Budućnost| Ekonomija| Istorija| Nauka

Leonardo Fibonacci MCLXXV-MCCL

nsarski RSS / 06.10.2010. u 07:13

 

fibonacci.jpg

Ove godine se navršava 835 godina od rodjenja Leonarda Fibonačija (rodjen 1175.) i  760 godina od njegove smrti (1250.), kao što piše u naslovu ovog bloga.  Na pomen ovog imena, mnogi će matematičar pomisliti na Fibonačijev niz, ili Zlatni Presek (Golden Ratio) koji su utkani u lepotu sveta oko nas (pogledati, za početak, moj blog Ala je lep ovaj svet). Medjutim, oni koji nisu baš zastranili sa Age of Aquarius ideologijom, setiće se, takodje, i da je Fibonači prvi čovek koji je uveo arapsku notaciju brojeva u Evropu i time promenio tehnologiju trgovine i računovodstva za uvek. Odatle do Volstrita mali je korak. Ipak, podjimo redom.

Leonardo Fibonacci (Filius Bonacci – sin iz porodice Bonacci), je veći deo svog obrazovanja stekao na severu Afrike. Naime, njegov otac, Gugliemo Bonacci, je bio carinski službenik u jednom gradu u današnjem Alžiru, gde je zastupao trgovinske i carinske interese Pize, grada u kome  se nalaz krivi toranj, i gde je Leonardo rodjen. U starijim tekstovima se Fibonacci zove i Leonardo Pisano. Radeći sa ocem, Leonardo je primetio da Moorski trgovci imaju efikasan i brz način računanja koji nije bio korišćen u tadašnjoj Evropi. Naime, Evropljani su tada koristili stari rimski sistem označavanja brojeva, koji su mnogi od nas učili još u osnovnoj školi.

 

Kao što znamo, I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C =100, D = 500, i M = 1000.

 

U ovom sistemu koji koristi uglavnom sabiranje, lako dolazimo do toga da je 2=II, 3=III. Aha, veće brojeve pravimo tako što manje brojeve sabiramo, pa je 6=VI, 60=LX, 70=LXX, itd. To važi i za 50, 100, 500, 1000, itd. Koristeći ovo pravilo, brzo možemo da zaključimo da je Železnicka stanica u Beogradu izgradjena 1884., tj. MDCCCLXXXIV – te godine.

zel_stanica.jpg 

(Ne znam za vas, ali ja sam kao sasvim mali ovo čitao i pamtio kao МДЦЦЦЛХХХИВ, i pitao se šta li tu piše.)

 

Pravilo je da veće brojeve konstruisemo sabirajući manje sve dok ne dodjemo do 5, 10, 50, 100, itd., a onda proces nastavljamo dodajući im prethodne manje. Recimo 11=XI, tj., 10+1, 12 je XII tj. 10+2, 15 je XV, 16 je XVI, 103 je CIII, tj. 100+3, itd.

 Pravilo sabiranja: Kad se manji broj nadje iza petice ili desetke, ili 50, itd., onda se on sabira, tj. 6 je VI, 23 je XXIII, 300 je CCC, itd.  Hm, jedino taj broj IV što je nesiguran. Naime, 4 se ne piše kao IIII već IV. Aha, novo pravilo!

Pravilo oduzimanja: Kad se manji broj nadje ispred petice (desetke, stotine, itd.), onda se on oduzima, tj. 4 je IV, 40 je XL, 39 je XXXIX, itd. Medjutim, 8 se ne pise kao IIX (dva manje od 10), vec VIII, 5 plus 3. Aha, poboljšanje pravila oduzimanja: samo se jednom oduzima, a sabira se tri puta. Dakle, 3 je III, ali 4 je IV, 300 je CCC ali 400 je CD. Godina 1389 bi se, dakle, pisala kao MCCCLXXXIX. 

Dobro, sada umemo da pišemo brojeve, ali kakva su pravila sabiranja i oduzimanja takvih brojeva? Recimo XII+XV=XXVII  (12+15=27), dakle prepišemo sve znakove i poredjamo ih po veličini, ali ovo ne važi za zbir CLXXIV+XXVIII=CCII , ili razliku CLXXIV-XXVIII=CXLVI. Ukratko, osnovna aritmetika u ovoj notaciji je veoma nepraktična, o množenju i deljenju da ne govorimo.

Trgovci su praktični ljudi, pa su u to vreme koristili znakove prstima da prikažu brojeve umesto da ih pišu. U jednom rukopisu u Sieni postoji ovakav opis tih znakova:

Fibonacci.042-001.png 

Ovde je takodje bilo važno da li se znakovi pokazuju levom ili desnom rukom.

 

Boraveći u Africi, Leonardo je primetio da tamošnji trgovci koriste sasvim drugu metodu za zapisivanje brojeva. Notacija potiče iz Indije i preneta je, trgovačkom praksom, na Bliski Istok, pa u Afriku. Ona se sastojala od devet znakova 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i posebnog znaka ‘0’’, koji je označavao nulu, ili ništa. Položaj (pozicija) ovih znakova u zapisu nekog broja je označavao broj jedinica, desetina, stotina, itd. Zapisivanje brojeva  i računske operacije u ovoj notaciji, koja se zove decimalni pozicioni sistem, su bile mnogo brže i lakše. Ključna razlika je bila u poziciji znakova prilikom zapisa nekog broja. U rimskoj notaciji, sadašnja godina bi sasvim lepo mogla da se napiše kao MMX ili kao XMM, i tu ne bi bilo nedoumica o kom broju je reč, dok su u arapskoj notaciji brojevi 2010 i 1020 različiti.   

Pravila računanja u ovom sistemu je prvi opisao Abu ‘Abd Allah, Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, ili skraćeno al-Kwarizmi, koji je 825. godine napisao knjigu Kitab al jabr wa‘l-muqabala (Pravila o metodu prenošenja). Al-Kwarizmi je bio astronom kod bagdadskog kalifa i u znak sećanja na verovatnu 1200. godišnjicu njegovog rodjenja je 1983. godine u Sovjetskom Savezu izdata marka sa njegovim likom

alk1.jpeg 

Nije bilo potrebno dugo vremena da Fibonači uvidi prednost indo-arapske notacije i , na povratku u Pizu 1202. godine, napiše knjigu Liber Abbaci , Knjiga o Računanju, u kojoj opiše novi metod računanja. Revidirana verzija te knjige je objavljena 1228., oko 400 godina posle al-Kwarizmievog rukopisa na istu temu.

Upotreba arapske numeracije se brzo raširila po celoj Evropi, a medju prvima koji su je prihvatili su bili finansijeri i bankari iz Firence. U to vreme je Firenca bila finansijski centar Evrope, otprilike istog značaja koji Volstrit danas ima u globalnim razmerama. Fiorentinski prevaranti, kako su tada bankare iz tog grada zvali, su brzo uvideli da im novi način brzog računanja daje veliku prednost u odnosu na konkurenciju, pa su ga u svim svojim transakcijama prihvatili i usvojili.

U znak zahvalnosti Fibonačiju za razvoj i popularizaciju novog metoda računanja, tadašnja republika Pisa mu dodeli doživotnu godišnju apanažu od 20 dinara (denario) 1240. godine. Na osnovu ovog dokumenta se pouzdano zna da je te  godine Leonardo još uvek bio živ, a njegovi biografi su kasnije izveli 1250. godinu kao verovatnu godinu njegove smrti. Tek je u 19. veku podignut spomenik Fibonačiju u Pizi. (O ovom spomeniku će biti reči malo kasnije).

Indo-arapska notacija brojeva se zadržala u matematici i finansijama do današnjih dana i sva je prilika da će ostati sa nama sve dok bude trajala ova civilizacija.

Pojavom elektronskog načina računanja, tj., razvojem kompjutera, uveden je binarni pozicioni sistem koji, iako nepogodan za ručno računanje, u mnogome ubrzava mašinsku proceduru. A brzina je ključna kod finansijskih transakcija.

Tokom poslednjih par decenija, špekulanti sa Volstrita su često zapošljavali matematičare i fizičare, tzv. Kvante (Quant), da bi razvili što brže algoritme za izvodjenje transakcija. Ovi algoritmi omogućavaju da se izvrše milioni kupovina ili prodaja akcija tokom nekoliko sekundi (negde se pominju i mili sekunde) i akcije kupe u trenutku pada, pa se potom, par sekundi ili minuta kasnije, prodaju kad njihova vrednost poraste. Zahvaljujući ovakvim procedurama, mnogi fast traders  su se u kratkom periodu obogatili.

Konkretno, 6. maja ove godine, vrednost berze na Volstritu je pala za 996 poena (oko 10%), i tom prilikom je vrednost akcija stotina preduzeća opala i do 60%. Ovaj Flash Crash (Brzi Krah), kako je nazvan taj finansijski dogadjaj, je trajao oko 1 sat (izmedju 14 i 15 časova po Njujorškom vremenu) dok se ravnoteža berze nije ponovo uspostavila. Mnogi mali finansijeri su izgubili skoro sav svoj novac, dok je par velikih špekulanata za kratko vreme povećalo svoje bogatstvo (prema izveštaju Savezne vlade od 1. oktobra ove godine, u tom periodu od 1 sata, 1.6 miliona transakcija je obavljeno samo izmedju dve firme). Veliki prevaranti sa Volstrita su brzim transakcijama uspeli da prigrabe sebi milijarde dolara za veoma kratko vreme. Srednjevekovni fiorentinski prevaranti bi bili zadivljeni.

Spomenik Fibonačiju je bio premeštan nekoliko puta (jedno vreme je čak stajao napolju), i danas se nalazi u zgradi groblja odmah do krivog tornja u Pizi.

pisa1.gif

Tokom bombardovanja u Drugom svetskom ratu, zgrada u kojoj se tada spomenik nalazio je totalno uništena, ali je spomenik nekim čudom, skoro neoštećen preziveo. Jedino su oštećeni prsti na statui, kao što se vidi na prvoj slici ovog bloga, kao da nam simbolizuju da je vreme računanja na prste davno za nama.



Komentari (142)

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

nsarski nsarski 15:33 06.10.2010

Re: Разумео бих интерес за Каталанове бројеве

Успут, за заинтересоване, постоји часопис који објављује радове на Фибоначијеве теме, The Fibonacci Quarterly. Колико знам, не постоје часописи који носе, рецимо, Ојлерово или Гаусово име.

Pa, nazalost, new ageism rules ovih dana. Numerologija (stagod to znacilo) je popularna - cak je i Madona nesto s tim petljala (Kabala i slicno).

Uzgred, mnoge od popularnih mitova vezanih za Fibonacijeve brojeve nisu tacni (i ja snosim delimicnu krivicu za sirenje istih). Na primer, ona prica o piramidama i zlatnom preseku je netacna. Slicno i za skoljku nautilus - blizu, ali netacno. I, najvaznije, Fibonaci nije izmislio cuveni niz, vec ga je, prema svemu, preuzeo od indijskih matematicara.
Ali, tako se pise istorija...
marco_de.manccini marco_de.manccini 16:15 06.10.2010

Re: Разумео бих интерес за Каталанове бројеве

ма онај часопис је сасвим пристојан, нема ту шпекулација, прихвата само радове у којима се представљају и доказују чињенице о низу и релацијама са ”преосталим” делом математике.

(да знаш да сам дуго мислио да напишем блог о цивилизацијској баштини спашеној и обогаћеној кроз неколико векова чувања и неговања у арапском свету. закључио сам да немам времена. мораћеш ти. за европску ренесансу арапски калифати имају бар онолико заслуга колико и стара грчка.)
docsumann docsumann 17:33 06.10.2010

princ brojeva

moj favorit među matematičarima - Srinivasa Ramanujan ... jedan blog o njemu bi bio prava stvar, profesore?

Najromantičnija zabeležena priča u novijoj istoriji matematike - život i delo Srinivasa Ramanujana.

Godina 1913. Ugledni engleski matematičar Hardy sa Kembridža dobio je čudno pismo od nepoznatog čoveka iz Indije.

U tom pismu od deset stranica bilo je oko 120 iskaza, teorema beskonačnih nizova, određenih integrala, kontinualnih razlomaka i elemenata teorija brojeva.

Svaki poznati matematičar dobija pisma od čudaka i, na prvi pogled, Hardy je pomislio da je i to pismo takvo. Međutim, nešto u vezi sa formulama nateralo ga je da ga ponovo pogledaa zatim i da ga pokaže svom saradniku, uglednom matematičaru Littlewood-u.

Posle nekoliko sati su zaključili da razultati moraju biti tačni jer niko i ne bi imao mašte da ih stvori tako savršenim. Metoda kojom je Ramanujan došao do njih godinama će ostati enigma. Ovaj događaj, svakako, predstavlja jedan od najvećih paradoksa u dugoj priči o naučnim otkrićima.

Tako je Srinivasa Ramanujan ušao u svet matematike i postao princ brojeva...


vishnja92 vishnja92 17:51 06.10.2010

Re: Разумео бих интерес за Каталанове бројеве

блог о цивилизацијској баштини спашеној и обогаћеној кроз неколико векова чувања и неговања у арапском свету.




divan tekst, milina jedna za citanje :)
maksa83 maksa83 17:57 06.10.2010

Re: princ brojeva

moj favorit među matematičarima - Srinivasa Ramanujan ... jedan blog o njemu bi bio prava stvar, profesore?


Bilo već - Genije.
docsumann docsumann 18:23 06.10.2010

Re: princ brojeva

moj favorit među matematičarima - Srinivasa Ramanujan ... jedan blog o njemu bi bio prava stvar, profesore?


Bilo već - Genije.


heh, kao da sam znao,

thanks
nsarski nsarski 18:59 06.10.2010

Re: princ brojeva

maksa83
moj favorit među matematičarima - Srinivasa Ramanujan ... jedan blog o njemu bi bio prava stvar, profesore?


Bilo već - Genije.

Hvala makso: ))

Ma, sada se razmisljam da napisem blog o jucerasnjoj Nobelovoj nagradi Geimu i Novoselovu za otkrice grafena. Neverovatna stvar - materijal u kome se elektroni ponasaju kao cestice bez mase i pokoravaju tacno(!) Dirakovoj jednacini. Jedino sto im je brzina oko 300 puta manja od brzine svetlosti. Kao kosmos u malom gde je svetlost usporena. Danasnji Nobel iz hemije je takodje dodeljen za carbon (ugljenik). Mozda cemo jednog dana imati nove racunaljke sa sasvim drugacijim dizajnom?!

Ima ovde sjajan rad o topoloskim osobinama grafena: Manifestation of topologicel effects in graphene
NNN NNN 23:30 06.10.2010

Re: Разумео бих интерес за Каталанове бројеве

za skoljku nautilus - blizu, ali netacno
Zato što školjka nautilusa ima tačno logaritamsku spiralu, a fibonačijev niz je solidna aproksimcija iste.

fehner fehner 01:01 07.10.2010

Re: Разумео бих интерес за Каталанове бројеве

Razlika izmedju nautilusove i Fibonacijeve spirale je lepo i kratko opisana ovde
KRALJMAJMUNA KRALJMAJMUNA 07:36 07.10.2010

Re: Разумео бих интерес за Каталанове бројеве

nsarski Uzgred, mnoge od popularnih mitova vezanih za Fibonacijeve brojeve nisu tacni (i ja snosim delimicnu krivicu za sirenje istih). Na primer, ona prica o piramidama i zlatnom preseku je netacna. Slicno i za skoljku nautilus - blizu, ali netacno. I, najvaznije, Fibonaci nije izmislio cuveni niz, vec ga je, prema svemu, preuzeo od indijskih matematicara.
Ali, tako se pise istorija...


Pa, kažem ti ja
docsumann docsumann 17:23 07.10.2010

Re: princ brojeva

Bilo već - Genije.


inače, genije je bio vegetarijanac
Milan Novković Milan Novković 17:58 07.10.2010

Re: princ brojeva

inače, genije je bio vegetarijanac

Da, neverovatno, zamisli koji bi tek genijalac bio da mu je NŠarski pripremao morsku prasad
docsumann docsumann 18:22 07.10.2010

Re: princ brojeva

Da, neverovatno, zamisli koji bi tek genijalac bio da mu je NŠarski pripremao morsku prasad


Pa i nije nevjerovatno kad se uzme u obzir da je pripadap bramanskoj kasti.

Inače postoji vrlo interesantna priča o spiritualnom porjeklu njegovih fantastičnih teorema.
trener92 trener92 22:46 06.10.2010

"Fibonacci" i muzika

Profesore ovde nedostaje ovako nešto


i
interesantan link


nsarski nsarski 22:53 06.10.2010

Re: "Fibonacci" i muzika

trener92
Profesore ovde nedostaje ovako nešto


i
interesantan link



Well, koč, you always hit the right note: ))) Hvala.
trener92 trener92 23:26 06.10.2010

Re: "Fibonacci" i muzika

nsarski

Well, koč, you always hit the right note: ))) Hvala.

Hvala tebi profesore na ovom odličnom tekstu.
Inače,ovaj deo(adagio(takođe je korišćen i u Kjubrikovom filmu "Isijavanje "sa Nikolsonom )sam odabrao , zbog ksilofona na samom početku , a koga mrzi da otvara link ,ima mnogo interesantnih stvari, o povezanosti Fibonačija i muzike , između ostalog Bartók, Debisi, Šubert, Bah , Sati , pominje se i Berlioz, Mocart, Betoven, uglavnom , govori samo koliki je značaj ( i uticaj) tog čoveka , ne samo na ekonomiju
markonio92 markonio92 23:07 06.10.2010

Aldžabr

Pravila računanja u ovom sistemu je prvi opisao Abu ‘Abd Allah, Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, ili skraćeno al-Kwarizmi, koji je 825. godine napisao knjigu Kitab al jabr wa‘l-muqabala (Pravila o metodu prenošenja).

I tako je nastala reč "algebra".
nsarski nsarski 23:10 06.10.2010

Re: Aldžabr

I tako je nastala reč "algebra".

Da, bas tako.
docsumann docsumann 17:45 07.10.2010

C !

vishnja92 vishnja92 18:50 07.10.2010

Re: C !

hehe :))
to sam ja vec radila :)

(ubice te Profesor gore zbog njuejdzizma, pajstatikazem)

for ju
Milan Novković Milan Novković 19:36 07.10.2010

Re: C !

C!!!
docsumann docsumann 19:38 07.10.2010

Re: C !

(ubice te Profesor gore zbog njuejdzizma, pajstatikazem)


e, pa moram onda da mu dam još materijala za to

znak u žitu s kodom boja pi" u dekadnom brojnom sistemu ( ovo sam negdje već kačio :))... čini mi se baš ide uz ovaj blog o broju.



njanja_de.manccini njanja_de.manccini 20:25 07.10.2010

Re: C !

Lucy Pringle ima databasu bezbroj fotografija o ovakvim fenomenima - Crop Circle. Samo klikni na godinu i nagledaces se velicanstvenih fotki.

edit: sad vidim da se na tvom linku pominje ona.
vishnja92 vishnja92 20:44 07.10.2010

Re: C !


znak u žitu s kodom boja pi" u dekadnom brojnom sistemu

inace, Pi se pamti kroz pesmicu, do desete decimale (broj slova u reci):

Cuj, i broj P mozes zapamtiti sa pesmom dragi moj brate

3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

znam ga od detinjstva, kao i "godinu proizvodnje" zgrade zel. stanice (uvek sam recitovala u sebi to "МДЦЦЦЛХХХИВ" )
marco_de.manccini marco_de.manccini 23:26 07.10.2010

Re: C !

Cuj, i broj P mozes zapamtiti sa pesmom dragi moj brate

није лоше, али ми, брате, мало личи на неки земунски тајни код

*

иначе, тај редослед слова M-D-C-L на железничкој ми је и данас у глави кад треба да се сетим који је који број M=1000, D=500, C=100, L=50. лако је упамтити значења за M и C, јер нам mili и centi већ значе 1000 и 100, али оно D и L немам појма одакле долазе. иначе, учитељица у основној нас је учила да је лако запамтити V за 5 јер подсећа на подигнуту руку са 5 раширенa прста (oна два крака у V су палац и мали прст), а X је за 10, јер садржи две копије слова V. наравно, I је један прст.
marco_de.manccini marco_de.manccini 23:27 07.10.2010

Re: C !

II копија
nsarski nsarski 23:46 07.10.2010

Re: C !

znam ga od detinjstva, kao i "godinu proizvodnje" zgrade zel. stanice (uvek sam recitovala u sebi to "МДЦЦЦЛХХХИВ" )


иначе, тај редослед слова M-D-C-L на железничкој ми је и данас у глави кад треба да се сетим који је који број M=1000, D=500, C=100, L=50. лако је упамтити значења за M и C, јер нам mili и centi већ значе 1000 и 100, али оно D и L немам појма одакле долазе.


Pa, ljudi, mi kao da smo rasli na istoj planeti! Nice to know that.
mirelarado mirelarado 00:42 08.10.2010

Re: C !

али оно D и L немам појма одакле долазе


Tреба имати у виду да се данас као римски бројеви користе оне средњовековне ознаке, тј. слова латинице, које је Фибоначи затекао. У античко доба то су били засебни знаци, заправо рецке на дрвеном штапу - рачунаљки, и претрпели су мноштво промена. М заиста потиче од milia (хиљаду), али се М у антици писало и као Ф, па је као ознака за 500 послужила половина тог знака, дакле латинично D. Број 50 се на оном штапу такође бележио на различите начине, као спој V и I: N, И, K, Ψ, ⋔, па се то свело на и напослетку на L.
marco_de.manccini marco_de.manccini 00:53 08.10.2010

Re: C !

hvala, mirela, baš sam, u međuvremenu, tražio objašnjenja po internetu. ima lepa sličica na wiki na kojoj je napis sa crkve u amsterdamu iz 1630.



nsarski nsarski 00:55 08.10.2010

Re: C !

М заиста потиче од milia (хиљаду), али се М у антици писало и као Ф, па је као ознака за 500 послужила половина тог знака, дакле латинично D.

Sve je to lepo, ali kako bi u rimskim brojevima zapisala ventiquattromila baci



i zasto bas toliko?

Navodno V sa crtom iznad je 5000, onda je X sa crtom valjda 10000, pa bi to bilo XXMV, gde X-ovi i V-ovi imaju crtu. Ako, zbog grafike, napisem crte ispod, to bi bilo:XXMV. Hm, u gadnu smo mocvaru zasli...


mirelarado mirelarado 01:25 08.10.2010

Re: C !

nsarski
Hm, u gadnu smo mocvaru zasli...


Вала баш. Ипак смо мало одмакли од оних пастирских штапова са рецкама. Боље је и практичније да се држимо арапских бројки. :)

Oво је већ лакше записати римском бројком М, али је теже изговорити (отпевати) овако брзо:

vishnja92 vishnja92 08:19 08.10.2010

Re: C !

није лоше, али ми, брате, мало личи на неки земунски тајни код

jok, ucio nas nastavnik Cira u skoli u samoj blizini zel.st., gde su nam rucak u djackoj kuhinji sipali zlatnim kutlacama u vreme dok je Zemun jos bio mocvarna pustopolina :)




edit - podvaliste mi sonom Jamom ali ja cu vam se osvetiti. cuvajte se.

Poljar Lijan
docsumann docsumann 14:15 08.10.2010

Re: C !

Rimski brojevi su idealni za postavljanje mozgalica tipa pomjeri jednu šibicu da bi napisani izraz bio tačan. Evo jedne od boljih:

VII+I=II

Napominjem da nije u pitanju nikakva trik fora. Rješenje je prilično EntElegEntno

p.s.rješenja možete slati na PP kako ne biste pokvarili zabavu drugim blogerima koji se kasnije uključe (imena onih sa tačnim rješenjem biće javno objavljena).

EDIT: pošto sam primio jedno uslovno tačno rješenje ( VII-I≠II ) samo da dodam da je pravo rješenje u obliku jednakosti.
docsumann docsumann 17:27 08.10.2010

Re: C !

Lucy Pringle ima databasu bezbroj fotografija o ovakvim fenomenima - Crop Circle. Samo klikni na godinu i nagledaces se velicanstvenih fotki.

edit: sad vidim da se na tvom linku pominje ona.


vishnja92 vishnja92 18:08 08.10.2010

Re: C !

pošto sam primio jedno uslovno tačno rješenje ( VII-I≠II )



hocu tortu.

to prvo.
drugo, jel se seca neko onog zadatka gde je trebalo ubaciti matematicki simbol a resenje je bilo faktorijel? nikako ne pamtim takve stvari :(
docsumann docsumann 18:21 08.10.2010

Re: C !

drugo, jel se seca neko onog zadatka gde je trebalo ubaciti matematicki simbol a resenje je bilo faktorijel? nikako ne pamtim takve stvari :(


to je jedan dio (ustvari ključni) zadatka sastavljenog od 10 podzadataka, u kojem trima istim ciframa dekadnog brojnog sistema treba dodati simbole mat. operacija (po slobodnom izboru, uključujući i zagrade) da bi se dobio broj šest.

npr. 2 2 2

rješenje 2+2+2=6

za sve cifre rješenje je manje-više jednostavno, a kvaka je u prvom zadatku

1 1 1

tj. rješenje je (1+1+1) !

hocu tortu.



vishnja92 vishnja92 20:14 08.10.2010

Re: C !

torta je bozanstvena
aj priznaj da sam pobedila pa da zavrsimo s tim.

(nije bio taj zadatak, ali ! je uvek kec iz rukava :))




vishnja92 vishnja92 21:03 12.10.2010

svi otisli...

gordanac gordanac 22:15 12.10.2010

:))

vishnja92
svi otisli...


disu?
otišli?
ma nisu
evo - ja došla...


Imam čak i jedan prikaz direktno iz Rima koji ne umem da "zalepim", pa ću posle opet doći da probam da uspem
nsarski nsarski 23:05 12.10.2010

Re: :))

gordanac
vishnja92
svi otisli...


disu?
otišli?
ma nisu
evo - ja došla...


Imam čak i jedan prikaz direktno iz Rima koji ne umem da "zalepim", pa ću posle opet doći da probam da uspem


Pa, u svetlu poslednjih dogadjanja, blog o rimskim brojevima nije bas mnogo uzbudljiv: )))
Dobrodosla, u svakom slucaju!
gordanac gordanac 00:02 13.10.2010

***

Pa, u svetlu poslednjih dogadjanja, blog o rimskim brojevima nije bas mnogo uzbudljiv


Ma, brojevi (cifre) su uvek uzbudljivi, ako se ja pitsm, bez obzira na bilo kakve događaje.
Ili, kraće:
Zašto su cifre dobre?

Prikaz koji ne umem da "zalepim" tiče se i Rima i Pize i mog ponovnog (i skoro slučajnog) odlaska u Monreale, građevinu koja je takoreći vršnjak Fibonacci-ja i jedne fine priče u slikama o Wiliamu II of Sicily i njegovoj porodično-kraljevsko-neobičnoj biografiji, sa sve čudnim brojevima iz katedrale Monreale.
Ali - nije mi uspelo (za sada )
mirelarado mirelarado 02:49 13.10.2010

Re: ***

Катедрала Монреале:



Сат на катедрали

П.С. Вишња, ту смо, тихујемо.

Arhiva

   

Kategorije aktivne u poslednjih 7 dana