ili, matematika bajki
Pećina izgubljenih tajni
U seriji predavanja koje je Borhes održao na Harvardu šezdesetih godina, poznatih kao Norton Lectures, ovaj pisac “Lavirinta” je zastupao mišljenje da postoje samo dve vrste priča koje ljudi pričaju. To su priče o sudbini dva broda koji su zatečeni u nevremenu, na moru. Jedan brod se, posle uzbudljive borbe sa elementima, vrati u mirnu luku i ta priča se tako završi. Drugi brod nekako preživi havariju, i nastavlja dalje da plovi morima, od ostrva do ostrva, od oluje do oluje, bez završetka da putuje u potrazi za novim avanturama. Ta se priča nikad ne može ispričati u potpunosti, jer uvek ima novih mora i novih čuda o kojima volimo da čitamo.
Ovakav strukturni princip pripovedanja odražava staru koncepciju da se sve priče pišu ili kao Ilijada ili kao Odiseja, tj. da su sve životne drame koje nas zanimaju ili tragedije ili komedije, a prema poslednjig glasinama, da se sve bebe radjaju ili kao dečaci ili kao devojčice.
Posao pisca ovih drugih priča je da nam, kao Šeherezada, drži pažnju veštinom svoje naracije, i natera nas da okrećemo stranice knjige u želji da otkrijemo šta je bilo dalje, i dalje. Ovakav način pripovedanja ima neuništivu vitalnost i danas, od Tolkina do Hari Potera. A veština, ili umetnost, naracije je da se reči poredjaju zajedno na pravi način, jer, najzad, reči same po sebi ne znače ništa, i jedino što sa nekom preciznošću mogu da rade je da se drže jedna za drugu u dobrom poretku, slično kao što zlatna boja, na primer, nije slika, ali dobija posebnu sentimentalnu vrednost kada je na svojoj slici upotrebi Klimt. Kod ovakvog pripovedanja nikakvog značaja ne može imati neka tamo “stvarnost``, jer u toj stvarnosti ne postoje ni krilati konji, ni Aladini i čarobne lampe, ni Kiklopi, ni magicni prstenovi, a oni su ključni za razvoj priče. Ta “stvarnost” je, u suštini, samo ometajući faktor koji nas sprečava da u priču zaronimo sve dublje i dublje, i zato su deca često najpažljiviji čitaoci, jer je njihovo poimanje stvarnosti fluidno, kao kod Don Kihota. I, najposle, zašto se zadržati samo na krilatim konjima? Ako to priča zahteva, možemo izmaštati i nepostojeće prostore, i jezik, i pismo, i opet održati magiju pripovedanja kako je to učinio Tolkin.
A kad smo kod prostora...
Pre oko 30 godina, Benoit Mendelbrot je zainteresovao svet, i naučni i nenaučni, za fraktale – geometrijske objekte koji imaju neobičan oblik, pokazuju samosličnost (tj. na različitim dužinskim skalama se geometrijska forma beskrajno ponavlja), i liče nam na nešto iz boljih snova, kao da smo ih negde videli, a možda i nismo. Jedan takav fraktal, Mandelbrotov fraktal, je prikazan dole.
(Za upućene, ovaj objekat predstavlja skup tačaka u kompleksnoj ravni koje se beskonačno ponovljenom iteracijom z’ ->z^2+c ne preslikavaju u beskonačnost)
Razmišljajuci o ovom objektu, Penrose u svojoj knjizi “Carev novi um” postavlja pitanje da li je ovaj objekat realan. U kom smislu realan? Ploveći duž obala ovog skupa, kao onaj brod iz Borhesovog predavanja, mi nalazimo sve detaljnije strukture, koje jedna na drugu liče, ostrva i uvale i grebene, sve do sitnijih ostrva i uvala, i tako u beskrajon. Takav objekat, kao ni krilati konj, u stvarnosti ne postoji. A, opet, nacrtali smo ga. Onda, dakle, postoji? Penrose je mišljenja da su ovi objekti realan deo kosmosa, podjednako kao što je to broj pi, ili petougao, na primer. Na tom mestu u knjizi on sebe svrstava medju platoniste.
Poslednjih godina, pronadjeni su novi objekti, koji liče na Mandelbrotove fraktale, dobijaju se na matematički sličan način, i koji su zato nazvani Mandelbulbs. (Bulb znači nabubrenje, lukovica, a lightbulb je sijalica – dakle nešto što je deblje od ravni). U pitanju su geometrijski objekti koji se dobijaju iteracijom tačaka u 3 dimenzionom prostoru.
Za upućene – i ovo je jedina matematika koju ću upotrebiti – u pitanju je iterativno preslikavanje, koristeći standardne sferne koordinate tačke z (r, theta, phi), tako da z’ ->z^n+c, gde je z^n= {x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }. Stepen n u ovoj iteraciji može da se menja. Skup tačaka koje ovom procedurom ne iteriraju u beskonačnost se zove Mandelbulb, i jedan takav skup je prikazan na prvoj slici, i zove se Pećina izgubljenih tajni. Na ovaj način dobijemo nove prostore i nove predele koji izgledaju ovako:
Ovo je Božićni koralni greben
Pa Madelbrotova kičma
Sladoled sa Neptuna
A svi ovi predeli su deo jednog objekta (preslikavanje sa stepenom n=8) koji, iz daljine, izgleda ovako:
Da li ovi objekti postoje? Postoje podjednako realno kao što postoji magični ćilim ili Middle Earth. Imaginacija nema granica, ako me pratite. Naravno da postoje, negde preko sedam gora i sedam mora...
P.S. Ovo je komentar koji sam nameravao da napišem za blog o Tolkinu koji je postavila gordanac, ali sam ubrzo uvideo da je bolje da ga naslikam