Na zakasnjelu vijest o smrti jednog naučnika...
Majkl Fajgenbaum (1944-2019)
Ekologija kao naučna disciplina nastaje u XX vijeku, iz pokušaja pojedinih biologa da iz vreve i šuma stvarnoga života apstrakuju matematičke zakonitosti. Njihova osnovna zamisao bila je sagledati konkretne populacije kao dinamičke sisteme, a zatima analizom njihovog ponašana utvditi karakteristike tih sistema.
Šta se dešava sa populacijom upućenom na ogranićene izvore hrane, i kako će se ona nositio sa konkurentskim vrstama, ekolozi pokušavaju da sagledaju kroz odgovarajuće matematičke modele.
No, život je neizmjerno složen u svojoj pojavnosti, sa neborjeno mnogo faktora, koji su pri tom i međusobno povezani, i njegova kompleksnost je zastrašujuća.
Ekolozi su zato bili prinuđeni da otklone što više "šuma" i pokušaju da uoče osnovne principe.
Za razliku od fizičara, koji na osnovu ponašanja sistema stvaraju adekvatan matematički model, kojim će simulirati posmatrani proces, ekolozi su prinuđeni da skupljaju podatke sa terena, pa da na osnovu dešavanja u narednom vremenu otkrivaju postojeće kauzalnosti, odnosno formiraju odgovarajuće jednačine.
Osnovno pitanje koje je zanima ekologe jeste - šta se dešava sa određenom populacijom koja na raspolaganju ima ograničen izvor hrane?
Pošto u prirodi za mnoge vrste vladaju godišnji ciklusi, biolozi su mogli vrijednosti da očitavaju periodično. Ovo im je omogućilo da umjesto složenih diferencijalnihh jednačina koriste prostije – diferentne.
Takođe, oni uvode još jedan formalizam (koji je sasvim opravdan za posmtarnje izolovanih kolonija, npr. riba u bazenima, i sl.) a to je da veličina populacije u potpunosti zavisi od njenje prošlogodišnje veličine.
Odnosno, matematički zapisano:
x sledeće = F(x), gdje je x- sadašnja populacija.
Naravno, mogući su različiti oblici ove funkcije. Jedan od prvih, i naravno naivnijih, bio je onaj koji je predložio Robert Maltus, osnivač demografije.
Po Maltusu,
x sledeće = rx gdje r predstavlja stopu (rasta)
Ovo je tzv. katastrofični scenario, jer veličina populacije ( za r veće od 1) raste geometrijskom progesijom, sve dok toliko ne naraste da uništi sve rezerve hrane i izazove sopstveni pomor.
Za r manje od 1, veličina populacije matematički teži 0.
(na primjer, recimo da je x1 = 0,5 i r = 0,8
x2 = 0,8 * 0,5 = 0,48
x3 = 0,8 * 0,48 = 0,384
x4 = 0,8 * 0,384 = 0,184...
x5 = 0,8 * 0,18342 = 0,088..
...
jasno je da se daljim ponavljanjem postpuka dobija sve manje i manje xn)
Maltus je smatrao da iz ove zakonitosti slijedi i neminovna propast ljudske vrste bez obzira na tehnološki razvoj. Pošto su resursi ograničeni, a rast populacije nije, na kraju neizbježno slijedi - katastrofa.
Međutim, mi znamo da ne peživljavaju sve jedinke, odnosno da postojeći izraz treba korigovati članom (1-x) koji će u obzir uzimati opadanje, tj. umiranje.Odnosno,
x sledeće = rx(1-x)
Ovdje treba primjetiti da je x ustvari relativna vrijednost od maksimalne moguće populacije. A maskimalna vrijednost je ona na kojoj populacija sama sebe „pojede“. Maximalna vrijednost u relativnim vrijednostima je 1. Ne može više od toga.
Kada je x=x max, tada je (1-1)=0, pa slijedi i da je x sledeće = 0.
Ova jednačina se inače zove „logistička diferentna jednačina“. Pedesetih godina XX vijeka ekolozi su je koristili u raznim oblicima.
No, tek su fizičar Džejms Jork i biolog Robert Mej do kraja izanalizirali njene osobine i otkrili ono što je Mej nazvao „zmija u matematičkoj travi“.
Ako grafički predstavimo zavisnost xn+1 (tj. x sledeće) od xn (sadašnje stanje) dobijemo ovakvu krivu
ovo je slučaj za r = 4
Prostim računanjem uz pomoć digitrona, primjećuje se da za izabrano r (r>1), nakon nekoliko iteracija, bez obzira na početnu vrijednost, populacija vremenom teži da se ustali na određenoj fiksnoj vrijednosti. Ta vrijednost zavisi jedino od stope priraštaja r.
Pa tako za r=2, xn se ustali na 0,5
za r=2,3 na 0,5652...
za r=2,6 na 0,6154...
Naravno, ako je r manje od 1, xn će težiti ka 0.
A evo i primjera kako se grafički određuje stanje na kojem će se populacija stabilizovati.
Kroz grafik je povučena prava y=x, tako da se dobijena vrijednost xn+1 odmah prebacuje u naredno xn iz kojeg se dobija novo xn+1, itd. Nakon određenog broja iteracija vrijednosti će se zaustaviti u jednoj tački.
Jork i Mej se nisu zadovoljavali samo ovim karakteristikama jednačine, koje se vrlo brzo uoče. Oni su nastavili da ponavljaju iteracije za sve veće vrijednost r. I stvari su ubrzo počele da bivaju sve čudnije.
Na donjem grafiku prikazana je zavisnost populacije (xn) od stope prirasta (r).
Kao što smo ranije pokazali, za r manje od 1, x je jednako 0 (populacija na kraju nestaje), pa se dijagram prikazuje samo za r veće od 1.
Zajedno sa r, raste i vrijednost populacije, a onda na r=3, dolazi do pojave bifurkacije - grafik se dijeli na dva rukavca.
Ovo praktično znači da će vrijednost populacije iz godine u godinu oscilirati između dva ravnoztežna stanja.
Kako se r povećava, dolazi do daljih račvanja na 4 rukavca, i sad vrijednost populacije počinje da oscilira između 4 ravnotežna stanja.
Daljim povećanjem slijedi dalje grananje na 8, 16, 32 rukavca i onda, negdje na oko r=3,6, počinje haos.
Više ne postoji određeno ravnotežno stanje i veličina populacije može da skače iz vrijednosti u vrijednost potpuno nasumično.
Daljim povećanjem r, opet se pojavljuju prozori reda, sa 3 ravnotežna stanja. A zatim ponovo haos, pa red i na kraju opet haos...
Očigledno da prikazani grafik predstavlja fraktalnu sliku.
Džejsm Jork je kasnijim radom dokazao da za svaki jednodimenzionalni sistem u kojem se pojavi pravilni period 3 (osilacija između tri tačke, tj. stanje na desnom kraju gornjeg dijagrama), to neminovno znači da će se pojaviti i regularne periode svake druge dužine ali i haotični ciklusi. Ovo je lakonski uobličio u stav - Period tri implicira haos.
U kompjuterskoj nauci, bifurkacioni dijagrami koristili su se kao prvi generatori slučajnih brojeva
Što se biologije tiče, među naučnicima je došlo do velike polarizacije mišljenja oko implikacija ovog otkrića.
Jedni su tvrdili da je to dokaz primarne uređenosti populacija, s povremenim haotičnim incidentima, dok su drugi smatrali da da je haos prirodno stanje, a pojava reda iznimka.
Majkl Fajgenbaum, matematički fizičar, otkrio je, koristeći svoj računar HP-65, da je odnos među periodima nastanka bifurkacija konstantan i da iznosi 4,669201...
δ = (S1-S0)/(S2-S1) = (S3-S2)/(S2-S1) = ... = (Sn+1-Sn)/(Sn-Sn-1) = 4,669201...
Ovaj odnos,označen sa δ, prestavlja transcendentni broj i nazvan je po svom otkrivaocu - Fajgenbaumova konstanta.
Fajgenbaum je, između ostalog, otkrio i da se isti obrazac ponašanja, sa istom konstantom, javlja u čitavoj klasi jednodimenzionalnih funkcija sa kvadratičnim maksimumom (koje u području maksimuma liče na parabolu).
Npr. za funkciju xn+1 = µ sin(πxn), bifurkacioni dijagram izgleda ovako
Više tu nije bilo riječi samo o logističkim mapama i populacijama labotatorijskih moljaca i riba u ribnjacima. Ista zakonitos se pojavljivala i u fizičkim procesima, pojavi turbulencije, radu srca, fluktuacijama cijena...Ma gdje se pojavile bifurkacije, za njih važi Fajgenbauova odnos. Recimo, ako polako otvarate česmu, ritam kapljica se mjenja i pojačava baš na ovaj način.
Fajgenbaumov rad je, kao što je i bilo za očekivati, snažno odjedknuo u naučnoj zajednici. On sam je imao priliku da ga brani i prezentuje na više eminentnih naučnih skupova. No, nije svuda nailazio na blagonaklon prijem.
Njegova slava je posebno zasmetala čovjeku koji je smatrao da sve počasti u vezi fraktala pripadaju njemu. Naravno, radi se o Benoi Mandelbrotu.
1984. na Nobelovom simpozijumu, u Švedskoj, njih dvojica su se i suočila za katedrom, gdje je Mandelbrot pokazivao dvadeset godina star rad finskog matematičara Mirberga, o udvostručavanju perioda i cijelo vrijeme je Fajngebauove sekvence nazivao Mirbergovim skvencama.
Ipak, Majkl Fajngenbaum je prvi uočio univerzalnost i teorijski objasnio čitav koncept.
A između jednodimenzionalnog bifurkacionog dijagrama i Mandelbrotovog skupa (od ranije poznatog i široj blogerskoj javnosti kao skup svih Žilijeovih skupova) postoji itekako zanimljiva veza. Bifurkacioni dijagram i nije ništa drugo do preslikavanje na realnoj osi Mandelbrotovog skupa.
Svaki novi krug označava povećanje perioda oscilacije za 2. Posljednji prozor reda je na malom ostrvcetu koji i sam ima oblik čitavog skupa.
"Pravi" haos je izgleda u rogu Mandelbrotovog skupa ;)