Monti Hol, ili zašto kucamo na pogrešna vrata?

 Pokušavam ovih dana da napišem blog o jednom teškom matematičkom problemu, pa sam u predahu razmišljao o tome šta je u matematici ljudima intuitivno prihvatljivo, a šta ne. Naime, mi smo svakodnevno suočeni sa potrebom da pravimo procene, da u nedostatku kompletne informacije nagadjamo ishode dogadjaja, ili, naprosto da igramo na sreću. Takodje je poznato da smo u toj proceni verovatnoća prilično loši matematičari, ali se ipak oslanjamo na to svoje " intuitivno čulo", ponekad sa lošim posledicama po nas: procenjujemo da li ćemo imati dovoljno benzina da se odvezemo do prijatelja, da li smo dovoljno brzi da predjemo ulicu u gustom saobraćaju, da li će nas izdržati te klimave merdevine na koje moramo da se popnemo, itd.
Poznati "paradoks " koji odlično ilustruje ovu našu osobinu je Monti Hol problem, i o tome je ovaj blog. Matematicki, problem je veoma jednostavan, ali je mnogim ljudima psiholoski "tesko" da prihvate njegovo resenje.
Monti Hol problem je dobio ime po poznatom TV šou iz 60-ih godina, a koji se zvao Let's make a deal. Voditelj tog kviza-programa je bio Monti Hol, i tako je nastalo ime..
Taj deal, ili problem, se sastojao u sledećem.
Na scenu su postavljena troja vrata identičnog oblika veličine i boje. Takmičaru je rečeno da se iza samo jednih vrata nalazi vredna nagrada (automobil, na primer), a da iza preostalih vrata nema ničega. Takmičar ima mogućnost da bira jedna vrata koja će da se otvore i ako se iza tih vrata nalazi nagrada, takmičar je uzima.
Za sada, sve je jednostavno. Pošto postoje troja vrata, verovatnoća da se iza bilo kojih od njih nalazi nagrada je 1/3, pa takmičar ima upravo toliku šansu da pogodi prava vrata. Intuitivno potpuno jasno.
Medjutim, i ovde je obrt u celom problemu, Monti Hol pravi sledeću ponudu, ili deal. Naime, od preostalih dvojih vrata, on otvara jedna i pokazuje da iza njih nije nagrada. Primetimo da je Montiju to uvek moguće da uradi jer on zna iza kojih vrata je nagrada. I tada Monti pravi sledeći deal: on nudi takmičaru da (a) ili ostane sa svojim prvobitnim izborom, ili (b) promeni odluku i opredeli se za vrata koja Monti nije otvorio.
Monti Hol problem je sledeci: da li je takmičaru bolje (ima veću verovatnoću da pogodi gde je nagrada) ako ostane pri svom prvobitnom izboru, ili da promeni odluku i izabere ona jedna preostala, neotvorena, vrata?
Ja sam, neformalno, napravio mali eksperiment i ovaj problem postavio nekolicini prijatelja i poznanika.
Svi su listom odgovorili da je takmičaru sve jedno da li ostane pri svom prvobitnom izboru, ili promeni i odluči se da zameni vrata. Rezonovanje je bilo sledeće: kad Monti otvori jedna vrata i pokaže da iza njih nije nagrada, preostala su dvoja vrata - ona koja sam ja prvobitno izabrao, i ona koja Monti nije otvorio. Verovatnoća je jednaka (1/2) da se iza bilo kojih od njih nalazi nagrada, pa mi je sve jedno da li ostajem pri svom prvobitnom izboru ili ne. Verovatnoća da ću izabrati nagradu je ista.
Ovo je u potpunoj suprotnosti sa istinskom, matematičkom verovatnoćom nalaženja nagrade. Naime, ako promenim svoju prvobitnu odluku, moja verovatnoća da ću pogoditi prava vrata se udvostručuje!
Kad sam ovo rešenje saopštio svojim sagovornicima, oni su jednostavno odbili da u njega poveruju i neprestano su insistirali na sledećem mentalnom konstruktu: Gledaj, preostala su dvoja vrata. Iza jednih je nagrada, i sve jedno je koja vrata izaberem jer je verovatnoća ista i jednaka ½, zar ne? Pa, nije tako.
Evo tačnog rešenja.
Označimo vrata sa A, B, i C. Verovatnoće da se iza vrata A nalazi nagrada je p(A)=1/3, da se iza vrata B nalazi nagrada je p(B)=1/3, i da se iza vrata C nalazi nagrada je p(C)=1/3. Tako počinje problem, i ovo je sasvim jasno - podjednaka je verovatnoća da se iza bilo kojih od vrata A, B, ili C nalazi nagrada, i ta verovatnoća je 1/3. U ovom trenutku, nemamo nikakvu preferencu i nasumice biramo vrata, znajući da imamo šanse 1/3 da smo pogodili.
Recimo da smo izabrali vrata A. Verovatnoća da se iza njih nalazi nagrada je 1/3. Ovo takodje znači da je verovatnoća da se iza vrata B ili C nalazi nagrada je 2/3. Ako Monti otvori jedna od njih, recimo C, i pokaže da se iza njih ne nalazi nagrada, onda je verovatnoća da se iza preostalih, neotvorenih vrata B nalazi nalazi nagrada jednaka takodje 2/3. To sto je Monti otvorio vrata C ništa ne menja u našoj prvobitnoj verovatnoći, 1/3, da se nagrada nalazi iza vrata A koja smo prvo izabrali. Medjutim, sada je duplo verovatnije da se nagrada nalazi iza neotvorenih vrata B. Time je i nama bolje da zamenimo svoju prvobitnu odluku i opredelimo se za vrata B.
Sve ovo sto sam rekao moze se prikazati jednom slikom:

Na ovoj slici, vrata su oznacena sa #1, #2, i #3. Naša prvobitna odluka su vrata #1, preostala vrata su #2 i #3, i Monti otvara vrata #3 iza kojih se ne nalazi nagrada.

Menjajući našu odluku mi ne moramo da nadjemo nagradu, ali sebi dajemo duplo veću šansu da je nadjemo.
I ovo je tačno rešenja, verovali u njega ili ne.