Pre pet dana, Džon Horton Konvej, jedan od najvećih matematičara današnjice, profesor na Prinston Univerzitetu, dobio je visoku temperaturu i, nakon tri dana groznice, umro je 11. aprila 2020. godine. Odneo ga je COVID – 19. O tom izuzetnom čoveku je ovaj blog .
Prema jednoj paušalnoj i nepreciznoj (ali često korišćenoj) klasifikaciji postoje dve vrste pisaca: oni koji su živeli ili žive uzbudljiv, riskantan i buran život, i oni koji žive skromno, povučeno i neupadljivo. Ovi prvi inspiraciju za svoje pisanje nalaze u svom izuzetno bogatom životnom iskustvu – kao primer se navodi Hemingvej, dok ovi drugi izuzetnom snagom svoje imaginacije mogu da stvaraju uzbudljive priče o ljudima i događajima i svetovima koji nas opčinjavaju – kao primer ovog načina pisanja se navodi Andrić.
Ja smatram da je matematika umetnost za sebe i da bi se matematičari, slično kao i pisci, mogli grubo podeliti na one koji su pedantni, marljivi i fokusirani na jedan cilj i tok misli, i one druge koje neka ideja povuče u jednu stranu, pa potom promene temu i bave se nečim sasvim drugim – ukratko ljudi koje ne drži ni mesto ni čas, impulsivni ljudi. Razume se, oba tipa matematičara su dali dragocene doprinose nauci i ljudskom znanju.
Ako bi po ovom kriterijumi hteli negde da svrstamo Džona Konveja, onda bi on svakako pripadao ovim drugim, nesmirenim matematičarima. Oni koji ga dobro poznaju za njega kažu da je on kombinacija Arhimeda, Mika Džegera, Ričarda Fejnmana i Salvadora Dalija. Bio je često opsednut prostim igricama i plašio se da će ta strast da mu uništi profesionalnu karijeru, sve dok nije uvideo da ga ta ista strast može dovesti do izuzetnih otkrića. I, zaista, dovela ga je. Pored velikih doprinosa u čistoj matematici (kombinatorika, teorija grupa i simetrija, teorija brojeva, itd. – o tome malo kasnije), Konvej je najveću popularnost stekao time što je izmislio Game of Life , kompjutersku simulaciju “života”. Verujem da će kompjuterski orijentisani čitaoci po tome da ga se sete.
Game of Life je “igra” bez igrača: sistem se startuje s nekim početnim uslovima na beskonačnoj mreži i dozvoli mu se da se razvija poštujući zadata pravila razvoja.
Slika 1
Konkretno, zamislimo da imamo papir “u kockice” proizvoljne veličine, i da neke od tih kockica (ćelija) obojimo ili zatamnimo. Ova zatamnjivanja uradimo na proizvoljan način. Zatamnjene ćelije ćemo zvati “žive” dok su ostale, nezatamnjene, “nežive”.
Ta početna konfiguracija živih i neživih ćelija se zove seed (seme). To je početak “života” koji smo mi napravili. Život tada dalje nastavlja da se “razvija” prema sledećim pravilima. Prvo, u svakom ciklusu, ili vremenskoj jedinici (generaciji) sve kockice (ćelije) istovremeno ažuriraju svoj status na sledeći način:
1. Svaka živa ćelija sa manje od dva živa suseda umre, što simulira nedovoljnu populaciju za produžetak života.
2. Svaka živa ćelija sa dva ili više živa suseda ostaje živa do sledeće generacije.
3. Svaka živa ćelija sa više od tri živa suseda umre, što simulira prenaseljenost.
4. Svaka mrtva ćelija sa tačno tri živa suseda postaje živa, što simulira reprodukciju.
Svaka ćelija u ovom “kockastom svetu” ima 8 suseda : 4 direktna -sever, jug, istok, zapad, i 4 dijagonalna - severoistok, severozapad, jugoistok i jugozapad. Kao što se vidi iz pravila, stanje u svakoj nerednoj generaciji isključivo zavisi od stanja u prethodnoj generaciji. Naravno, ako smo startovali život sa nepovoljnim početnim uslovima, on će posle malog broja generacija da se ugasi – najčešće zbog nedovoljne naseljenosti (pravilo br. 1) ili prenaseljenosti (pravilo br. 2).
Međutim, kada započnemo sa “povoljnim” početnim uslovima, život počne da dobija svojevrsne forme: neke strukture su statične, neke pulsirajuće, a neke putujuće.
Pulsirajuće životne strukture mogu da imaju period 2 (kao što je ova prikazana na srednjoj slici), ali postoje strukture i sa većim periodima, recimo 15. Drugim rečima, posle 15 generacija struktura se obnavlja i vraća na početno stanje.
Složeniju situaciju ilustruje Slika 1 gore koja prikazuje komplikovaniju strukturu koja evoluira u svom ciklusu i istovremeno “ispaljuje” rafal glajdera.
Pored ovih simpatičnih i zabavnih rezultata, a njih ima zaista mnogo, Game of Life (GoL) sadrži u sebi dva važna nova koncepta.
Naime, GoL je konkretna konstrukcija fon Nojmanove ideje o celularnom automatu , samostalnoj strukturi koja prolaskom vremena sebe reprodukuje u novim oblicima, u zavisnosti od okoline. I drugo, GoL je primer kako kompleksne, velike, ili makro, strukture, mogu da se formiraju bez makro-koordinatora već samo uz pomoć prostih lokalnih, “mikroskopskih”, pravila razvoja. Iz ovih razloga, različite verzije GoL su korišćene za simulaciju procesa razvoja u kompjuterskim naukama, fizici, biologiji, biohemiji, ekonomiji, matematici, filozofiji i generativnim naukama (nauke koje proučavaju kako nove, super strukture, nastaju iz prostih pravila geneze).
Kasnija istraživanja u ovoj oblasti dovela su do novih verzija celularnih automata, od kojih je najpoznatija ona koju je prvi formulisao Stiven Volfram, tvorac simboličkog softvera Mathematica, početkom osamdesetih godina prošlog veka. Volfram čak smatra da njegovi automati, formulisani uz pomoć 256 prostih pravila, mogu da simuliraju sve što postoji na svetu, uključujući i kosmos. (Zainteresovani za detalje se upućuju da pogledaju njegovu knjigu A New Kind of Science).
Razvojni put Džona Konveja nije bio ni malo pravolinijski. Kao i mnogi pesnici, umetnici svih vrsta, i matematičari, on je imao neortodoksan život i nekonvencionalno ponašanje. Nakon što je primljen na studije matematike u Kembridž, i po završetku tih studija, Džon se uglavnom zabavljao raznim igricama, uglavnom trivijalne prirode.
Kao ilustraciju, i izazov blogerima koji vole matematičke zagonetke, evo jedne: koji je sledeći broj u nizu 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, … ?
Na kraju ovog teksta ću dati simpatičnu odgonetku. Iz ovog izazova su, naravno, diskvalifikovani ljudi kao što je Marco.
Sam Konvej je bio svestan da traći vreme na trivijalnim stvarima i on taj svoj period u životu zove “Crna praznina”. Nekom prilikom, sretne ga jedan prijatelj, matematčar na Kembridžu, i zainteresuje ga za sledeći problem, vezan za geometriju i simetrije. Za formulaciju tog problema, neophodan je jedan kratak uvod.
Ako bi imali identične novčiće na stolu i neko nas pita koliko najviše novčića može da rasporedi oko jednog centralnog tako da ga dodiruju a da se ne preklapaju, uz malo eksperimentisanja došli bi do broja 6. Ta situacija je nacrtana na slici dole (originalna crtež Konveja). Drugim rečima najgušće pakovanje novčića (krugova) u dvodimenzionalnoj ravni je tu predstavljeno. Ako bi sada obeležili centre tih novčića i te centre spojili linijama, dobili bi regularni heksagon, odnosno ako, ovo proširimo na celu ravan, heksagonalnu rešetku. Ovaj maksimalni broj krugova, 6 u ovom primeru, se zove kissing number.
Slično pitanje o maksimalnom broju može da se postavi i za druge dimenzije. Recimo, u trodimenzionalnom prostoru, kissing number (maksimalni broj) sfera koji istovremeno može da dodiruje centralnu sferu, a da se pri tome sfere ne preklapaju, je 12, a objekat koji se prilikom takvog pakovanja formira je regularni ikosaedar. Najgušće pakovanje sfera formira Body Centered Cubic (BCC) rešetku.
Ovo pitanje o kissing broju (KN) i najgušćem pakovanju se može, naravno, postaviti i za druge prostorne dimenzije. Nažalost, tačan odgovor se zna još samo za četvorodimenzionalni prostor (KN=24), za osmodimenzionalni prostor (KN=240), i, neočekivano, za 24-dimenzionalni prostor (KN=196,560). Za sve dimenzije između ovih, precizan odgovor se još ne zna. Kada se centri ovih gusto pakovanih 196,560 dvadesetčetvorodimenzionalnih sfera spoje, dobije se objekat koji formira tzv. Lič (Leech) rešetku, slično kao što u 2 dimenzije heksagon formira heksagonalnu rešetku.
Ovde, najzad!, stižemo do cilja. Poznato je da heksagon ima 12 simetrija (šest rotacija i šest refleksija) i to se uči u osnovnoj školi. Pitanje koje je tada postavljeno Konveju je: koliko simetrija ima Leech rešetka? Ovo je bio početak Konvejevog interesa za simetrije, pakovanja u prostoru i slične problem. Taj interes je kasnije proizveo mnogo značajnih radova, knjiga i rezultata. Džon Konvej se najzad posvetio jednom ozbiljnom problemu, tokom jednog vikenda se zaključao u sobu i istog dana našao odgovor. Broj simetrija Leech-ove rešetke je tačno 8.315.553.613.086.720.000.
Ova dva primera, Game of Life, i simetrije i pakovanja, su samo delić novih rezultata koje je Džon Konvej tokom svoje briljantne matematičke karijere proizveo. Uzaludan je pokušaj da se na ovakvom mestu svi njegovi rezultati navedu.
O Konveju postoji nebrojeno mnogo anegdota, trikova, doskočica, itd. On je uvek pri sebi imao igračkice, pantljike, vešalicu za garderobu, klikere i slične “rekvizite” pomoću kojih je demonstrirao studentima nove matematičke koncepte.
Dobitnik velikog broja nagrada i priznanja, članstva u prestižnim svetskim društvima, Konvej je imao i buran porodični život. Više puta se ženio, imao je ukupno osmoro dece (tri sina i pet ćerki), doživeo je ozbiljan srčani udar, pokušao samoubistvo tokom prvog razvoda, itd. Pre nekoliko godina su napravili skenerski snimak njegovog mozga, a postoji knjiga o njegovom životu i radu “Genius at Play”.
Džon Konvej je do kraja života aktivno radio. Pre nekoliko dana ga je sustigao ovaj virus, taj samo-replicirajući komad genetskog koda. Na veliku žalost, ovaj čovek, pred kojim je stajalo još mnogo godina istraživanja i nauke, ovog puta je izgubio u svojoj Igri Života (Game of Life).
P.S. Ima jedan odličan intervju sa Konvejom u kome on priča o svom radu, o sebi, o životu i smrti. Taj klip ću da postavim u početnom komentaru. Dug je nekih 12minuta koliko se sećam, ali je vredan tog vremena.
P.P.S. Odgonetku za onaj izazov (o nizu brojeva) ću postaviti u komentarima.
EDIT EDIT EDIT
Tek danas, 16.04.2020, se u NY Times-u pojavila vest o smrti Džona Konveja.