Teorija igara: više od igre (I)

Izraz Teorija igara je misnomer, ili nepogodno izabran naziv za nešto, u istom smislu kao sto je misnomer i izraz Teorija relativnosti. Ljudi koji ovu potonju ne poznaju dovoljno, obicno kažu da ona tvrdi kako je "sve relativno" - što je, razume se, netačno. U tom smislu, Teorija igara (TI) bi preciznije mogla da se zove Teorija strategije, jer se ona bavi strategijama u odnosima i ponašanju ljudi i životinja, i ima primene u biologiji, ekonomiji, političkim naukama, sociologiji, pa i, razume se, običnim igrama.

TI je prvi put sistematski formulisao fon Nojman, 40ih godina kad je sa Morgensternom objavio knjigu Teorija Igara i ekonomsko ponašanje. Od tada je dodeljeno 7 Nobelovih nagrada za otkrića u ovoj oblasti, uglavnom u primenama na ekonomske nauke. Prvi laureat iz ove oblasti je bio John Nash, o čijem životu je napravljen poznati film Beautiful Mind. Njegovo otkriće tzv. Nešove ravnoteže (Nash equilibrium) je omogućilo široku primenu TI na mnoge grane nauke. O tome će biti reči kasnije.

U biologiju je Teoriju igara uveo John Maynard Smith kad je sa Price-om objavio rad Logic of Animal conflict u časopisu Nature, 1973. Kasnije su ove ideje dobile svoj završni oblik u knjizi Maynard Smith-a Evolution and the theory of Games, 1982. On je u svom radu definisao koncept Evolutivno Stabilne Strategije (ESS), koji je u biologiji analogan Nešovoj ravnoteži.

Danas se TI koristi u mnogim oblastima i metodama odlučivanja - od evolucije do trke u naoružanju, do ponašanja učesnika na berzi. Situacije koje ekonomisti zovu igre, psiholozi nazivaju socijalne situacije - i mada TI može da se primeni na "igre" kao što su poker i šah, na primer, centralna oblast istraživanja u današnjoj TI su socijalne situacije. (Ovde neće biti reči o Bernovoj knjizi, popularnoj kod nas, Koju igru igraš? Teorija igara je mnogo više od zabavnih anegdota za psihoanalitičare amatere.) Budući a je TI ogromna oblast, ja mogu samo površno da skiciram neke od najvažnijih karakteristika ove matematičke discipline, i ilustrovaću ih primerima poznatih igara.

Teorija igara počinje opisom igre. U igri mogu da učestvuju dva ili više igrača. Postoje igre sa beskonačno mnogo igrača, prostorne igre, itd. (videti dole). Najvažnije u opisu igre je „dobit" (payoff) koju svaki igrač stekne na završetku igre, i ta dobit zavisi od strategije koju je primenio igrač i koju su primenili drugi igrači. Ovo poslednje je ključni i centralni motiv TI: dobit zavisi ne samo od toga šta igrač radi, već i od strategije dugih učesnika u igri. (U tom smislu je TI neredukcionističk teorija). Matematički, igra se izražava preko matrice isplatljivosti (payoff matrix) za definisane strategije.

Kao dobru ilustraciju ovih termina uzmimo jedan konkretan primer poznate igre: Rat izmedju muškaraca i žena, ili Battle of the sexes.

Muž i žena, ili sličan par, treba da se dogovore kako da provedu veče zajedno. Muž (igrač broj 1) bi više voleo da ide na fudbalsku utakmicu, dok bi žena (igrač broj 2) više volela da ide da gleda balet. Život se dodatno komplikuje time što igrači ne mogu da medjusobno komuniciraju i da se dogovore (zvuči poznato?). Takodje, i muž i žena žele da veče provedu zajedno, što ovu igru čini posebno zanimljivom.

Koje su im mogućnosti? Ako oboje odu na isto mesto svako dobija po 1 poen (zbog zadovoljstva što su zajedno). Dodatno, ako odu na utakmicu, muž dobija ekstra poen zato što gleda ono što želi, a žena ne dobije ništa. Obrnuto, ako odu na balet, žena dobija ekstra poen zato što gleda ono što želi, a muž ne dobije ništa. U najgoroj kombinaciji - muž da ode sam na balet, a žena sama na utakmicu, niko ne dobije ništa jer niti su zajedno, niti gledaju ono što žele. Ili, ako odu sami, takodje ne dobiju ništa jer nisu zajedno. Sve se ovo zajedno može iskazati pomoću payoff matrice koja izgleda ovako:

Prvi element matrice (2,1) pokazuje dobit igračima (prvi broj za igrača broj 1, drugi broj za igrača broj 2) u slučaju da i muž i žena izaberu da odu zajedno na utakmicu - muž dobije dva poena jer je zajedno sa ženom i gleda to što želi, dok žena dobije 1 poen jer je zajedno sa mužem. Na sličan način, poslednji element (1,2) definiše dobit u slučaju da oboje odu na balet.

Važna karakteristika ove igre je u tome što je ovo igra koordinacije, name pri odlučivanju za strategiju (balet ili utakmica), svaki igrač mora da razmišlja o tome šta će onaj drugi da uradi. Ova igra ilustruje i nekoliko drugih važnh aspekata teorije igara.

Prvo, gde je ovde rat? Heh, zamislimo da je muž veoma fini i odluči se da udovolji ženi i izabere balet, a žena je jako fina i želi da udovolji mužu, te izabere utakmicu. U tom slučaju svako dobije 0 poena, jer su otišli na različita mesta koja još i ne preferiraju! U obrnutoj situaciji, kad su oboje sebični, žena će da ode na balet a muž na utakmicu, što im opet donosi po 0 poena jer nisu zajedno (a to je osnovna ideja ove igre). Zaključak: totalno fini ili totalno sebični par je uvek na gubitku - samo ako je jedan fini a drugi sebičan oboje imaju neku korist. Jasno je da ne postoji verzija u kojoj je dobit (2,2), pa neko mora da se „žrtvuje" ili da „popušta". I eto nama rata!

Drugi važan aspekt ove igre je u tome da postoje odluke u kojoj oba igrača dobijaju - kombinacije kad provedu veče zajedno, tj., dobit jednog nije automatski i gubitak za drugog. Ovakve igre se još zovu i non zero-sum games. Igre gde je dobitak jednog gubitak za drugog (sportski mečevi eliminacije, na primer) često dovode do oštre borbe i neprijateljstva, se zovu zero-sum games, i treba ih na svaki način izbegavati.

Treća važna osobina ove igre je sledeća: zamislimo da muž ima slobdu da promeni svoju strategiju, a žena ne. U tom slučaju, ako je muževa dobit manja sa promenom strategije, on će se se vratiti na staru - recimo ako je muž prvobitno odlučio da ide na balet (kao i žena), on će, promenivši tu odluku, otići sam na utakmicu i neće dobiti ništa. Zato će se ipak na kraju odlučiti za balet. (Slično važi i za ženu u obnutoj situaciji). Postoji, dakle, izbor odluka koji je takav da ako jedan igrač promeni svoju strategiju, a drugi igrači svoje ne promene, taj igrač koji je promenio strategiju ne dobija više. U slučaju muža i žene postoje dva takva izbora - utakmica/utakmica ili balet/balet.  Ovakav izbor strategija gde promena strategije od strane jednog igrača, pri nepromenjenim odlukama drugih igrača, ne donosi igraču sa promenjenom strategijom boljitak, i ako to važi za svakog igrača pojedinačno, se zove Nešova ravnoteža (Nash equilibrium). Rat izmedju muskaraca i zena je igra koja ima dve Nesove ravnoteze. Zamislimo, dalje, neku igru sa mnogo igrača i mnogo strategija, i zamislimo da je svaki igrač odabrao svoju strategiju. Nešova ravnoteža je postignuta ako, pri fiksiranim odlukama drugih igrača, promena strategije jednog od njih ne donosi ovome boljitak. Neš je pokazao da u opštem slučaju ovakav sistem ima ravnotežnu (stabilnu) konfigraciju strategija gde se nikome ne isplati da svoju menja. Za ovaj dokaz je Neš dobio Nobelovu nagradu.

Primetimo da na Nešovoj ravnoteži ne mora svaki igrač da bude maksimalno zadovoljan svojom dobiti upotrebivši strategiju koju je odabrao, on jedino neće svoj stanje poboljšati ako strategiju promeni. Drugo, Nešova ravnoteža ne govori o tome koju strategiju treba primeniti, niti daje neke savete u tom smislu. Ona samo kaže da postoji skup strategija koje su u ravnoteži. Da li će igrači da pronadju takav skup, i da li će ga pronaći brzo ili ne, je pitanje od fundamentalnog značaja, ali o tome Nešova teorija ne govori.

Budući da ovaj tekst postaje sve obimniji, a ima još mnogo toga što bih želeo da kažem, odlučio sam da ovo postavim, i da u drugom nastavku detaljnije pišem o Teoriji igara u biologiji i evoluciji, kao i o jednoj od najvažnijih igara poznatoj kao Zatvorenikova dilema (Prisoner's dilemma). Ovaj nastavak neka predstavlja uvod u osnovne koncepte.