematici. Medjutim, faktorisati velike brojeve nije uopšte lako, i ne zna se opšti metod, osim metoda probanjem. Potrebno je mnogo sati kompjuterskog računanja da bi se veliki broj faktorisao – i upravo na ovome se zasniva celokupni rad današnje kriptologije: moguće je uzeti broj toliko veliki da ga svi kompjuteri ovog sveta ne mogu faktorisati u realnom vremenu.

Ali, zar gornja teorema o faktorisanju nekog broja ne liči na tvrdnju da svaki ton može da se “razbije” na zbir osnovnih harmonika, ili da je svaka boja proporcionalna mešavina crvene, zelene i plave (RGB)? U tom smislu, prosti brojevi su u matematici ono sto su osnovni harmonici u muzici, ili osnovne boje u slikarstvu. Zato ih ljudi mnogo proučavaju. Ima mnogo tvrdnji vezanih za proste brojeve (mnoge su nedokazane), a ja ću navesti jednu; ova ima veze sa procesom dokazivanja, a i zanimljiva je na svoj način.

Ljudi su dugo pokušavali da nadju formulu po kojoj mogu da se dobiju prosti brojevi. Medju njima je i Fermat (1601-1665), pravnik i matematičar, koji je predložio da su brojevi, Fn, koji se dobiju po formuli:

bd640f25299a9a032b52b75f4944d191.png

kad se u nju zamene vrednosti n=0, 1, 2, 3 ,4 ,5 ,6… prosti brojevi. Ovo naravno nisu svi prosti brojevi, ali svaki koji se dobije po ovoj formuli je prost..

Da probamo: kad je n=0, 2^0=1, 2^1=2,2+1=3, tačno – 3 je prost broj; kad je n=1, 2^1=2, 2^2=4, 4+1=5, tačno – 5 je prost broj; kad je n=2 rezultat je 17 – prost broj; kad je n=3, rezultat je 257 – prost broj; kad je n=4, rezultat je 65537 – takodje prost broj. Dakle F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537. Kad je n=5, dobije se veoma veliki broj, koji je teško fakrotisati, pa je Fermat (pošto nije imao kompjuter), pretpostavio da je gornja formula tačna, tj. da je broj Fn, izračunat po toj formuli za svaku vrednost “n”, prost i ta pretpostavka je stajala kao “verovatno tačna”.

Medjutim, oko 100 godina kasnije, Ojler (Euler, 1707-1783) pokaže da Fermatov broj F5, tj. broj koji se dobije kad se zameni n=5 u gornjoj jednačini i iznosi F5= 4294967297, nije prost već je deljiv brojem 641, naime 4294967297=641* 6700417!. (Kako je Ojler došao do ovoga – bez kompjutera! – je priča za sebe.) Znači nalaženjem kontra-primera Ojler je izveo dokaz – oborio je Fermatovu tvrdnju. Dokaz završen.

(Sa ponosom mogu da kažem da sam razvio metod, totalno nepriznat u matematici, za rešavanje nekih jednačina. Ja ga zovem “metod upornog posmatranja”, i neke moje kolege su ga uspešno primenile u svojim problemima: ako dovoljno dugo bleneš u neku jednačinu, rešenje ti se samo nametne.)

Ali, ova priča ne bi bila suviše zanimljiva da nema i zagonetni nastavak.

Naime, u vreme Gausa (1777 – 1855) su matematičari razmišljali o pravilnim mnogougaonicima (pravilnim trouglovima, četvorouglima, sedmouglima, itd.) I pitanje je bilo koji od njih mogu da se geometrijski konstruišu samo pomoću lenjira i šestara. Recimo može trougao, može petougao, ali sedmougao ne može. Ne može ni 11-to ugao. S druge strane, neke je prosto konstruisati: trougao ili kvadrat, recimo. Ima li neko pravilo po kome se utvrduje da li se mogu/ne mogu konstruisati mnogouglovi lenjirom i šestarom?

Za svoj 17- rodjendan, kaže legenda, Gaus dokaže da regularni poligon (mnogougao) može da se konstruiše lenjirom i šestarom ako je broj uglova jednak Fermatrovom broju Fn (dakle, 3-ugao, 5-ugao, 17-ugao, 257 –ugao, itd..) - eto nama Fermatovih brojeva nazad - i eksplicitno pokaže konstrukciju za, prigodni rodjendanski, 17-ugao. Legenda takodje kaže da je Gaus tada odlučio da se posveti matematici..

Konstrukcija 257-ugla je izvedena 1830. godine, a rukopis koji daje instrukcije za konstrukciju 65537-o ugla je pisan 10 godina I zauzima veliku kutiju na jednom univerzitetu u Nemačkoj.

Fermatovi brojevi, iako nisu dobri kao formula za proste brojeve, I danas se proučavaju u matematici zbog drugih svojih osobina.

A sada – muzika!

Rekao sam da prosti brojevi u matematici imaju ulogu kao osnovne note u muzici. Ljudi procenjuju rastojanje u “visini” izmedju dva tona kao odnos njihovih njihovih frekvencija. Dva tona čiji je odnos učestanost 2:1 ljudi čuju kao dve iste note u različitim oktavama. Na ovaj način se pravi skala (što znači meredevina), ili lestvica, kako se zove kod nas.

Svi muzički instrumenti, osim udaraljki, proizvode zvuk oscilovanjem strune ili vazdušnog stuba. Svaka zategnuta struna ili vazdušni stub odredjene dužine ima svoju prirodnu, fundamentalnu frekvenciju. Ali, pored ove prirodne frekvencije, instrument ima i celu seriju viših moda oscilovanja, ili vibracija. Kako su frekvencija u talasna dužina vezane jednačinom: frekvencija x talasna dužina = brzina zvuka, a brzina zvuka je konstantna, onda viša frekvencija znači i manja talasna duzina, i obrnuto. Dužine zategnute strune definiše fundamentalnu talasnu dužinu (I odgovarajuću fundamentalnu frekvenciju) te strune, odnosno vazdušnog stuba.

Vrabac pevač (Melospiza melodia) ima pesmu koja se satoji od naizmeničnog puštanja drugog i trećeg harmonica. Ako uzmemo da se ovaj zvuk proizvodi vibracijom vazdušnog stuba, osnovne frekvencije takvih vibracija su 344/2L Hz za otvoren stub, I 344/4L Hz za polu-otvoren stub, gde je L dužina stuba u metrima. (Ove se formule dobiju iz jednostavne fizike oscilacija, i pretpostavke da je brzina zvuka oko 344m/sec).

Najniži zvuk zabeležen u pesmi tog vrapca je je oko 2325 Hz, što bi odgovaralo dužini stuba od oko 7.4cm otvorenog stuba - malo previse za pticu koja je dugacka oko 15cm sa sve repom. Ne zna se tačno kako on to izvodi.

Ali ove formule za učestanost još nam kazuju da, što je veći (duži) vazdušni stub, tj. veća vrednost za L, to je i učestalost proizvedenog zvuka niža – zvuk je “dublji”. Očekujemo, dakle, da manje ptice (i životinje uopšte) proizvode “viši”, piskutaviji zvuk od velikih ptica, što otprilike odgovara situaciji u prirodi - setimo se pesme kanarinca i gakanja guske (ili rike lava i mjauka mačke). Kada životinje, ili ljudi, prete drugima oni se trude da proizvedu što niži (“dublji”) zvuk, jer to implicira da su po dimenzijama veći, sto je već ozbiljna poruka. Kad pas reži (preti), zvuk je niži od zvuka koji proizvodi kad samo “kevće”. Mi možda ne znamo ništa o gornjoj formuli, ali ovo je “usadjena” vrsta znanja koja je dobrodošla. Stvar psihologije.

Takodje je stvar psihologije to što ljudi, kada hoće da ispadnu neagresivni, nepreteći, bezopasni, povise učestanost glasa, govore piskutavije.

Ne znam kako vas, ali mene žešće nervira kad udjem u neku ustanovu, kancelariju, privatan bizmis, naročito u Beogradu, i namontirana sekretarica mi kaže :”Izvaaalite, saedite! Sad će gospodin Bizmismen da dodje. Žaalite li našto da paaapijete?”. I to kaže piskutavim glasom, potpuno neprirodnim, naravno, za svoju figuru. Doživeli ste svi nešto nalik na ovo, siguran sam.

U psihologiji postoji koncept “reaktivne formacije”. To je kad vas neko, na primer, ne voli, ali ne želi (ne sme) to da pokaže, pa se onda pretvara da vas baš voli. Baš voli. Eto.

Ova sekretarica, sto svojim svojim cvrkutom pokusava da deluje ljubazno i "manje" napadno, mi samo pokazuje koliko je njoj (njenoj firmi) stalo do mušterija, pa je povisila ton za notu više na lestvici kako bi bila uverljivija.

Ta namontiranost i penjanje uz tonalnu lestvicu ima i drugih, skrivenijih konotacija i sugestija – subliminal seduction, sve za musteriju. Naime, lestve, merdevine, se na Grčkom kažu klimax.
A naša ptica? Jedna vrsta golubice (Zenaida macrocour), dugacka oko 30cm sa sve dugim repom, proizvodi gugut ucestalosti od 445Hz, sto bi odgovaralo duzini od oko L= 19.3cm. Gde se smesti toliki vokalni organ u tako malu pticu, za sada ostaje tajna. A ipak peva - Eppure canta!


 

 



Komentari (157)

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

skyspoter skyspoter 21:08 22.06.2007

pitanje

ako je n=2
x=a
y=b
z=c

sta dobijas?


jesen jesen 23:37 22.06.2007

Re: pitanje





a^2+b^2=c^2
jesen jesen 00:34 23.06.2007

Re: pitanje

....kvadrat nad hipotenuzom, to zna svako dete, jednak je kvadratima nad obe katete...
Jelica Greganović Jelica Greganović 14:22 23.06.2007

...jednak je

zbiru kvadrata nad obe katete...jedna od retkih matematičkih koju sam zahvaljujući Nušiću zapamtila. :)
jesen jesen 15:10 23.06.2007

Re: ...jednak je

..pa zbir se podrazumeva kada se kaze "kvadratima"....a lepse se rimuje...a secas se ono "pije vodu kao vo nezna sta je H2O"...
Goxy Goxy 21:16 22.06.2007

Samo nastavi ovako

ako dovoljno dugo bleneš u neku jednačinu, rešenje ti se samo nametne


Svako ima svoju verziju "Infinite Monkey" teoreme :).

Ja cesto kazem (kada bas zelim da budem elokventam) kad me pitaju za neki profesionalni savet: "If you fuck long enough with it, you're going to get it".

Ako ni zbog cega, ono imas preporuku za "bizmis" analogiju.
bauer bauer 21:22 22.06.2007

Sarski,

ja zavoleh matematiku uz tvoje postove, pa krenuh malo da vezbam i otkrih da 39 nije prost broj. 39:3=13. idi brzo popravi dok nisu svi videli :)
Dule Nedeljković Dule Nedeljković 21:32 22.06.2007

Re: Sarski,

ali nije deljiv sa 9, ili nisam dobro ukapirao.
Majstorski ti ovo radis, nsarski. Bravo
zokster zokster 21:37 22.06.2007

Re: Sarski,

A je l' moguce da se izracuna velicina organa ako uzme da peva npr. Hercule Poirot?
nikson nikson 21:37 22.06.2007

Re: Sarski,

ne jer ne sme da bude deljiv ni sa jednim brojem osim sa 1 ili sa samim sobom. to je prost broj
bauer bauer 21:40 22.06.2007

Dule,

Prost broj je ceo broj koji je deljiv samo sa jedinicom i samim sobom, bez ostatka.

ne pazis na casu :) 39 je deljiv sa 3. nego, siguran sam da je bio typo.
nsarski nsarski 21:44 22.06.2007

Re: Sarski,

tacno, pogresio sam u brzini: 37 je prost broj! Hvala:))
nsarski nsarski 21:47 22.06.2007

Re: Sarski,

Haaahaaa,
pa moze, sto da ne:))
zokster zokster 21:56 22.06.2007

Re: Sarski,

Mesje Poaro, hocete li biti ljubazni da nam otpevate neku ariju, po vasem izboru?
Goxy Goxy 21:59 22.06.2007

Re: Sarski,

Zokster se hvalio kako je visok 198 cm. U njega bi onda mogao da se smesti povelik organ. Pitanje za nsarskog: sa tolikim organom u sebi, koliki bi onda zokster imao raspon akusticnih frekvencija?
zokster zokster 22:12 22.06.2007

Re: Sarski,

Ali ne kaludjerski sitno, glasom škopca kao Goxy.
jesen jesen 23:24 22.06.2007

Re: Sarski,

..pa nigde i ne pise da je 39 prost broj....
nikson nikson 23:29 22.06.2007

Re: Sarski,

pisalo je, sada je ispravljeno
Mirko Kontic Mirko Kontic 01:18 23.06.2007

Re: Sarski,

Iznenadio bi se Zoxtere:)))
Mirko Kontic Mirko Kontic 01:18 23.06.2007

Re: Sarski,

Iznenadio bi se Zoxtere:)))
MilutinM MilutinM 21:47 22.06.2007

Nauka

J... te Bog, kako sve ovo sto je nekada bilo na dohvat ruke i lako prihvatljivo danas izgleda komplikovano. Koliko god se nsarski potrudio da uprosti!
MMMila MMMila 07:09 23.06.2007

Re: Nauka

Ne pcuj Boga...

Ne uprostava nsarski, samo koketira sa matematikom i muzikom:) Uspesno!
Trinidad Tobagović Trinidad Tobagović 22:08 22.06.2007

interesantna matematika

Nikad je baš nisam gotivio ali ako se predstavi u gotivnoj formi onda i matematika postaje gotivna (Trinidadova teorema)
Jelica Greganović Jelica Greganović 22:12 22.06.2007

Nsarski,

učitelju, skidam ti kapu. Divim ti se...ja pravo da ti kažem, uprkos pretpostavkama predaka, koji su se matematikom bavili i istu obožavali, kao i uprkos svima koji su probali da mi dokažu da je dotična mnogo fina i ne ujeda, tu nikako ne mogu da se nađem. Prosto radim na drugi zamajac. Posle više od tri broja, pažnja mi odluta. Nikako ne mogu da shvatim mog žmua koji na plaži čita tabele i one skale...ne bi bilo gore kazne za mene, od čitanja pomenutog. Ja u stvari ni ne razumem da to može da se čita...
Ovo ptice i glasovi to sam pročitala i baš se slažem i lepo mi...a ovo rešavanje i to...ne ljuti se, ali ja tvoju planetu cenim i divim joj se, ali ne mogu na njoj da dišem. A u školama, čim su biologije počele da postaju hemije, a ptice brojevi, ja sam odustajala...:)
nsarski nsarski 00:28 23.06.2007

Re: Nsarski,

Jelice,
na tvojoj sam strani. Ja mislio biologija je kuce, mace. Al' djavola, promenila se vremena. Da li znas da postoji matematicki nacin da se izracuna "clutch size" (broj jaja u gnezdu), pa broj lavova koji idu u lov na antilopu, pa kako crv izlazi iz rupe. Cista mateatika, veruj mi.
Najiskrenije ti kazem, ja u to ne verujem previse. OK, dobro je kao model, ali to nije to. Ne, stvarno. Ima rezultata koji su tacni, ali nebitni. Meni ovi deluju tako. Ovo za pesmu ptica je primer.
Pa, yebote, ja ujutru ustanem, cujem kardinala, i pocnem da zvizdim njihovu pesmu. Al se uzbude! Pa mi pevaju, pa klikcu, pa lete i oblecu, misle njihov sam. Lepota bozija.

Ovaj

ili neki rodjak mi se svako jutro udvara - eto doneo poklone. Eeeeej, pa gde je tu matis? Nigde, i ne treba da bude.
nsarski nsarski 00:36 23.06.2007

Re: Nsarski,

Evo konkretno rad:
Entropy balance of white-tailed deer during a winter night.
Tacna referenca
koja razmatra kako belorepa srna prezivi hladnu zimsku noc u Japanu. Strasno. I divno, istovremeno. Zivotinje su ih sve nadmudrile.
MMMila MMMila 07:13 23.06.2007

Re: Jelice...,

...ako pokusas da prihvatis da matematika NIJE tri broja (tacnije najmanje je bilo koliko brojeva) vec pomalo filozofija, pomalo poezija, pomalo muzika, najvise zivot... onda bi mozda drugacije mislila:)
Ali avaj, kad je trebalo napraviti prve (matematicke) korake, neko je rekao da je to bljak! Drugi je prihvatio, trecem je bilo lakse da se odmah opredeli da ce na drustveni smer a nastavniku je bila mala plata.

(Eh, nije ni mojima bila veca plata, al su imali dushicu! A imam i sestru matematicarku!)
Mariška Mariška 08:47 23.06.2007

Re: matematika i jezik

Pitagorejci su cak i neke "trivijalne stvari" poput muzevnosti, zenstvenosti, braka povezivali sa celim brojevima ili relacijama izmedju istih. Celi brojevi su samo za njih i postojali.
Poznato je i da su bili prvi koji su napravili vezu izmedju matematike, tj. brojeva i muzike.

BTW, iako sam inclined to humanistickim naukama, smatram da je jezik takodje u neraskidivoj vezi sa matematikom. Tako, naprimer, imate ljude kojima pri ucenju stranih jezika vise lezi konverzacija, sticanje vokabulara, dok sa druge strane imate one koje su "magovi" za gramatiku, za koju licno smatram da je cista primenjena matematika, samo u malo drugacijem okruzenju.

Keep on blogging in the free world!



slavica i branko slavica i branko 12:27 23.06.2007

Re: matematika i jezik

Kod starih Grka postoji veza izmedju matematike, muzike i duse ( kakva muzika takva i dusa ).

Muzika i matematika. Koren ove veze lezi u mitu o Orfeju. Ho muzikos je bozanski svirac lire.Njegova muzika ima moc, misticnu snagu! Na moci i misteriji ove muzike nice orficki kult.
Pitagora se potpisuje Orfejevim imenom.
Motivacija za bavljenjem filozofijom ( matematikom i muzikom) je zapravo nastojanje oko sopstvenog spasenja, tj. spoznaje samog sebe ( imperativ: gnothi sauthon), a time i kosmosa.
Pitagora je ucenik miletske matematicke skole koja je ustanovila i negovala matematiku na "grcki nacin", tj. nisu se samo bavili uocavanjem nekih odnosa i njihovom primenom, vec su se pitali- a zasto. Bavljenje matematikom postaje theoria ( posmatranje, umno posmatranje-Nsarski ce to razumeti ), a ne zanat.
Grci vole meru, simetriju i proporcionalnost. Treba razumeti da u to vreme, nije bilo jednostavno povezati meru sa brojem.Nama to danas izgleda prosto intuitivno.
Pitagora trazio elemente i tajnu muzike.
Ispitivao zvukove zategnute zice koristeci Talesovu teoremu.
Pitagoreska skola je bila i religiozna sekta.Otkrica do kojih su dolazili su ih uznosila do bozanskih visina.
Cinilo im se da ce doci do spoznaje poretka celog kosmosa, i da tajna tog poretka lezi u broju.
Kosmos na starogrckom znaci ukras, od Pitagore rec kosmos poprima znacenje uredjenog sveta. Ko sagledava kosmos, taj uredjeni svet, samim tim uredjuje i samog sebe, usaglasava se sa tim poretkom.

Pitagorejsko bratstvo je na izvestan nacin i novina u grckom shvatanju zajednice.
Osnovna jedinica zajednice je fila, pleme, ciji su clanovi u krvnom srodstvu.
Sta drzi na okupu clanove Pitagorejskog bratstva? Prijateljstvo utemeljeno na ljubavi prema mathemi ( nauk, znanje). Mathematikos-onaj koji poucava mathemi. Pitagora prvi profesor.Njegova mathema ( nauk) lezi u spoznaji da u osnovi sveta lezi mera, sklad koji se mogu izraziti brojem.Pitagora za sebe kaze da je ljubitelj mudrosti. tj. bavi se nastojanjem da shvati, razume i spozna ( filo-sofos).Ovo nastojanje je strast, ljubav i nije bas svojstveno ljudima jer vole mala zadovoljstva.
Muzika je sklad.Kao i kosmos. Spoznaja tajne tog sklada vodi spoznaji vlastite duse i njenom uzdignucu.
Istrazivanje kosmosa, muzike ( u kojima lezi sklad, zakonomernost, harmonija, analogija, cija tajna lezi u broju), vezano za oplemenjivanje vlastite duse.
Teznja Pitagorejaca je homilia-tj. zajednistvo, povezivanje sa vecitim stvarima, otkrivanje tajne zivljenja.
Covek moze biti i po prirodi rob i to kad nije svoj, kad nije slobodan, a put ka oslobadjanju je spoznaja.
Tacno je da su Pitagorejci povezivali "neke ( ali ne trivijalne ) stvari" sa brojevima.
To je Pitagorina lista 10 suprotnosti: ograniceno-neograniceno,neparno-parno,jedno-mnostvo,musko-zensko,nepromenljivo-promenljivo,svetlo-tamno,
dobro-zlo,kvadratno-pravougaono,pravo-krivo,desno-levo.
Kao primeri i derivati ovih osnovnih suprotnosti tumaceni su i brak, pravda, homoseksualna ljubav itd.( pitagorejska simbola i akusmata)


nsarski nsarski 12:47 23.06.2007

Re: matematika i jezik

Hijerarhijski odnos, kakav je postojao medju Pitagorejcima u bratstvu, je, veruje se, inspirisao Platona da osmisli svoju "Republiku". I, naravno, muzika sfera nam daje direktnu vezu izmedju matematike i muzike. Mislim da su ove ideje imale veliki uticaj kasnije na Keplera, koji je bio mistik svoje vrste, jer je on takodje pokusavao da objasni Suncev sistem uz pomoc "Platonic solids" (regularni poliedri). Zapravo, Pitagorejci su imali veliki uticaj na mnoge numeroloske pokrete i ideje..
slavica i branko slavica i branko 13:48 23.06.2007

Re: matematika i jezik


Mistici Renesansnog doba su bili ljudi "na dobrom tragu".U njih se uliva i iz njih izliva misao koja se grana, koja ima buducnost.Samo zbog mnostva ogranicenja njihova misao nije nasla svoj puni izrazaj, nema jasnocu i preciznost naucnog jezika, ali takva, kakva jeste, radila je na njegovom utemeljenju.
Tesko je bilo, da parafraziram Miljkovica, pticu dovesti do reci.
Jelica Greganović Jelica Greganović 14:26 23.06.2007

Pa, to ti

kažem, čim mi neko pticu izrazi brojevima, ja je zamišljam sa bar šest nogu i dve glave viška...
Nego, moj Žmu je tako slatko se smešeći čitao tvoj blog, da je to čudo jedno...ja ne kapiram kako čovek može da oseća takvu bliskost i nežnost prema brojevima. Kaže da će u idućem životu da studira matematiku...
I još nešto, kaže moj Žmu da se prosti brojevi, o kojima pišeš, na slovenačkom zovu "pra-števila", odnosno pra-brojevi, kao praistorijski...zanimljivo, zar ne?
MMMila MMMila 17:08 23.06.2007

Re:pra brojevi

...je poznat izraz! Koristi se, znci nisu spec slovenackog jezika!
Jelice, pokusaj da nadjes knjigu Euklidov prozor, napisao Leonard Mlodinov. Mozda promenis misljenje o troglavoj ali zvanoj matematika (doduse, samo o geometriji, ali treba poceti odnekle).
Jelica Greganović Jelica Greganović 09:11 24.06.2007

Pravo da

ti kažem nisam znala, pa sam očito otkrila rupu na saksiji, ali meni je zvučalo lepo, pa sam zato napisala.
Jelica Greganović Jelica Greganović 13:41 24.06.2007

MMMila

ne sumnjam da je možda i tako...ne mislim ja da je matematika tri broja, ali ja ne volim brojeve. Volim reči.
gordanac gordanac 13:54 24.06.2007

21 13 18 3 1 za…

11 7 13 10 27 7,

27 1 20 10 27 7 ! :))
MMMila MMMila 21:20 24.06.2007

Re: MMMila

Jelica Greganović
ali ja ne volim brojeve. Volim reči.


A sta su reci? Nacina izrazavanja? Simbolicno predstavljanje misli?

I brojevi (iako su oni to najmanje, a svi ostali simboli kojih je puna matematika mnogo vise) su isto to: nacin izrazavanja, simbolicno predstavljanje misli, ideja, dokaza, pretpostavki, zakljucaka... Samo je pitanje kome odgovara da koristi "reci", a kome "brojeve"!

Pisem ti ovo sa smeskom zardjalog ljubitelja matematike a aktivnog fanatika reci:)
gordanac gordanac 21:55 24.06.2007

samo za jelicu g. :))

...o jezicima davnih dana:



p.s napisala sam ti "šifrovanu" poruku da ti omilim brojke, ali - nije uspelo! Zato ovo sećanje na razne jezike...
Miroljub Miroljub 22:51 22.06.2007

Matematicko dokazivanje

Postoji jos jedan efikasan metod koji se u matematici koristi.

Tvrdnja:

Kvadratni koren iz dva se ne moze napisati kao kolicnik dva prirodna broja (prirodni brojevi su nula i celi pozitivni brojevi).

Kako dokazati ili opovrci ovu tvrdnju ?
Opovrci bi bilo lako, dovoljno je naci dva takva broja ciji kolicnik je jednak kvadratnom korenu iz dva.
Ali dokazati ?
Ma za koliko brojeva pokazali da njihov kolicnik nije jednak kvadratnom korenu iz dva, uvek postoji sumnja da mi mozda samo nismo upotrebili dva prava i da je obzirom da prirodnih brojeva ima beskonacno mnogo, mozda ipak postoji mogucnost da kolicnik neka dva jeste jednak kvadratnom korenu iz dva.

Na prvi pogled zadatak izgleda neizvodiv. Mi nikada necemo biti u stanju da ispitamo sve moguce kombinacije svih prirodnih brojeva.
Pa kako onda mozemo govoriti o dokazivanju ? I to matematickom.
Kako mozemo davati tvrdnju koja vazi i za one slucajeve koje necemo moci da ispitamo ?
Zar se tu ne radi o "obicnoj" indukciji ? O pretpostavci, verovanju, mozda sa dobrim razlogom, ali ipak verovanju ?
U krajnjoj liniji, jeste to zaista verovanje, jer niko nikada nece ispitati sve moguce kombinacije svih prirodnih brojeva, ali za razliku od "verovanja sa dobrim razlogom" (poput prirodnih zakona, recimo Njutnovih), ovo je verovanje jer "mora da se veruje".

Evo i zasto:

Pretpostavimo da postoje takva dva broja ciji kolicnik je jednak kvadratnom korenu iz dva.
Neka su to brojevi A i B. Imamo znaci jedan razlomak A / B.
Zatim, ukoliko je moguce skratimo te brojeve sve dok ne dobijemo neke brojeve P i Q koji se vise ne mogu skratiti.
(Na primer: Ako bi A i B bili 9 i 6, tada bi se razlomak 9 / 6 mogao skratiti i postati 3 / 2. Brojevi 3 i 2 ne sadrze vise neki zajednicki broj kojim bi se oba mogla podeliti i razlomak 3 / 2 se ne moze skratiti vise.)

Imamo znaci po pretpostavci razlomak:
P / Q koji treba da bude jednak kvadratnom korenu iz 2.
Znamo da se razlomak P / Q ne moze vise skratiti, sto znaci da sigurno nemamo slucaj da su i P i Q parni brojevi, jer kada bi bili, tada bi smo ih mogli skratiti sa 2. Jedan od njih sme da bude paran broj, ali oba ne.

Jedna jednacina se moze zamisliti kao klackalica koja je u ravnotezi jer se sa obe strane nalazi jednaka tezina.
Klackalica ce i dalje biti u ravnotezi ukoliko se izvrse podjednake izmene sa obe strane. Ako sa obe strane dodamo neku tezinu ili oduzmemo neku tezinu. Vazno je samo da ono sto radimo levo, radimo i desno.
Isto pravilo vazi i za jednacine. Mozemo dodavati, oduzimati, deliti mnoziti, ali podjednako i sa leve i sa desne strane jednacine.

Tako cemo jednacini:

P / Q = kvadratni koren iz dva

da kvadriramo i levu i desnu stranu i dobicemo:

(P na kvadrat) / (Q na kvadrat) = 2

(kada kvadratni koren iz dva kvadriramo dobijamo 2)

Zatim cemo obe strane jednacine da pomnozimo sa (Q na kvadrat) i dobicemo:

(P na kvadrat) = 2 * (Q na kvadrat)

To znaci da (P na kvadrat) mora da bude paran broj, nezavisno od toga kakav je broj Q paran ili neparan.
Ako je (P na kvadrat) paran broj, tada i P mora da bude paran broj, jer samo kvadrat parnog broja daje paran broj.

Obzirom da je P paran broj, znaci da ga mozemo pisati u obliku P = 2 * T (gde je T neki drugi prirodan broj).

Sada jednacina glasi:

(2 * T) pa na kvadrat = 2 * (Q na kvadrat)

Kada kvadriramo to sto stoji u zagradi (kvadrat proizvoda jednak je proizvodu kvadrata) dobijemo:

4 * (T na kvadrat) = 2 * (Q na kvadrat)

Mozemo obe strane jednacine da podelimo sa 2 i dobijemo:

2 * (T na kvadrat) = (Q na kvadrat)

Kao i malo pre sto smo rekli za P, sada mozemo reci i za Q.
(Q na kvadrat) je paran broj, sto znaci da je Q paran broj.

Posli smo znaci od pretpostavke da postoji kolicnik dva prirodna broja koji je jednak kvadratnom korenu iz dva, sto je znacilo da se taj kolicnik moze izraziti pomocu dva prirodna broja P i Q koji nisu oba parna. Ta pretpostavka nas je dovela do zakljucka da oba broja i P i Q jesu parna, sto nam govori da nam je pretpostavka bila pogresna.

Znaci:

"Ako je tacno da postoje dva broja P i Q koja nisu oba parna ciji je kolicnik jednak kvadratnom korenu iz dva, tada brojevi P i Q jesu oba parna."

- Ako nisu parni onda jesu parni.

Obzirom da mi ne mozemo istovremeno da tvrdimo da nesto i jeste i da nije, da prirodni brojevi P i Q ne mogu istovremeno i da ne budu oba parna i da budu oba parna, i obzirom da moraju da budu ili da ne budu, mi MORAMO da zakljucimo da nam je pretpostavka bila pogresna.

Istina, mi necemo nikada ispitati sve moguce kolicnike svih prirodnih brojeva i tako direktno dokazati da ne postoji takva kombinacija prirodnih brojeva ciji kolicnik daje vrednost kvadratnog korena iz dva, ali i pored toga mi MORAMO da verujemo da takva kombinacija ne postoji jer nas pretpostavka postojanja takve kombinacije dovodi u kontradikciju.

To zakljucivanje na osnovu kontradikcije je jedan od metoda koji se koristi za dokazivanje u matematici.

U principu i naucni "dokazi" rade na tom principu.
Eksperimentom se zeli na slican nacin proveriti da li se dolazi do kontradicije u odnosu na pretpostavljeni prirodni zakon.
Ukoliko do konradikcije ne dodje (kao sto smo mi dosli), tada nismo oborili formulaciju tog prirodnog zakona. Nismo ga zaista ni dokazali, samo mozemo reci da imamo jos jedan dobar razlog da verujemo u njega.
Ukoliko do kontradikcije dodje, tada MORAMO da verujemo da formulacija prirodnog zakona nije korektna jer prirodan zakon, ne moze istovremeno i da vazi i da ne vazi.

Za razliku od oblasti koje se pozivaju na nepogresivost i kojima su neistinite tvrdnje beskorisne, nauka i posebno matematika, upravo zahvaljujuci tvrdnjama za koje se moze pokazati da su neistinite, dolazi do novih i sigurnih saznanja. O tome bi se moglo jos puno govoriti.

Istinski problem je kada se ne moze utvrditi da li je neka tvrdnja istinita ili nije.
Neistinita tvrdnja (pod uslovom da se njena neistinitost moze dokazati) je gotovo jednako vredna kao i istinita.
Samo ju jos treba okrenuti naopacke.

Izvinjavam se zbog obimnog komentara.
Mislim da je veoma vazno skrenuti paznju na to da se dokazivanje istinitosti moze vrsiti na vise nacina i da se dokazi cesto nalaze upravo tamo gde ih se na prvi pogled najmanje ocekuje.


















vucko vucko 08:15 26.06.2007

Nerazumni brojevi

E, ovo je bio verovatno jedan od zemljotresnih detalja iz istorije matematike - činjenica da kvadratni koren iz dva nije racionalan broj - sjajno što ste ga se setili.

Meni je mnogo simpatičan i onaj dokaz da racionalnih brojeva ima isto koliko i prirodnih. Sećam se da je u jednom od davnih brojeva časopisa "Računari" taj dokaz bio parafraziran kao nagradni problem: "U svemiru ima besnonačno hotela, svaki sa beskonačno soba. Jednog dana, zbog nerentabilnosti, zatvore se svi ti hoteli osim jednog. Napravite uputstvo za goste u koju sobu treba da odu u tom preostalom hotelu"

Svođenje na protivrečnost je sigurno jedan od jako popularnih načina dokazivanja. Veoma popularna je svakako i metoda matematičke indukcije, gde se dokazuje da je za svako n (prirodan broj, 1,2,3,4...) ispunjena neka tvrdnja tako što se pokaže trivijalno da je tvrdnja ispunjena za vrednost 1, a onda dokaže da ako je tvrdnja ispunjena za neku vrednost k, da onda mora važiti i za k+1.

Ono što je zaista fascinantno kod matematike i uopšte nauke (u poređenju sa umetnošću) je to "stajanje na ramenima divova" (kako je to rekao Njutn). Ti dokazi su kao lego kocke, koje prave sledeći korak u vis, čvrsta baza kojoj se može poređati sledeći "red cigala" - i tako sve u vis, do DVD-ova, deterdženata za sudove, mp3 plejera, bebi pelena, teflonskih tiganja, mobilnih telefona, pene za brijanje, aspirina, satelitskih navigatora, google earth.

Kakve veze ima Nikvist (Nyquist) sa CD plejerom? Kakve veze ima Galoa (Galois) sa malim katančićem koji se pojavi na dnu browsera kad se otvori homebanking sajt? Pa ima... to su ta ramena :)
dunjica dunjica 22:55 22.06.2007

Majke

primjetila sam da i majke, zapravo žene općenito, govore s djecom tim neprirodnim piskutavim glasom. Kao da se boje da će dijete rasti u strahu ako mu se obraćaju svojom prirodnom bojom glasa.
AlexDunja AlexDunja 23:31 22.06.2007

Re: Majke

ne sve,Duska:)))
jesen jesen 00:07 23.06.2007

Re: Majke, Dunjice..

..a da li si primetila da ljudi koji, na primer, ne znaju jezik slucajnog sagovornika vicu tj govore povisnim tonom u nadi da ce ih taj neko bolje razumeti...
Jelica Greganović Jelica Greganović 00:17 23.06.2007

Dunjice,

moja deca su onda dugo mislila da sam im otac...da ne govorimo o tome kako zabasiram sabajle, k'o prehlađeni L. Armstrong...
dunjica dunjica 08:20 23.06.2007

Re: Dunjice,

AlexDunja, Jelice, sad mi je lakše kad znam da nisam usamljena u svojoj "muci" ;-)
dunjica dunjica 08:25 23.06.2007

Re: Jesen,

hehehe, kako ne bih primjetila! Majka moje poznanice pri tome još kaže: "Gledaj me u usta!", kao da će je tako bolje razumjeti.

Slično: u "mom" kafiću se znamo s vlasnikom već dugo i uvijek razmjenimo par riječi, nekad i više od par. Elem, skoro mi je bio otac u posjeti, odvali ga mi u taj kafić i pričali s njim Jezik, šta bi drugo. Gazda se tu zatekao, pitao koji jezik pričamo, čak divanio s mojim tatom na njemačkom. Međutim, od tada počeo sa mnom govoriti sporije i paziti na izgovor. Slang gotovo da izbacio iz rječnika kada sa mnom priča. Čudne neke percepcije...
dracena dracena 10:37 23.06.2007

Re: matematika i jezik

Slažem se da su matematika i jezici jako srodni i dodala bih da su po svoj prilici "smešteni" u istim zonama mozga. Paradoks je da se mladi ljudi često opredele za filologiju da ne bi učili matematiku, a tamo ih u zasedi ponovo čeka matematika, samo prerušena i maskirana do neprepoznavanja. Tek kad završe fakultet shvate da su sve vreme zapravo studirali vrstu matematike. :)
dunjica dunjica 18:24 23.06.2007

Re: matematika i jezik

I ja tako mislim, Dracena. Kada mi kazu da je njemacki tezak jezik, ne mogu to shvatiti. Svatko tko imalo ima pojma o matematici i matematickoj logici vrlo brzo i lako moze uci u sustinu ovog jezika. Mislim da je u njemackoj gramatici, te stvaranj komposituma (slozenica) to narocito izrazeno.
dracena dracena 06:13 25.06.2007

Re: matematika i jezik

Stručnjaci kažu da nemački jezik spada u visoko flektivne jezike, što znači da se mnogo reči menja dodavanjem nastavaka, za razliku od engleskog i još nekih jezika, naročito neindoevropskog porekla. S druge strane, nemački je jezik velike nauke i umentosti, što ga čini leksički veoma razvijenim i bogatim. I konačno, njime govori blizu 200 miliona ljudi u Evropi koji žive u više država, pa postoji i dosta dijalekata. Ovo sve čini da nemački nije lako učiti. (Namerno ne kažem naučiti, jer mislim da se jezici i strani i maternji uče ceo život.) Ipak, slažem se sa tobom da nije ni tako strašno, ni neizvodljivo kako neki ljudi pričaju. Izvodjenje reči je u nemačkom jednostavno, tu se slažem sa tobom. Da, pomalo liči na matematiku, jer ima nekoliko pravila i nekoliko formula, pa navali. U nemačkom je po mom mišljenju najteže savladati rodove imenica. Za razliku od našeg, gde automatski po nastavku znamo kog je roda neka imenica: ona koja se završava na -a je ženskog, ona na suglasnik je muškog, a ona na -o ili -e je srednjeg, plus nekoliko desetina izuzetaka koje naučiš napamet i završio si sa rodovima imenica. U nemačkom ne postoji takva razvrstanost, pa se rodovi uče "na mišiće" - memorisanjem. Plus različite deklinacije u okviru svakog roda itd. - puno posla. Ali se trud višestruko isplati: lep, prebogat jezik na kom je napisano mnogo vrhunskih naučnih i umetničkih dela. .


yu1bcd yu1bcd 11:20 25.06.2007

Re: matematika i jezik

Maternji jezik uvek ima "samo" nekoliko izuzetaka, a na stranom to treba nauciti! Nemacki jeste pravilniji ali je engleska gramatika intuitivnija. Ja sam na faksu pravovremeno presao sa nemackog na engleski. Neophodan za racunarske znanosti, a zahvaljujuci internetu upotrebljiv za sve ostalo! Bas kao matematika
dracena dracena 12:08 25.06.2007

Re: matematika i jezik

Ma ne, stvarno su npr. imenice ženskog roda na suglasnik (kokoš, krv) ili -o (so) u srpskom izuzetak. Ima još onih turskog porekla na -ija (sudija, bekrija itd.) koje imaju dvojni rod... sve u svemu, stvarno samo nekoliko desetina izuzetaka. Znam da to uopšte nije problem jer sam sticajem okolnosti radila srpski sa nekim strancima i to su lako savladavali. Priča sa srpskim glagolima je nešto komplikovanija.
A u nemačkom ima nekih pravila za odredjivanje roda, ali ona ne važe ni za četvrtinu imenica, pa sve ostale moraju da se uče napamet. I u nemačkom, kao i u svakom jeziku ima dosta izuzetaka, ali ovo memorisanje roda imenica ne spada u izuzetke, nego je to pravilo. Uostalom, i srpski je visoko flektivan jezik i ne mislim da je lak. Nego sam samo iznela šta je tačno teško u nemačkom.
Ne znam šta to tačno znači intuitivan jezik. Mislim da se svaki jezik uči intuitivno do 11. godine života. Engleski jeste lakši, jer ima mnogo manje promena (imenice se ne menjaju osim oblka za genitiv i množinu dodavanjem -s, glagoli ograničeno, pridevi uopšte, brojevi uopšte, zamenice samo lične, prilozi uopšte). Zbog toga se relativno lako uči, bar do nivoa "da te ceo svet razume", univerzalno je upotrebljiv u svim oblastima, ali ni jedan meni poznati jezik nije tako dobar za nauku kao nemački. Mislim da je svaku nauku najlakše naučiti na nemačkom. Ne samo da je savršeno precizan, nego je sve što se kaže na nemačkom nekako jasno kao dan. Još nisam utvrdila u čemu je štos. Čim ukapiram, objaviću ovde na blogu. :)

Sličnost izmedju jezika i matematike se po meni sastoji u "zagonetanju i odgonetanju", po formulama koje učiš, pa posle dalje primenjuješ, po "izvodjenju dokaza", po tome što rezultat mora da "cakne"... A povrh svega, za jezik i matematiku, siguran sam, zadužen je isti centar u mozgu. Ne znam šta o tome kaže nauka, ali meni to praksa potvrdila mnogo puta.
dunjica dunjica 15:49 25.06.2007

Re: njemacki

Bojim se, Dracena, da si ucinila njemacki tezim no sto on doista jeste. Posebno to s rodovima imenica. Sto se tice rodova, tu je prilicno jasno sto je zenskog roda; sve (uz minimalni broj izuzetaka) sa zavrsecima na -e, -tät, ion, -in, ... Zavrseci na -mus oznacavaju uvijek muski rod, npr. Sto se tice ostalog, nije nista teze nego u ostalim jezicima germanske ili slavenske grupe jezika.

Sto se deklinacije imenica tice, njemacki poznaje 4 padeza i u tom smislu je laksi od naseg jezika. Cak smatram da je deklinacija promjenom odredjenih clanova laksa nego promjenom sufiksa, kao sto je slucaj s nasim jezikom.

Da napomenem jos da je Nijemcima najteze shvatiti i usvojiti razliku izmedju svrsenih i nesvrsenih oblika glagola u nasem jeziku. To je specificnost slavenskih (ne znam da li svih, ali svakako ruskog) i hebrejskog jezika.

Ovo je tema koja me zanima i kojom se djelimicno bavim, tako da cu rado posvetiti jedan post istoj.

U mladosti sam se ustezala, imala veliki otpor prema njemackom. Danas je to jezik prema kojem imam posebno blizak, gotovo ljubavni odnos. U mnogim podrucjima mi je lakse izraziti se na jeziku koji sam relativno kasno pocela uciti, ali vec usvojila kao svoj.
dracena dracena 16:15 25.06.2007

Re: njemacki

Bojim se, Dracena, da si ucinila njemacki tezim no sto on doista jeste.

Ajoj, nisam valjda! Neću onda više ni reč o nemačkom. :))) Osim na tvom blogu na tu temu kad ga postaviš, pa me istresi iz g... za sve što zabrljam. :)))))

Ipak još samo ovo. Kao što rekoh, na nemačkom mi je sve jasnije nego na srpskom. Ne da ga bolje znam, nego je takav jezik. Primer: kad dobijem neki višejezički formular, uvek čitam samo nemački, čak i ako ima i srpski i engl. i drugi jezici. Stručnu literaturu ako mogu da biram izmedju srpske i nemačke verzije, uvek izaberem nemačku. Preporučujem svakom ko ima mogućnosti da odmah počne ili nastavi da ga uči. Užasno je koristan.
yu1bcd yu1bcd 16:25 25.06.2007

Re: njemacki

U maternjem jeziku je sve lako pa sam se ja cudio problemima sa padezima Madjara u tehnickoj skoli u Pancevu. A sada meni pravi probleme 5. padez i posle 29 godina boravka u dezeli. Kasno poceo uciti

Za precizno izrazavanje navodno je najbolji jezik diplomatije francuski. Nemacki je u tehnici istorijskog znacaja posle WW-II. Mene je odusevljavao nemackim pokojni Zoran Djindjic na Austrijskoj TV krajem 1980-ih. Kasnije je brzo naucio i engleski po potrebi.
dunjica dunjica 16:30 25.06.2007

Re: Dracena

ne budi tako stroga prema sebi, a za njemacki smo se vec dogovorile ;-))
dracena dracena 16:40 25.06.2007

Re: njemacki

Samo mi ne pominji 5. padež u srpskom. Živim u Srbiji, a gde god se može pogrešiti, pogrešim. Neka omraza vlada izmedju mene i 5. padeža. I taman kad pomislim da sam utrefila, imam šta da čujem, onaj kome sam se obratila se uvredio. Već imam komplekse od 5. padeža. :)))

E, da. Divni Z. Djindjić. Ništa mu nije bilo teško, sve je od sebe davao... Sve je znao i sve video bolje od svih nas ostalih...
dunjica dunjica 17:05 25.06.2007

Re: 5. padež

Jednostavno: ooooj, dracenA! ;-)
dracena dracena 17:38 25.06.2007

Re: 5. padež

Neki me ovde zovu Draceno, pa šta je onda ispravno? Pa onda care ili caru? Ma još zajedničke imenice i kako-tako, ali vlastite baš nikako. A da, kod imena ljudi mi ne idu naročito ni ostali padeži!
Hajde da promenimo temu, jer ću u ovom nastupu iskrenosti na kraju priznati da zapravo i ne znam srpski, nego mi je maternji svahili, samo sam se jedno vreme lažno predstavljala. :))))
automat automat 12:46 05.07.2007

srpskey

mali exe file koji se lako nalazi na netu i još lakše instalira i koristi.

pa bih molio sve koji se bave srpskim i ostalim jezicima da ga iskoriste.

biće nam lakše da čitamo.

hvala, pozdrav
Miroljub Miroljub 23:29 22.06.2007

Teorija Galoa

NSarski

Da li se teorija Galoa moze pribliziti "obicnom smrtniku" ?

Taj covek je takodje bio genije i verujem da bi sirokom auditorijumu bilo zanimljivo saznati nesto o njemu.
Medjutim, ne manje interesantno bi bilo pokusati pribliziti i njegova rad.

Ne mislim samo da se informativno prikaze problematika kojom se on bavio, vec i da se objasne njegove ideje.






nsarski nsarski 23:45 22.06.2007

Re: Teorija Galoa

Ih, moze, ali ne znam kako najbolje da smislim tekst.
Prica o Galois teoriji je prica of high romance, dvoboju, misteriji, i iznenadnom otkricu. Inace, ne znajuci za Galois-ovu teoriju, Ramanujan je godinama uzaludno pokusavao da nadje resenje jednacina 5 stepena.
Naravno, nije znao za resive klase


to jest, rano je umro :((. Ali je bio dovoljno pametan da digne ruke. Znas kako kazu, ako jednom ne uspes, pokusaj ponovo, ako drugi put ne uspes - digni ruke, nema smisla da pravis budalu od sebe:))
Vodzo Modzo Vodzo Modzo 00:01 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

Nsarski, nemoguce, pa jel' vidite da je sve prekrizeno, i to dva puta! Mora da je neka greska... :)
Miroljub Miroljub 00:34 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

Resavanje jednacine petog stepena.
))

Ja sam, na pocetku studija slucajno naisao na nesto sto mi se ucinilo kao mogucnost da dodjem do resenja jednacine bilo kod stepena. Tada nisam imao pojma o mogucnosti/nemogucnosti resenja jednacina stepena viseg od 4. Imao sam gimnazijsko znanje iz matematike.
To je lepo radilo kod kvadratne jednacine, pa sam pokusao da resim i kubnu.
Toliko sam se upettljao u to, da sam batalio sve drugo.
Pokusao sam da razgovaram sa nekim profesorima iz matematike sa mog fakulteta (masinstvo) ali su me svi gledali u cudu, sta koji djavo gubim vreme sa trazenjem resenja kubne jednacine, kada to mogu da nadjem u bilo kom udzbeniku.
Meni je medjutim bilo stalo da izvedem sam to resenje i jedno godinu dana sam se petljao sa time. Imao sam bezbroj ideja od koje su mnoge bile lepe, ali ni jedna upotrebiva.
Onda sam jednoga dana ukapirao da ja u stvari nikada necu izvesti resenje te kubne jednacine i strasno sam se iznenadio sto me ta misao nije uzbudila. Shvatio sam da mi u stvari uopste nije vazno to sto nikada necu pronaci to resenje i da cu i dalje da nastavim da radim na tome jer mi je lepo da to radim.
Samom sebi sam se cudio. Do tada sam uvek mislio da radim da bi dosao do resenja, a u medjuvremenu se taj motiv sasvim izgubio.
Onda jednoga dana, kao da mi je neko rekao: Dosta si se zabavljao sa time i prestao sam to da radim.
Imao sam pun ormar papira na kojima su bili zabelezeni svi moji neuspesi, ali nisam bio ni malo razocaran time, niti sam imao osecaj da sam izgubio vreme.
Tih godinu dana "izbivanja" iz svakodnevice mi je dalo priliku da neke stvari vidim drugacije, kada "sam se vratio".
Razmisljajuci sta da radim sa tim stvarima, odlucio sam da ih dam nekom matematicaru. Jos uvek sam verovao da je ideja koju imam dobra, samo sto ja nemam sposobnost da ju realizujem.
Otisao sam do PMF-a kod jednog profesora i ispricao mu celu pricu. Ponudio sam mu to sto sam radio, jer ja ocito nisam sposoban sa time nesto korisno da napravim.
On mi je rekao da moji profesori koji su se cudili sto "otkrivam Ameriku" mozda sami nikada nista nisu otkrili, da mogu da dodjem kod njega kada zelim sa nekim da razgovaram, ali da ipak ja sam moram da zavrsim sve to. Rekao mi je da ce mi ta idjea mozda pomoci da resim kubnu jednacinu, i mozda jednacinu cetvrtog stepena, ali petog necu moci, jer je dokazano da se ona ne moze resiti.
Tako sam ipak nastavio rad na tome, ne tako intenzivno kao ranije, povremeno odlazeci kod njega.
Nismo razgovarali o tom konkretnom problemu, taj zadatak sam morao sam da resim, ali mi je pricao o matematici uopste, dobijao sam jednu drugaciju pretstavu o tom svetu.
Nasao sam resenje kubne jednacine posle mnogo peripetija i tek posto sam "pronasao" neke stvari koje sam propustio da naucim jer nisam isao na predavanja (kao recimo da postoje tri kubna korena. To zvuci smesno, ali kada covek ne zna, treba se setiti.), pokazao mu i on je rekao da pokusam sa jednacinom cetvrtog stepena.
I nju sam posle nekog vremena resio i otisao da mu pokazem, ali on je u medjuvremenu otisao u Ameriku.
Posle sam ja otisao u inostranstvo i vise ga nikada nisam video.

I danas, kada se setim svega toga nikako ne mislim da sam radeci na trazenju resenja kubne jednacine nesto izgubio. Naprotiv. Ne bih to iskustvo menjao ni za sta. Mada sam sve vreme dozivaljavao neuspehe i mada sam na kraju dosao do necega sto sam mogao procitati u bilo kom udzbeniku, secanje na to moje "istrazivanje" uvek u meni izaziva najlepse emocije.

Pokusavao sam tada da saznam nesto o teoriji Galoa, ali nisam mogao da razumem o cemu se radi.

Matematika mi vise izgleda nekako stepenasta, nego kao strma ravan.
Potreno je povremeno praviti skokove, menjati nacin misljenja, sto nije ni malo jednostavno.
Dovoljno je da ti je neka ideja nejasna i ne mozes da nastavis dalje.
Neko ti priblizi tu jednu ideju koja ti je nedostajal i kao da ti je upalio svetlo. Odjednom ti se stvari same razjasnjavaju.







Mirko Kontic Mirko Kontic 01:42 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

" (Sa ponosom mogu da kažem da sam razvio metod, totalno nepriznat u matematici, za rešavanje nekih jednačina. Ja ga zovem “metod upornog posmatranja”, i neke moje kolege su ga uspešno primenile u svojim problemima: ako dovoljno dugo bleneš u neku jednačinu, rešenje ti se samo nametne.)



U psihologiji postoji koncept “reaktivne formacije”. To je kad vas neko, na primer, ne voli, ali ne želi (ne sme) to da pokaže, pa se onda pretvara da vas baš voli. Baš voli. Eto.


Ova sekretarica, sto svojim svojim cvrkutom pokusava da deluje ljubazno i "manje" napadno, mi samo pokazuje koliko je njoj (njenoj firmi) stalo do mušterija, pa je povisila ton za notu više na lestvici kako bi bila uverljivija."





a ima i treca, - sigurno nisi uspeo, i sigurno si ispao budala ali ako treci put zapocnes to isto, ili treci put oprostis, ili treci put das sansu nekome, radis po unutrasnjem kodu koji se poklapa u svim svojim medjusobnim referencijama, sa logosom kosmosa. ako dakle jos jednom uradis povrh dva puta, postoji mogucnost da utvrdis da si sam postao nemoguc, tj. da je neko definitvno toliko i tako neobjasnjivo glup, da mozes da se osetis pravom, da si bez grizhe savesti a propos njega/nje.

ja vas nsarski ne poznajem. nemam blage predstave kako izgledate a opet osecam sto sta iz vaseg nacina pisanja i obracanja sto me izuzetno raduje, iako sumnjam da bismo se nas dvojica ikada voleli i medjusobno uvazavali u razini obostranog zadovoljstva.
na osnovu koje frekfencije sam izneo dati zakljucak, da ne kazem Hypotesis?:))
gde nam izmiche ta klauzula, kojom smo ustanovli iole neki zakon, utvrdili da se neki "brojevi" ponavljaju a neke cifre same od sebe belezhe, tj. ukazuju nam se, cim nam prilike za osecaj to dopuste?

priznajem da sam se negde u vezi sa necim sto sam napisao, nasao uvredjenim s vase strane, nekim vasim komentarom koji sam tada nasao zajedljivim, sto je meni suvisno u svakom smislu, jer nikada ne pisem tako da nekoga vredjam. a sada mi ovim vasim fantazmagoricnim kombinovanjem konstrukcija, dajete nadu ( otkud pa ta frekfencija! ) da BLOG moze ( po ) stati ljudski CREATORIAM MUNDI, a onda i Nadu, da se mozemo pronaci, MI, koji se mozhemo zavoleti, MI, koji prijajuci jedni drugima, MI, znamo ozhiveti, MI, koji je medju tonovima, naj/naj utisaniji, od kada nam se civilizacija definise, prosvetljenom.

padam na glas, hocu reci zvuk. po glasu znam kad neko lazhe, po glasu znam kad govori istinu. takodje znam, bez da zamisljam ili vizualizujem, po zvuku, kad neko pre nego nagoni se misliti, oseca sto sta, sto bi me u buducnosti dalo tako iznervirati, da svasta uradim, sto ni sam ne bih voleo da cujem ili vidim, da je nekom uradjeno. I zato tako u startu, prekidam Komunikacije, ako to, Osetim.
muzicari koji pojma nemaju s matematikom, kao vi, i slicni vama/nama, autoimatski znaju, bez dusevne im potrebe da spoznaju zasto ili kako, da komponuju takve stvari i prozivedu takve osecaje, da se moras SMRZNUTI, pre nego pokusas da definises sta si cuo. Kako oni dospevaju do tih zakona, nsarski? Kako se oni njima sluze, kad mi definisemo da oni Znaju da Kazhu, sto-sta, bez ijedne reci?


Ma'atematicari ce jedini znati da oslobode filozofiju stege navika, ako pronadju konstantu Navike, kao takve.

Moj Creatoriam Mundi je postavio pitanje, posle vaseg teksta, : Za sta moze posluziti covek po nadimku "nsarski"?
da bih ja celovito neizborijvo jedan, odgovorio: ne znam jos...ali mi je simpa!

Tri su coveka na ovom mestu koja me tu i tamo, jos uvek drzhe, da posecujem Blog i da zamisli(te) procitam usput.
Sad ste i vi tu,medju ta tri.
nsarski nsarski 03:58 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

Miroljube, izvini tek sam sada nasao tvoj komentar.
Galois teorija kaze da resenje jednacina 5 stepena ne moze da se nadje u obliku radikala (racunske radnje, koreni, itd.), Medjutim resenje jednacina viseg stepena moze da se izrazi u obliku hipergeometrijskih funkcija vise promenljivih koristeci Segalove modularne funkcije. Znas kako se kaze - postoji 5 matematickih operacija: sabiranje, oduzimanje, mnozenje, deljenje, i modularne forme. Koliko znam, zatvoreno resenje ne postoji, ali mislim da treba ici u pravcu McDonaldsovih i Jack polynomials da bi se dobilo nesto smisljeno. To je moje misljenje.
Miroljub Miroljub 09:07 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

Nsarski

To bi bili "pocetak i kraj".
A sta je sa onim izmedju ?

Sada i ja ponavljam Micino pitanje:
A kako je on znao da je bas tako ?
Ili zbog cega je pretpostavio da je bas tako ?

Gamski je napisao jednu knjizicu o gravitaciji u kojoj je pokusao da prikaze to izmedju, sto kao po pravilu fali sirokoj citalackoj publici da razume zbog cega su Galileo, Kepler, Njutn, Ajnstajn radili bas tako kako su radili.
Moze se jednostavno opisati do kojih rezultata je dosao Galileo, ali prema tim rezultatima se tesko moze imati kriticki stav ukoliko se ne poznaju eksperimenti koje je on vrsio i koji su ga i naveli da pretpostavi to sto je pretpostavio. Bez tih informacija, izgleda kao da je ono sto je on radio bio jednostavno plod njegove maste, da mu se iz cista mira cefnulo da pomisli to sto je pomislio.
Ili kod atomske teorije.
Vise od dve hiljade godina postoji ideja atoma, a onda, kao iz cista mira, pocinje ta ideja u nauci sve cesce da se upotrebljava dok na kraju ne postane nesto sto se podrazumeva samo po sebi.
Otvoris danas udzbenik u kome se deci uvodi prica o atomu, a tamo kao da pricaju o kuci sa prozorima, bez ikakvog uvoda. Samo jedno "tras" to je tako.
Da je to samo tako ne bi mnogi veliki umovi prolazili pored te ideje.
Nesto se moralo dogoditi sto je ljude kazimo "nateralo" da se ozbiljno pozabave tim konceptom.
Ti dogadjaji, najcesce nisu poznati siroj citalackoj publici.
Svi znaju da je Galileo kotrljao neke kugle, ali da opisu konkretno kakve veze to kotrljanje ima sa njegovim rezultatima do kojih je dosao, moci ce daleko manji broj ljudi.
Steta je da je tako, jer radi se o jednostavnim stvarima. Svaki prosecan covek moze bez ikakvih problema da razume o cemu se radi samo kada mu se to lepo objasni (pod uslovom da ga interesuje naravno) i tada rad Galilea vidi u sasvim drugom svetlu.

Kakve je kugle kotrljao Galoa ?
Moze li se to opisati koristeci se nivoom znanja koji je bio u njegovo vreme ?
Sigurno je u medjuvremeno pronadjen nacin da se sve to efikasnije pretstavi i ispita, ali sve to njemu nije bilo poznato i pretpostavljam da onda nije ni neophodno da bi se pretstavio njegov rad.








dunjica dunjica 09:48 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

Miroljube, ovo što pišeš o razlozima i načinima kako se dolazi do rezultata, pa čak i - ajd da to nazovem kopernikanskih prevrata, je veoma, veoma važno. Valjda zato što smo orjentirani na ciljeve, a ne procese, dolazi do toga da ne razumijemo stvari koje su, u stvari, lake za razumijevanje. Tu mislim na nas laike, ili kako kažeš, širu čitalačku publiku.
Miroljub Miroljub 12:17 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

Dunjice

Na nasem jeziku na zalost nema bas tako puno tekstova na internetu koji bi nama, siroj citalackoj publici, rad najvecih umova nase civilizacije ucinili zaista pristupacnim. Ono sto smo ucili u skoli je ispod svake kritike. Ne samo da je ispusteno poslednjih sto godina, jer ni profesori sami nisu bili upuceni u te stvari, vec ni ono od ranije nije objasnjeno kako treba. Kada sam kasnije pronalazio tekstove pravih znalaca, tek onda sam ukapirao da su od nas u skolama napravili intelektualne bogalje. Retki su ljudi koji su zaista naucili nesto i to pre svega zahvaljujuci licnom trudu ili podrsci nekoga od familije ili prijatelja.
Zato je za nas, laike, izuzetno vredno razgovarati sa ljudima kao sto su Snarski ili Milan Cirkovic, koji ne samo da znaju nego su i voljni to svoje znanje da podele sa nama.
Puno zavisi i od nas. Mislim da ne treba da se ustrucavamo da ih pitamo bilo sta i da ne treba da se zadovoljavamo odgovorima koji su njima mozda razumljivi, jer se puno stvari koje su njima poznate podrazumevaju same po sebi, ali nama nisu, jer imamo neke rupe u znanju ili smo jednostavno nesto od ranije pogresno razumeli.
Oni naravno ne mogu da znaju sta mi znamo/ne znamo i mi moramo da im pomognemo da nam pomognu.
Inace ce njihov trud da bude manje uspesan.
Mi danas nemamo na zalost dovoljno Pelagica (Obilica koliko hoces, makar deklarativnih), koji imaju zelju da rade na prosirenju i produbljenju znanja svojih sunarodnika.
Mislim da bi podizanjem nivoa znanja i nacina razmisljanja kod sire citalacke publike, mnoge politicke partije ubrzo nestale sa scene.
Samo nekoliko lekcija iz logike, o znacenju i znacaju pojma "argument" bi ljude pomerilo vekovima unapred.
Na zalost, za veliki broj ljudi, tragicno veliki broj, sve ono cudesno i lepo sto se desavalo tokom ljudske civilizacije, kao da se nije ni desavalo.
Oni prolaze kroz zivot slepi za mnoge lepe stvari koje se desavaju oko njih.
bilo koja stvar iz nase okoline, ima neku svoju pricu, koja kada se prati, govori o necijem trudu, koji nepravedno biva zasenjen nasom kalkulacijom o korisnosti.
Najbanalniji primer je automobil, ispod cije haube se nalazi fifligranski rad velikog broja ljudi.
Razlika izmedju najboljeg i najskupljeg automobila i najjeftinijeg je zanemariva (a ta nam je najcesce jedino poznata) je u odnosu na razliku "neautomobil" - automobil.
Resavanje pogona, upravljanja, koliko tu samo ima prelepih detalja.
A mi najcesce jedino sto umemo jeste da pritiskamo papucice i menjamo brzine.










ervetor ervetor 13:38 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

Razlika izmedju najboljeg i najskupljeg automobila i najjeftinijeg je zanemariva (a ta nam je najcesce jedino poznata) je u odnosu na razliku "neautomobil" - automobil.


Jeste.
ja ovo stalno pricam ljudima ( naravno na raznoraznim drugim primerima) ali me nikako ne razumeju.

U sustini, mozemo i to svesti na matematiku, jer je razlika izmedju 2 i 1 mnogo manja nego izmedju 1 i 0.
Izmedju 0 i 1 razlika je u postojanju i moze biti i vremenska, sustinska odnosno pojmovna.
Dakle, matematika moze biti samo racun ali ako se razume i primeni zapravo i sama jeste filozofija.
slavica i branko slavica i branko 15:22 23.06.2007

Re: Teorija Galoa

Postoji filozofska disciplina koja se zove filozofija matematike!
dejanr dejanr 16:10 24.06.2007

Re: Teorija Galoa

Miroljub
Pa sam pokusao da resim i kubnu.Toliko sam se upettljao u to, da sam batalio sve drugo... Nasao sam resenje kubne jednacine posle mnogo peripetija i tek posto sam "pronasao" neke stvari koje sam propustio da naucim jer nisam isao na predavanja (kao recimo da postoje tri kubna korena. To zvuci smesno, ali kada covek ne zna, treba se setiti.), pokazao mu i on je rekao da pokusam sa jednacinom cetvrtog stepena.I nju sam posle nekog vremena resio


Baš sam sa zadovoljstvom čitao ovu priču. Što je najlepše, setio sam se da sam se i ja u nešto slično upetljao, još u gimnaziji, kada sam čitao tekst o dvoboju neka dva matematičara u kome je jedan uspeo da pobedi jer je pronašao rešenje jednačine trećeg stepena, a drugi to nije znao pa nije mogao da rešava probleme koje mu je ovaj prvi zadavao. I tu reko' da vidim da li bih ja uspeo da rešim jednačinu trećeg stepena. Isprva zaista nije išlo, šta god probaš ne stigneš nigde. No (možda je to bila greška) porazgovaram sa jednim godinu dana starijim prijateljem u Matematičkoj, i on mi kaže "to ti je bre prosto, samo transformiši koeficijente tako da se izgubi onaj uz x^2, posle je lako.

Dakle treba od x^3+ax^2+bx+c=0 pronaći koeficijente p i q tako da rešenja ove osnovne jednačine budu ista kao rešenja od x^3+px+q=0. Krenem od kraja pa prvo probam da rešim tu jednačinu bez koeficijenta uz x^2, i uspe bukvalno za sat vremena. Posle sam se par dana mučio sa traženjem p i q, i najzad je i to uspelo. Međutim, da mi neko nije dao tu ideju, Bog zna koliko bih se patio sa jednačinom. Možda bi prošao tako kao ti :)

E sad da li bih danas uspeo ponovo da to rešim ko će ga znati, zaboravilo se puno toga, ali eto, zapamtio sam ideju.
Miroljub Miroljub 22:13 24.06.2007

Re: Teorija Galoa

Dejane

Mene je navukla jedna bezazlena igrica.
Primetio sam da:

x^2-2x+3 mogu pisati u obliku:

(x-1)^2 + 1^2 -2*1 +3

Ili generalizovano:

a*x^2 + b*x + c mogu pisati u obliku:
a*(x - p)^2 + a*p^2 + b*p +c

gde je p "resenje izvodne jednacine" kako sam ja to zvao

Izvod od
a*x^2 + b*x + c
je
2*a*x + b

Znaci:

2*a*p + b = 0

p = -b/2a

To sto se radilo o izvodu me je privuklo.
Pitao sam se kakve veze ima izvod i pokusavao to da primenim na kubnu jednacinu.
Obzirom da je izvod polinoma trecega stepena polinom drugom stepena, a kvadratna jednacina ima dva resenja, pretpostavio sam da moram da upotrebim ta oba resenja, da saberem i podelim sa dva.

a*x^3 + b*x ^2 + cx + d

trebalo bi da bude jednako pola od:

a*(x - p1)^3 + a*p1^3 + b*p1^2 +c*p 1+ d +
a*(x - p2)^3 + a*p2^3 + b*p2^2 +c*p 2+ d

gde su p1 i p2 resenja jednacine:

3*a*x^2 + 2*b*x + c = 0

I tako redom za polinome stepena 4, 5 ...n

Ubrzo sam video da situacija nije bas tako jednostavna kako se meni u prvi mah ucinilo.
Ja sam se nadao da cu pomocu resenja "izvodne jednacine" moci da nadjem resenje glavne jednacine, odnosno, da cu uspevati problem uvek da svedem za jedan stepen nize.
To nije islo tako.
Vec kod kubne jednacine nije se radilo samo o "izvodnoj jednacini" vec o dve razlicite kvadratne jednacine.
Morao sam da promenim izraz u:

a*(x - q1)^3 + a*p1^3 + b*p1^2 +c*p 1+ d +
a*(x - q2)^3 + a*p2^3 + b*p2^2 +c*p 2+ d

Radilo se o dve kvadratne jednacine koje imaju resenja (q1 i q2) i (p1 i p2).

I tako je to krenulo.
Nisam ni slutio u sta se upustam.
Zivi pesak.





nsarski nsarski 22:58 24.06.2007

Re: Teorija Galoa

Samo vas gledam:)
Da ne kazem "uporno posmatram". Moracu jedan kraci napis o Galois teoriji da negde prosvercujem. A ne mogu da vam kazem koliko mi je drago, ljudi, da pisete o svojim uzaludnim pokusajima. Pa, od toga se sastoji istrazivenje i razumevanje, i ucenje. Svaka vam cast!
Pozdrav.
N.
dejanr dejanr 23:24 24.06.2007

Re: Teorija Galoa

Ja sam se nadao da cu pomocu resenja "izvodne jednacine" moci da nadjem resenje glavne jednacine, odnosno, da cu uspevati problem uvek da svedem za jedan stepen nize.


Ideja je jako dobra, a u njoj je posebno zanimljivo što je rešenje jednačine trećeg stepena matematika iz 16. veka, a izvodi i diferencijali matematika 17. veka. Dakle, moglo se stvarno desiti da niko nije primetio nov način da se reši već rešen problem, koji bi onda indukcijom doveo do rešanja polinoma N-tog stepena. Ali, nažalost, dokazano je da se u opštem slučaju jednačine 5, 6 itd stepena ne mogu rešiti.

A moram da priznam da je to deo matematike koji mi nikad nije bio jasan - nisam nikad video taj dokaz, i sasvim mi je nerazumljevo zašto bi postojala takva granica kao 4. Ajde da razumem da ni jedna jednačina ne može da se reši, da može prvog stepena a ne može dalje, ali zašto bi moglo 2, 3 i 4 a ne može 5 i više? Šta je to tako magično u broju 5? Trebalo bi jednom da pogledam taj dokaz, ali ko zna koliko bi za to trebalo vremena...

BTW pogledah koja su ona dvojica matematičara što su držala dvoboj oko jednačine trećeg stepena... Evo šta piše u Vikipedi:

In the early 16th century, the Italian mathematician Scipione del Ferro (1465-1526) found a method for solving a class of cubic equations, namely those of the form x^3 + mx = n. In fact, all cubic equations can be reduced to this form if we allow m and n to be negative, but negative numbers were not known at that time. Del Ferro kept his achievement secret until just before his death, when he told his student Antonio Fiore about it.

In 1530, Niccolò Tartaglia (1500-1557) received two problems in cubic equations from Zuanne da Coi and announced that he could solve them. He was soon challenged by Fiore, which led to a famous contest between the two. Each contestant had to put up a certain amount of money and to propose a number of problems for his rival to solve. Whoever solved more problems within 30 days would get all the money.

Tartaglia received questions in the form x^3 + mx = n, for which he had worked out a general method. Fiore received questions in the form x^3 + mx2 = n, which proved to be too difficult for him to solve, and Tartaglia won the contest.

Later, Tartaglia was persuaded by Gerolamo Cardano (1501-1576) to reveal his secret for solving cubic equations. Tartaglia did so only on the condition that Cardano would never reveal it. A few years later, Cardano learned about Ferro's prior work and broke the promise by publishing Tartaglia's method in his book Ars Magna (1545) with credit given to Tartaglia. This led to another competition between Tartaglia and Cardano, for which the latter did not show up but was represented by his student Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari did better than Tartaglia in the competition, and Tartaglia lost both his prestige and income.

Cardano noticed that Tartaglia's method sometimes required him to extract the square root of a negative number. He even included a calculation with these complex numbers in Ars Magna, but he did not really understand it. Rafael Bombelli studied this issue in detail and is therefore often considered as the discoverer of complex numbers.
nsarski nsarski 23:37 24.06.2007

Re: Teorija Galoa

Metod resavanja kubne jednacine je pronasao Vieta. Ne postoji opsti nacin da red jednacine smanjis, a da nemas makar jedno resenje - to je posledica fundamentalne teoreme u algebri. Shvatas, ako je jednacina n-tog stepena, mora da ima n resenja. Ako joj smanjis stepen, tj. pokazes da je ekvivakentna nekoj jednacini nizeg (n-1) stepena, onda gde se izgubilo jedno resenja?! Moze da se smanji sledeci clan, pa je, tako, jednacina petog stepena resiva ako mozes da je napises u Bingovoj formulaciji, itd. Problem opsteg resenja je, u stvari, problem simetrija resenja. Jednacine 5 stepena imaju simetrije koje nisu geometrijske - tj. ne postoji geometrijska (prostorna) transformacija koja prebacuje resenja iz jednog u drugo. To je sustina Galois teorije: ta simetrija koju zadovoljavaju resenja.
Miroljub Miroljub 01:03 25.06.2007

Re: Teorija Galoa

Ako sam lepo razumeo svog profesora, razliciti ljudi su pronasli resenja za kubnu jednacinu i jednacinu cetvrtog stepena, (Mislio sam da su to Kardano i Ferari) i da je u onome sto radim novina to sto pokusavam da primenim isti princip za resavanje obe te jednacine, jer Kardano (ako je to bio on) nije uspeo da resi jednacinu cetvrtog stepena.
Dakako, ja sam mislio da cu princip moci primeniti na jednacinu bilo kog stepena i nije mi se ni malo dopadalo to ogranicenje.
Meni se izuzetno dopadalo to sto kada se polinom drugog stepena napise u kazimo "resivom obliku" (obliku pogodnom za resavanje)

a*(X+P)^2 + Q = 0

To Q nije nista drugo, nego vrednost izraza

a*x^2 + b*x + c

za x = - b / 2a

koji je resenje jednacine

2*a*x + b = 0

gde je 2*a*x + b prvi izvod od a*x^2 + b*x + c

Kod kvadratne jednacine je to P = b/2a

sto sam ja smatrao da je opet izvod samo sa znakom minus, sto u principu nije tacno, vec je samo slucajnost.

Kod kubne jednacine je situacija komplikovanija.

a*x^3 + b*x ^2 + cx + d ne moze se pisati (analogno kvadratnoj)

a*(X+P)^3 + Q = 0

gde bi Q imao vrednost kubne jednacine kada se u nju uvrsti resenje "izvodne jednacine" jer izvodna jednacina je kvadratna i ima dva resenja.

Moja pretpostavka je bila zato da pogodan oblik za resavanje mora da izgleda ovako:

a*(X+P1)^3 + Q1 = 0
a*(X+P2)^3 + Q2 = 0

Da zbir ta dva izraza daje 2*(a*x^3 + b*x ^2 + cx + d)

P1 i P2 je resenje neke kvadratne jednacine, a Q1 i Q2 se dobijaju po istom principu kao i Q kod kvadratne.
Prvo se nadje izvod od

a*x^3 + b*x ^2 + cx + d

Zatim se nadju resenja te "izvodne jednacine" kako sam ju ja zvao.

3*a*x^2 + 2* b*x + c = 0

Neka su to T1 i T2

Tada je:

Q1 = a*T1^3 + b*T1 ^2 + cT1 + d

a

Q2 = a*T2^3 + b*T2 ^2 + cT2 + d

Proverio sam i bilo je zaista tako.
Vise me nista nije moglo ubediti da se radi o slucajnosti kod uvrstavanja izvoda u Q1 i Q2.

Mogao sam pomocu tog "podesnog nacina zapisivanja" kubne jednacine da izvedem obrasce za resvanje kvadratne jednacine.
Nadao sam se da cu pomocu "podesnog naciba zapisivanja" jednacine cetvrtog stepena doci do obrasca za resavanje kubne jednacine i tako redom.

To medjutim nije bilo tako jednostavno kako sam pretpostavljao.
Interesantno je, da ma kakvu ideju da sam imao o tome kako bih to mogao ostvariti, uvek sam uspevao da ostvarim tu ideju, ali se redovno pokazivalo da je moja pretpostavka pogresna, odnosno da me ostvarenje ideje nije dovodilo do resenja.

Znaci ovako:
"Kada bih samo uspeo da.... tada bih resio kubnu jednacinu"
I onda pokusavam da uspem to ....
Uspem to ....
Ali to me ne dovodi do resenja.

Do resenja sam dosao tek kada sam poceo vise da razmisljam o onom delu u zagradi koje sam nazvao "resenje neke jednacine stepena za jedan manji"

Konkretno kod podesnog oblika zapisivanja jednacine cetvrtog stepena, koji treba da me dovede do resenja kubne jednacine i koji analogno dosadasnoj prici glasi:

a*(X+P1)^4 + Q1
a*(X+P2)^4 + Q2
a*(X+P3)^4 + Q3

P1, P2 i P3 su resenja neke kubne jednacine.
Suma ta tri izraza daje trostruku vrednost polinoma cetvrtog stepena.
P1 P2 i P3 sam uspeo da pronadjem tek kada sam dosao na ideju "cistih korenova" kako sam ja to zvao.

Resenja kvadratne jednacine se mogu pisati u obliku

A + B i A - B

+B i -B su kvadratni koreni iz B^2
To sam nazivao "cistim korenima"

Pretpostavio sam da kod P1, P2 i P3 osim cistih kvadratnih korena moraju da figurisu i cisti kubni koreni

Resenja bi bila znaci:

P1 = A + B + C1
P2 = A - B + C2
P3 = A + C3

Gde su C1, C2 i C3 cisti kubni koreni iz nekog C^3

Problem je bio sto ja nisam uspevao da nadjem koja su to jos dva kubna korena iz recimo 8.
Znao sam da kvadratna korena ima 2 (plus i minus) da cetvrta korena ima 4 (plus, minus, plus i , minus i) ali osim broja 2 nije mi padalo na pamet ni jedno drugo resenje za kubni koren iz 8. Samo sam bio uveren da moraju jos dva da postoje. Nisu negativni (nije -2), nisu imaginarni (nije 2i).
Pomislio sam da su mozda kompleksni, ali sam tu ideju odbacio jer u tom slucaju bih imao dve nepoznate realnu i imaginarnu, sto je tacno, a samo jednu jednacinu, sto je u principu tacno, ali prakticno netacno, jer imam i dodatnu jednacinu da kada se kompleksan broj digne na kub njegov imaginarni deo (u slucaju kubnog korena iz 8) mora biti jednak nuli.
Posle nekog lutanja ipak sam se dosetio toga i pronasao preostale kubne korenove.
Tada sam mogao i da izvedem P1 P2 i P3

Isti postupak sam primenio i na resavanje jednacine cetvrtog stepena.

Dalje nisam pokusavao.


Planirao sam bio da ispitam vezu tih jednacina cija resenja su mi omogucavala da polinome ispisujem u podesnijem obliku i da proverim da li ce se izraz van zagrade uvek dobijati pomocu resenja izvodne jednacine, ali nisam to nikada uradio.

Jos uvek ne znam da li je to sa izvodom bila slucajnost koja mi je omogucila da istina metodom mladog majmuna, ali ipak, resim te dve jednacine, ili u svemu tome ima neka pravilnost.














hoochie coochie man hoochie coochie man 23:31 22.06.2007

konacno da saznam

gde je ovde greska?

a2-a2=a(a-a)=(a-a)(a+a)

ako je ovo u redu onda:

a2-a2=a2-a2

a(a-a)=(a-a)(a+a)

ako se (a-a) sa leve i desne strane skrati dobije se:

a=a+a

ako se uzme za a=1 onda je

1=1+1
1=2

*a2 je "a na kvadrat", ovde izgleda ne funkcionise ono ctrl+shift++=

stalno trazim gresku i ne vidim je.
nsarski nsarski 23:33 22.06.2007

Re: konacno da saznam

Pa, greska je u tome sto ne smes da delis sa nulom ( (a-a)=0).
hoochie coochie man hoochie coochie man 23:39 22.06.2007

Re: konacno da saznam

HVALA!

A mene ucili da delenje sa nulom "samo" nema smisla (ali se sme raditi, kao i sto mnoge druge besmislene stvari radimo iako ne bismo smeli :))
Olga Medenica Olga Medenica 23:44 22.06.2007

nsarski

ura!

mada kad razmislim, kako si krenuo mogao si da podjes od Aristotela.
nsarski nsarski 23:48 22.06.2007

Re: nsarski

Haaaaaaaaahaa,
jedan nas psihijatar (nacionalno-etnicke provenijencije) je napisao rad o smehu. Tako naslovljen: "O smehu". I pocinje rad recima:
"Bicu kratak. Poci cu od Aristotela.".
Jel' ti to meni bajes?:)))))
Olga Medenica Olga Medenica 00:00 23.06.2007

Re: nsarski

Ko, ko, sta?
Posle bajanja nema kajanja.
Nebajala, samo onako, kazem.
Kad ucis ljude matis pod stare dane, racunam mali uvod iz Logike 'leba ne trazi.
Kao, ono, volim kod tebe da navrnem, nisam znala sta pametnije da kazem pa haj'd da nasrnem s' "konstruktivnim predlogom".
Eto.
Kad bas pitas.
By the way, rad o smehu koji pocinje ovom recenicom volela bih da, pa bar imam u rukama.
nsarski nsarski 00:03 23.06.2007

Re: nsarski

By the way, rad o smehu koji pocinje ovom recenicom volela bih da, pa bar imam u rukama.

Ne bi volela. Uglavnom Pu Pu Njegos.
kamichak kamichak 00:27 23.06.2007

Re: nsarski

nsarski
By the way, rad o smehu koji pocinje ovom recenicom volela bih da, pa bar imam u rukama.

Ne bi volela. Uglavnom Pu Pu Njegos.


bergsonov "laughter: an essay on the meaning of the comic" pocinje od aristotela.
doduse, ne tom recenicom
Olga Medenica Olga Medenica 01:05 23.06.2007

Re: nsarski

Njegosh?
Veeeery funny!
Ubismo se od smeha ko deca.
"Kad je vidju dje se smije mlada svijet mi se oko glave vrrrtiiii...."

Vrh je Venecija trip:

....kud dva zbore stogod na ulicu treci uvo izvrne te slusa...ili tako nesto..
Vi's da i sada pamtim. Znali napamet + lazirali naglasak.
Kako nije smesno? Nama bilo jako.
Druga decija cool lirika za cool dudes i za napamet + cela imitacija u gore-dole-glasovi stilu je bila Bohemian Rhapsody.
Pazi repertoar! Njegos i Queen. Decija posla.
Ali ostalo mi smesno do dan danas.
Olga Medenica Olga Medenica 01:08 23.06.2007

bergason i "laughter"!

Vidis,
u Srbiji
plagijator do plagijatora.
Lopovska posla.
ZokiZoki ZokiZoki 23:07 23.06.2007

Re: N J E G O S :

C A S U M E D A J O S N I K O N E P O P I S T O J E CA S O M Z U C I N E Z A G R C I

Vodzo Modzo Vodzo Modzo 23:50 22.06.2007

Superbo!

Gos'n nsarski, imate seriju sjajnih postova!!! Da ste izucavali botaniku, ne bi se ni najmanje iznenadio da vas vidim kako gacate po nekom blatu medju mangrovima, kao sto je to umeo moj omiljeni naucnik Belami da radi!!! :) Moracete da pravite neke naucne emisije, vec ako ne zelite da budete predsednik Srbije.

A za sekretarice je vrh - nije valjda da bolje podnosite one sa brcima i glasom k'o Sacmo? (pa kati rece, a sto da ti ne rece - Djes' jaaado, shjedi, oli popijes stogod?)
Jelica Greganović Jelica Greganović 00:21 23.06.2007

Odoh

da se obrijem...
Vodzo Modzo Vodzo Modzo 00:27 23.06.2007

Re: Odoh

Lako je Vama, eto za to postoji lek, a meni nema spasa, ja ne mogu da pustim brkove... ;-)
Jelica Greganović Jelica Greganović 17:28 24.06.2007

Nema veze,

pustite brkove na nogama, možda se i to priznaje.
Milan Novković Milan Novković 09:36 23.06.2007

Aktiva i pasiva

NŠarski,

Veza između
...Svi muzički instrumenti, osim udaraljki, proizvode zvuk oscilovanjem strune ili vazdušnog stuba....

i
Najniži zvuk zabeležen u pesmi tog vrapca je je oko 2325 Hz, što bi odgovaralo dužini stuba od oko 7.4cm otvorenog stuba - malo previse za pticu koja je dugacka oko 15cm sa sve repom. Ne zna se tačno kako on to izvodi.

Nije potpuna pošto implicira vrapca kao staticki sistem gde nešto povuče strunu pa je pusti da osciluje kao rezultat njene elastičnosti. Isto tako, imlicira se da je oktuženje u kojem se formira stub rigidno.

U stvari, živuljke su aktivni sistemi :) kao i slušalice iPoda ili sličnog, koje su malecke a umeju da proizvode sirok spektar, i mene repertoar zvukova kod raznih živuljki ne iznenađuje previše.

Naravno, osnove koje si ti izneo stoje, ali i u tako malom prostoru aktivnom kontrolom izvora zvuka, pa okoline koja definiše stub, može svašta da se uradi.
yu1bcd yu1bcd 11:35 23.06.2007

Re: Aktiva i pasiva

Upravo tako, autor je uzeo najjednostavniji teoretetski slucaj resonancije beskonacno tankog krutog predmeta. Radioamateri brzo naucimo da pravimo debele antene da bi efikasno pokrili sto veci opseg frekvencija. Ukoliko ne zelimo da su predugacke, onda ih malo namotamo u kalemce. Valjda i vrabac ima takvu neku strunu.

Za ljubitelje popularne nauke koja obuhvata matematiku, slikarstvo i muziku toplo preporucujem knjigu Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid od Douglas R. Hofstadter iz 1999 godine.

nsarski nsarski 11:50 23.06.2007

Re: Aktiva i pasiva

Da, ptice su u stanju da od otvorenog vazdusnog stuba naprave polu-otvoreni, i sve gradacije izmedju. Ovo je bila samo gruba aproksimacija, naravno.
Milan Novković Milan Novković 12:04 23.06.2007

Re: Aktiva i pasiva

...u stanju da ... naprave ...

Meni su interesantni, od ne-živog, [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Metamaterial][/url]metamaterijali.
Nešto što "vuče" osobine više iz strukture nego iz sastavnih delova, što bi čovek rekao za ogroman deo onoga što je rezultat kompleksnosti.

I dalje, ti metamaterijali imaju fantastične osobine, nemam pojma da li je neko napravio, npr, ogledalo od metamaterijala, ja bih preleteo kontinent da ga vidim.

A "obična" šačica jednostavnih pravila plus skoro čista matematika.
fixer fixer 10:25 23.06.2007

frka na geometriji:.


geometrija je pretežno pitanje forme i proporcije.. analogno latinskim formulama "pro arte" ili "pro muzika",
geometrija je ,kh kh, dakle, nauka "pro forma" ili "pro porcija"..
apaisad: u engleskoj i americi, gde još nije
uveden metrički sistem, umesto geometrije primenjuje se geojardija.. stoga se smatra da je usled razlike između metra i jarda - angloamerički pogled na svet uži! za oko 8cm po metru..
dracena dracena 10:44 23.06.2007

Lepo štivo za letnji vikend

Interesantno postavljeno i ispovezivano. Kao što sam već ranije rekla, nisam ni sumnjala da će tvoj blog biti u samom vrhu po zanimljivosti i originalnosti.
Samo napred! Što bi rekle moje demokrate.
Od mene preporuka.
shkomishkomi shkomishkomi 11:44 23.06.2007

U srbiji

U srbiji je najbolje primenjivati Deductio ad absurdum, tj da bi dokazali da je nesto moguce, dokazacemo da je suprotno nemoguce.
Milan Novković Milan Novković 11:45 23.06.2007

Thinking machine

NŠarski, što se tiče
Sa ponosom mogu da kažem da sam razvio metod, totalno nepriznat u matematici, za rešavanje nekih jednačina. Ja ga zovem “metod upornog posmatranja”, i neke moje kolege su ga uspešno primenile u svojim problemima: ako dovoljno dugo bleneš u neku jednačinu, rešenje ti se samo nametne.

Ja bih prvo svako "lako" u "oboriti je lako" stavio pod navodnike. Još jedan quote:
Ako nemamo drugu ideju, tada se pribegne metodu “pogadjanja” ili probanja

Još jednom se izvinjavam ako ponovljam ono što je veće rečeno - dobrih blogova sve više, a vremena sve manje.
Ove prve tvoje reči što sam naveo i same ukazuju na bogatstvo koje se krije ispod onog što mi brzopleto često nazovemo "pogađanje i probanje". većina teških dokaza ne bi nikad bili urađeni uz pomoć potpuno nasumičnog probanja. Moje radno ime za tvoje “metod upornog posmatranja” je "glavom kroz zid". Ok, čovek ponekad i razbije glavu ali:

- Ispod onoga što mi doživljavamo kao svest postoji formidable mašinerija. To nije ništa novo, i tako je "dugo bleneš" u stvari jaka, sa širokim propusnim opsegom, veza između problema i mašinerije :) Nešto kao "fiber optics", sa jedinom razliko što je "optics" ali niej "fiber" :)
- A ta formidable mašinerije je odlična u raznim disciplinama, uključujući i matematiku. Npr, nema veze da li ja volim matiš ili ne, ali ako mi daš fragment hiperbole ja umem da "ošacujem" dosta toga, do granice koja onda neminovno imlicira da sam ja, ili bilo ko drugi, slični su rezultati, fenomenalan u geometriji. Kako se igramo sa kompleksnijim patterns, npr tehnička analiza povrh time series u investicionom bankarstvu, mi vidimo da je čovek mnogo moćniji od moćnih kompjutera. Videti momente u grafu sa jako mnogo šuma, a što svaki čovek ume, je fantastično poznavanje, iako podsvesno, ne možemo svi da ga artikulišemo, raznorodnih i kompleksnih grana matematike.

Tako, dok ti "dugo bleneš" u problem ti ga samo naglašeno i kondenzovano propuštaš kroz tu svoju podsvesnu "skalameriju" :) (ako se ne ljutiš na šalama) ti ga, u stvari, razbijaš od procesiranja. A to što svi imamo silnu sličnu moć opšte namene - lepo, ali i sve ono što si ti radio u životu je u podsvesti ostavilo žestokog traga. Destiliran kvalitet. Ja mogu sad, npr, da zbog nekog neočekivanog povoda razmišljam da li da ofarbam kuću spolja na štrafte. I posle 15 minuta zaključim da je to glupost. Najverovatnije ništa od tog mog "intelektualnog" napora neće otići u podsvest pošto tu, najverovatnije, nema pametnih obrazaca.

Jednostavno, iako mi iracionalne gluposti često asociramo sa podscešću, ja mislim da je svest pravi mnogo više gluposti od podsvesti. Naravno, podsvest je moderira. Npr, moja omiljena super-mana kod ljudi je sebičnost. I to je sve što u nekom kontekstu može da dođe do svesti. A onda je svest ta koja konstruiše neku kompleksnu podvalu, prevaru ili slično. nema previše iracionalnog.

Ode ja u stranu, sorry, ko bi sad proveravao sve ovo što sam gore napisao :)
nsarski nsarski 12:04 23.06.2007

Re: Thinking machine

Ih, Milane, pa znam ja to. Metodom gledanja se kojesta moze videti:) I znam da vsakojaka masinerija se tu pokrece u pozadini koje covek nije svestan. Istini za volju, ja nemam patent na ime metode, samo za metodu. Naime, u vreme kad sam radio na tom problemu, jedan moj kolega - odlican tip - se mucio sa svojim problemom, isto resenjem neke jednacine. Par meseci posto sam svoj problem resio, on mi kaze da je i on uspeo da resi svoj. Ja ga pitam: "Pa, kako si resio ono cudo?". A on rece: "Well, basically, I used your method - by staring at it long enough!". Tako je nastala "stochastic resonance" koju je on otkrio.

Arhiva

   

Kategorije aktivne u poslednjih 7 dana