Eksperimentalci misle da je pretpostavka o normalnosti dokazana matematička teorema, dok matematičari veruju da je ona eksperimentalno utvrdjena činjenica.
Obradjujem ovih dana neke podatke ''sa terena'' i primetim da mnogi statistički metodi za poredjenje različitih populacija - pušača i nepušača, na primer, ili lekara i bolničarki, itd. - u sebi implicitno sadrže pretpostavku o normalnosti populacija koje se porede. Ako bi ova pretpostavka bila izbačena, mnogi od tih metoda ne bi bili primenljivi, ili bi dali neprecizne rezultate.
Pretpostavka o normalnosti se najlakše ilustruje onim grafikom gore. Rečima, taj grafik kaže sledeće: Zamislimo da merimo neku osobinu u populaciji od 1000 ljudi - krvni pritisak, recimo, i pogledamo u te podatke. Iz njih lako možemo da izračunamo prosečni krvni pritisak te populacije (što je važan podatak - kao na primer prosečan telefonski broj pretplatnika sa Novog Beograda). Taj prosečni krvni pritisak se zove srednja vrednost.
Ako bi tabelarno ili grafički predstavili te podatke o krvnom pritisku naše populacije, onda bi ubrzo uvideli da najveći broj ljudi ima prosečni krvni pritisak (sa malim odstupanjima), da manji broj ljudi ima krvni pritisak koji se prilično razlikuje od proseka (i na jednu i na drugu stranu), i da veoma mali broj ljudi ima pritisak koji se značajno i upadljivo razlikuje od proseka. Najzad, u našoj populaciji će se naći i par ljudi čiji se krvni pritisak ekstremno razlikuje od proseka - ili je veoma visok, ili veoma nizak u odnosu na prosek.
Statističari su izmislili i aršin po kome se ovo odstupanje od proseka meri - taj aršin se zove standardna devijacija. Za svaki skup podataka o populaciji, standadna devijacija je različita (nekad je raznovrsnost veća, nekad manja), i ona se lako može izračunati po formuli koja u sebi sadrži kvadrate i kvadratne korene, pa je zato ne navodim. U svakom slučaju, najveći broj ljudi (oko 68%) se nalazi unutar jedne standardne devijacije od proseka, skoro svi (oko 95.5%) se nalaze unutar dve standardne devijacije, dok samo oko 0.3% ljudi odstupa tri ili više standardnih devijacija od proseka. Skoro svi smo, manje više, prosečni ili malo odstupamo od proseka na jednu ili drugu stranu, a samo manji broj je po nekoj osobini izuzetan i mnogo se razlikuje od proseka (na ovo, razume se, izuzetni ljudi ne moraju uvek da budu ponosni - nije razlog da se ponosite ako vam je krvni pritisak veoma veoma visok). Sve ovo rečeno je šematski predstavljeno grafikom na prvoj slici.
Taj grafik je, naravno, idealizacija istinskih podataka ''sa terena''. I ta idealizacija je u statistici veoma korisna. Ona se zove ''normalna'' raspodela, koju je otkrio de Moivre 1733. godine. Tu raspodelu je kasnije koristio Gaus u obradi astronomskih podataka, pa je fizičari često zovu i Gausova raspodela. Termin ''raspodela'' je sasvim adekvatan jer nam taj grafik pokazuje kako je neka osobina ''raspodeljena'' po populaciji - koliko je Priroda bila škrta ili darežljiva kada nam je neku osobinu dodeljivala. Najčešće je davala svima otprilike isto, ali je u nekim retkim slučajevima bila ili izuzetno škrta ili galantna, a u najredjim slučajevima je, možda, i vutra intervenisala.
Istina je, takodje, da mnoge osobine, u prirodi, kod ljudi ili životinja i biljaka, u fizičkim procesima, itd., podležu normalnoj raspodeli. Tj., pretpostavka o normalnosti ove osobine u populaciji je tačna. Ovo je obično tako ako je ta osobina od interesa posledica mnogih slučajnih faktora. Recimo, veličina biljke suncokreta na nekoj njivi zavisi od položaja te njive prema stranama sveta, nagibu, količini padavina, itd. Najveći broj stabljika ima prosečnu visinu (ili blisku prosečnoj), manje njih ima visinu primetno različitu od proseka ( na jedni i drugu stranu otprilike podjednako), a samo mali broj njih je ili veoma visok ili sasvim zakržljao u odnosu na prosek.
Podvukao sam reč ''podjednako'' u prethodnoj rečenici, jer to je važna osobina normalne raspodele - ona je simetrična oko srednje vrednosti. Broj izuzetno visokih i izuzetno niskih, izuzetno nadarenih i izuzetno nenadarenih, izuzetno bogatih i izuzetno siromašnih, je otprilike isti. Hm, a da li je to zaista tako? Ili da ponovim pitanje iz naslova - da li smo mi, ljudi, normalni? Posebno me zanima da li je broj izuzetnih - i na jednu i na drugu stranu od proseka - otprilike jednak, kako to kaze pretpostavka o normalnosti.
Razmislimo, na trenutak, o osobini kako što je talenat za pevanje, na primer. Najveći broj nas ume da nesto odzvižduće ili otpevuši, i eventualno zapeva glasnije dok se tušira i misli da ga niko ne čuje. Ima ih i koji mogu da ''puste glas'' i prijatno ih je slušati, i otprilike sličan broj njih koji ponajviše krešti kad peva. Medjutim, ja poznajem nezanemarljiv broj ljudi koji kad zapevaju ''stanu da zaurlavaju nešto otegnuto i strahovito'', kako bi rekao Andrić, a samo jedan je Pavaroti.
Po izuzecima se raspodela poznaje, djavo je u detaljima, ili, kako statističari kažu - sva je istina u ''repovima'' raspodele. U tome kako su ekstremi rasporedjeni.
Ili, drugi primer. Broj nesrećnih ljudi siromaha, sirotih kao sirće, na ovoj planeti bi, ako smo normalni, morao da bude skoro isti kao i broj teških bogatuna. To nalaze simetrija normalne raspodele oko proseka. Da vidimo kako se ta računica slaže. Da bi se postigla ''prosečna imućnost'' stanovnika planete kakva je danas, na svakog gazilionera, čija je imovina mnogo miliona puta veća od proseka, mora da dodje mnogo miliona totalnih siromaha da bi prosek imućnosti bio taj koji je. Za svakog jednog u jednom ekstremu, mora postojati mnogo miliona u drugom - ta raspodela ne može da bude normalna. Dobro, ako nije normalna, zašto nije normalna?
Pa, setimo se, normalna raspodela obično važi za neku osobinu koja je rezultat mnogih slučajnih faktora, kao što je to kod visine biljke suncokreta. Materijalno bogatstvo, svi su izgledi, nije posledica slučajnih faktora. To, rekao bih, važi i za talenat za pevanje, ili inteligenciju, ili obrazovanje. Neke osobine se mogu specifičnim trudom i zalaganjem, vežbom i sklekovima, promeniti u željenom pravcu (neke, naravno, ne mogu). Potrebno je samo da čovek ima jaku odluku i malo pameti.
A ljudi su, mahom, pametni. I nisu normalni.
