Genije.

Svi mi znamo, ili smo culi za nekog genija.

Ljudi kažu “Brus Springstin je genije!”, ili “Majkl Džordan je genije!”, a na jednom sam zidu video grafit “Pera ludak je genije!”. Za Tita su govorili da je genije, Napoleon je bio genijalni vojskovodja, Bil Gejts genijalni biznismen, a Stiven Spilberg genijalni producent. Ovoj listi, jasno je, možete dodati jos mnogo imena, već po vasem izboru ili interesovanju; ima mnogo umetnika, naučnika, sportista, izumitelja, lekara, zabavljača, itd., za koje bi mnogi rekli: “Taj je genije”. O takvim genijima nije ovde reč.

Ovde je reč o onim retkim izuzetnim pojavama, kada se, u nekom dobu, medju ljudima pojavi osoba neverovatne vizije, sposobnosti, ili talenta, radi i traje neko vreme kao svi mi, i isčezne u vremenu, ali za sobom ostavi večan trag. Ljudi koje Prust zove “giganti potopljeni u vremenu” (giants immersed in time), ili na koje je Galilej mislio kad je rekao “video sam dalje od drugih zato sto sam gledao stojeći na ledjima giganta”. O jednom takvom je ovde reč (izbor je zaista stvar mog ličnog interesovanja i iskustva – drugi će, s pravom, imati svog favorita).

Ja sam uvek mislio da je pojava genijalnih ljudi neka vrsta kosmičke sale: priroda spusti medju nas neku takvu izuzetnu osobu tek da nas, obične, opomene da su nase pameti kratke i moći male, i da “ima jos mnogo stvari pod kapom nebeskom, dragi moj Horacio, koje se ne mogu smestiti u tvoju filozofiju”.

Kao student sam čuo u par navrata za nekog Indijskog matematičara, čije sam ime bio zaboravio, čudo od čoveka, koji je zapanjio svet svojim otkrićima. Posto je takvih i sličnih priča uvek bilo, najčesće netačnih, ja sam malo obraćao pažnju na to. U genije tog tipa i inače nisam mnogo verovao, i držao sam se onoga sto je Majkl Dzordan jednom odgovorio kad su mu, posto je ubacio loptu u kos sa pola terena, rekli da “ima sreće”: “Da, sto vise treniram, imam sve vise i vise sreće”. Desilo se, medjutim, da sam nekoliko godina kasnije, radeći na nekom problemu, u jednom trenutku ponovo naisao na tu neverovatnu osobu jer je njegov rad bio u bliskoj vezi sa tim sto sam ja radio. A i cela priča ima detektivski tok, kao neresena misterija koja se tek na kraju sklopi. (Nadam se da nećete usput zaspati.)

Srinivasa Ramanujan je rodjen 1887 u mestu Erode, Indija, i umro u gradu Kumbakaonam, takodje u Indiji, 1920., kad mu je bilo 33 godine. Umro je od tuberkuloze koju je dobio boraveći u Kembridžu, u Engleskoj, gde je nekoliko godina radio matematiku sa nekim od tada vodećih svetskih autoriteta. Za sobom je ostavio vise hiljada novih rezultata iz matematike (pominju se cifre od 3000 do 6500 rezultata).

Formalno obrazovanje iz matematike nije imao. Sam je učio iz par slučajnih udžbenika koje je nasao, sa 13 godina je savladao manje-vise studentski nivo matematike koju je čuo od studenata sto su u gradu živeli. Radio je sam, i za mnoge rezultate, tada u matematici poznate, nije znao. Najvažnije, on nikad nije znao za proceduru formalnog matematičkog dokaza, i svoja resenja je zapisivao “nako”.

U jednom trenutku je, ne rekavsi roditeljima, otisao od kuće u jedan grad, severno od Madrasa, gde se upisao na koledž. Zbog par radova koje je objavio pročuo se u Madrasu kao dobar matematičar. Ljudi oko njega su znali da ume brzo i vesto da barata brojevima, ali nisu se mnogo upustali u njegovu matematiku jer je često bila dalje od njihovih znanja i interesa.

Na nagovor nekih kolega, 1913 godine, Ramanujan posalje pisma na adrese tri svetski poznata matematičara u kojima je prilozio i deo svojih rezultata, uglavnom resenja nekih integrala i nekoliko dokazanih teorema, tražeći njihovo misljenje. Dva pisma su se vratila bez odgovora. Treće pismo je dobio G.H. Hardy, professor na Kembridžu, jedan od vodećih matematičara tog doba. U svojoj knjizi, koju je kasnije napisao, Hardy je ovako to doživeo: nekoliko rezultata je bilo koji su bili trivijalni i dobro poznati, neki su bili neobični i teski, ali je mislio da su tačni i da se mogu dokazati, i bilo je nekih koji su bili neverovatni - resenja problema koje naučnici tog doba nisu uopste razmatrali, ili znali da postoje, i za koje Hardy nije umeo da kaže da li su tačni ili ne. Prosto, nikada vidjena resenja i dokazi kao da su dosli iz druge galaksije. I to je napisao u svom odgovoru Ramanujanu.

Da ne dužim priču (mnogi detalji iz Ramanujanove biografije se mogu naći na internetu), Ramanujan je pozvan u Kembriž, gde je stigao posle mnogo tehničkih zavrzlama (bio je rat u to vreme), i počeo je da radi sa Hardijem i ostalim matematičarima na Kembridžu. Taj rad je proizveo mnogo važnih rezultata koji su danas u standardnoj upotrebi, ali u pitanju je prilično komplikovana matematika za prosečnog čitaoca (teorija brojeva, eliptičkih funkcija, q-generalizacija, itd.), pa ću opis da izostavim. Pomenuću dva koji su mi potrebni za ono sto dalje sledi.

Tokom boravka u Kembridžu, posto je bio Brahman, Ramanujan je isao bos ili u sandalama, bio vegetarijanac, i zahvaljujući lokalnoj kisnoj i hladnoj klimi razboleo se od tuberkuloze. Jednog dana je dosao Hardy da ga poseti u bolnici gde je ležao. Ulazeći na vrata, Hardi mu je rekao da je dosao taksijem broj 1729, “veoma dosadan i beznačajan broj”, i da se nada da to nije los znak. Na to mu je Ramanujan “istaka” uzvratio sa: ne, 1729 je najmanji broj koji se može zapisati kao zbir dva kuba, na dva načina. Naime

1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

Taj broj je danas poznat kao Hardy-Ramanujanov broj. Hardy ga je tada pitao da li onda zna koji je najmanji broj koji se isto tako može napisati, ali na tri načina. Ramanujan je malo razmislio i rekao da ne zna, ali da je sigurno u pitanju neki veliki broj. (Taj broj je, inače, 87539319 = 167^3 + 436^3 = 228^3 + 423^3 = 255^3 + 414^3 .)

[Napomena: u to vreme ljudi su razmatrali ovakve probleme jer su mnogi pokusavali da rese vekovima nereseni veliki Fermat-ov problem - taj pakleni Francuz, kako su ga zvali - naime tvdrnju da jednačina X^n+Y^n=Z^n nema celobrojnih resenja za n > 2 , dakle 3, 4 i vise. Očevidno, slućaj n=2 je Pitagorina teorema i resenje postoji (recimo, 3^2+4^2=5^2). Sa n=3 se, dakle, razmatra zbir kubova, itd. Resenje ovog problema, tj. dokaz Fermat-ove tvrdnje, je nasao 1996 jos jedan genije, Andrew Wiles, ali o tome drugom prilikom].

Drugi resen problem koji ću pomenuti se može objasniti i prvacima – za divno čudo, neke od najtežih matematičkih problema je elementarno lako postaviti, njihovo resenje je tesko. Naime, na koliko razlitih načina se neki broj može napisati kao zbir drugih brojeva? (u pitanju su celi brojevi, razume se). Recimo broj četiri se može ražložiti (particionirati) na pet načina (redosled brojeva u zbiru nije bitan).

1. 4
2. 3 + 1
3. 2 + 2
4. 2 + 1 + 1
5. 1 + 1 + 1 + 1

Taj broj načina da se neki broj n particionira (partition), razlozi, označimo sa p(n). Pa je, tako, p(4)=5, kao sto se vidi gore. [Očevidno p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3.]. p(n) se zove broj particija broja n. U početku, taj broj načina da se neki broj razloži, kao sto vidimo, nije veliki, ali bržo postaje ogroman: recimo p(100) = 190,569,292, tj. broj 100 se može ražložiti na oko 200 miliona načina! Medjutim, u to vreme nije se znalo da li postoji neka zatvorena, analitička formula po kojoj može da se izračuna p(n), za bilo koju vrednost n. Zahvaljujući nekim ranijim radovima Ojlera (genija o kome je bilo reči - M. Ćirković je napisao lep blog) i Jakobija (genija o kome nije bilo reči) iz teorije eliptičkih funkcija, Hardi i Ramanujan uspeju da (skoro) dodju do te formule. Kasnije im se pridružio i matematičar Rademacher i kompletirao neverovatnu formulu koja se danas zove Hardy-Ramanujan-Rademacherova formula:

gde je,

(Nemam nameru da objasnjavam nista o ovoj formuli, samo tek da je prikazem).

Godine 1919, Ramanujan se, zbog bolesti i neodgovarajuće klime, vrati u Indiju gde je poživeo jos oko godinu dana i tu umre. Tokom te godine je i dalje radio matematiku i mnoge svoje rezultate slao G. Watsonu (jos jednom čuvenom matematičaru koji se bavio, pored ostalog, eliptičkim funkcijama) u Kembridž.

I ovde se radnja zgusnjava – plot thickens.

Od gornje trojice matematičara, Ramanujan je umro 1920., Hardy je umro 1947. (pre toga je napisao sjajnu knjigu o Ramanujanu), a Rademacher se kasnije zaposli u Americi kao professor. Jedan od njegovih najboljih studenata je bio George Andrews, danas professor u Pensilvaniji i svetski autoritet u teoriji brojeva. Početkom sedamdesetih godina, Andrews ode u Kembridž na specijalizaciju. Jednoga dana, u biblioteci nadje kutiju punu nekih beleski i matematičkih formula. Sekretarica mu objasni da su to “neki papiri iz zaostavstine pokojnog profesora Watsona koje niko nije decenijama otvarao”. Istog Watsona kome je Ramanujan slao pisma tokom poslednje godine života.

Andrews ubrzo shvati da pred sobom ima neverovatno otkrice, i u godinama koje su usledile počne da desifruje Ramanujanov tesko čitljiv rukopis, i uz pomoć saradnika objavljuje Ramanujanove rezultate kao “Ramanujanove izgubljene sveske” (Ramanujan’s lost notebooks). Serija tih svezaka i danas, u 21. veku, izlazi sa novim rezultatima. Skoro ceo vek posle svoje smrti, Srinivasa Ramanujan, giant immersed in time, nastavlja da objavljuje svoje radove i nove rezultate.

Krajem osamdesetih godina sam naisao na problem pakovanja geometrijskih objekata. Naime, ako imate n novčića, na koliko različitih načina ti novčići mogu da se poredjaju u ravni, spakuju tako da se svaki dodiruje bar sa jednim?, Ovakvi problemi su važni u fizici polimera, na primer, a ovaj je bio postavljen 1952, i u vrema kad sam ja na njega naisao nije se jos znalo njegovo resenje. Posle sve buke i halabuke oko postavljanja, problem se zapravo svodi na resenje jedne, naizgled, jednostavne jednačine:F n+1(x)-Fn(x)=x^(n+2)Fn+2(x). . Treba naći funkciju Fn(x) koja zadovoljava ovu jednačinu.[ Za upućene, u pitanju je nautonomna linearna diferencna jednačina drugog reda]. Na prvi pogled, čini se jednostavna. Na prvi.

Jednom mi je neki narkoman pričao da je bio u stanju da provede 30 sati u krevetu, netremice posmatrajuci prste na svojim nogama. Ja nisam 30. Proveo sam 16 sati u krevetu buljeći u prazan papir sa ovom formulom na njemu, pokusavajući da shvatim u kom pravcu da tražim resenje. Nije mi mnogo pomoglo. Nedelje sam proveo u razmisljanju, ali nisam uspeo da se pomerim od početka. Jednom prostom transformacijom, ova jednačina može da se svede na beskonačni razlomak, koji bi, ako resim taj razlomak, dao jednačinu prvog reda koja je lako resiva. Medjutim, beskonačni razlomak koji sam dobio mi nije ličio ninasta sto sam ranije sreo. Kao iz druge galaksije. Trazio sam po knjigama, radovima – niko se takvim razlomcima nije bavio. Posle mesec dana, na jednom mestu, u poznatoj Walls-ovoj knjizi, u fusnoti pomenut je neki sličan izraz koji se zove “Ramanujanov beskonačni razlomak”. Potražim Ramanujana u biblioteci, ali opet nista. U tom trenutku, bibliotekarka počne da redja na policu tek pridosle nove knjige, i isped nosa mi stavi jednu: “Izgubljene sveske Ramanujana – sveska XVI” autor G. Andrews. Odmah sam je uzeo i počeo da prelistavam.

Sećate se one scene u filmu “Amadeus” kad Salieri priča kako se osećao kad se dokopao Mocartovih nota? Rekao je da se oseća kao majmun koji kroz resetke svog kaveza tek pomalo uspeva da nazre svet njemu nedostupan. E, tako sam se i ja osećao kad sam otvorio svesku XVI. Ja takvu matematiku nikad nisam video.

Sledećih par meseci sam malo spavao i sve vreme čitao Ramanujana. Bogo moj! Na svoj problem sam skoro zaboravio, ali sam učio q-matematiku kadgod sam u bio budnom stanju. Jedne noći, pred zoru, uz pomoć jednog identiteta koji je Ramanujan otkrio, i uz nekoliko straightforward transformacija, uspem da nadjem resenje problema pakovanja koje mi je trebalo, i, usput, cele jedne klase jednačina. Najzad!

Bilo je rano, kroz prozor je ulazilo svitanje. Pomislio sam da mi je time Srinivasa Ramanujan, moj “giant immersed in time”, na trenutak mahnuo.

Siguran sam da svako ima svog genija, nekoga ko vas je svojim delom ili postojanjem probudio ili inspirisao u nekom smislu. Ovaj je bio moj, i ovaj rad je inspirisan njime.

(Izvinjavam se za stamparske i druge greske, pisao sam u brzini).