Svaki problem je trivijalan, jednom kada je rešen (I. Ginsburg)
Kolaps svetskog finansijskog sistema se, po svemu sudeći, nastavlja, i niko ne ume pouzdano da kaže kada će se završiti, niti koliko žrtava će odneti. Ovo se posebno odnosi na ''neočekivanu'' hipotekarnu krizu koja ne pokazuje znake povlačenja ili smirivanja. Meni lično, kao laiku za finansije, je neočekivano da hipotekarni sistem uopšte postoji. Ako malo bolje razmislite, ideja da milioni prosečnih ljudi, koji imaju skromna sredstva na raspolaganju, mogu da kupe i poseduju kuću je suprotna zdravom razumu.
Količina novca koja je u pitanju je tolika da je prosečnom gradjaninu potrebno 20 do 30 godina zarade da zajam za kuću vrati. U tom periodu, svašta može da se dogodi - od fluktuacije kamata, do prirodnih nepogoda koje mogu da unište kuću, i naizgled je nemoguće da se bankama i drugim finansijskim institucijama isplati, ili da čak dobro profitiraju, pozajmljujući novac kupcima nekretnina na duži rok. Odgovor je, naravno, u mogućnosti predvidjanja budućnosti pomoću matematičke verovatnoće. Na tome se, zapravo, i zasniva celokupna mašinerija osiguranja, derivata, hedge fondova i slično.
Pošto se spremam da napišem blog o kolapsu složenih sistema, i dinamici tog kolapsa (strogo u matematičko-fizičkom smislu), pomislio sam da bi bilo korisno najpre nešto reći o istoriji matematičkih predvidjanja budućnosti. O tome je ovaj blog.
Antoine Gombaud (1607 - 1684), poznatiji kao Chevalier de Mere, je bio francuski plemić, bonvivan i pisac. Njegove knjige uključuju i rasprave o šarmu, duhovitosti i konverzaciji, kako je to već priličilo krugovima u kojima se kretao. Medjutim, De Mere je takodje bio i bogat čovek, koji je pristojan deo svog bogatstva stekao kockom.
Kocka je, kao što znamo, pronadjena u arheološkim nalazištima koja datiraju još iz Starog Egipta, i u vreme de Mere-a je bila popularna zabava medju bogatašima.
Jedna od de Mere-ovih omiljenih igara je bila da se kladi da iz četiri (4) bacanja kocke može makar jednom da dobije šesticu (6). U toj igri je bio veoma uspešan, a evo zašto. Prilikom svakog bacanja kocke, verovatnoća je 5/6 da neće ispasti 6-ica, i, razume se, 1/6 =1-5/6 da hoće. Kod 4 bacanja kocke, verovatnoća da neće ispasti 6-ica je (5/6)^4, i 1-(5/6)^4 da hoće. Medjutim, ova poslednja verovatnoća iznosi 1-(5/6)^4=0.5177..., ili oko 52%, tako da je de Mere imao više od 50% šanse da će dobiti. Na duže staze, samo na ovoj maloj razlici od 2% je de Mere stekao solidan imetak i proslavio se kao jedan od najvećih kockara svog vremena.
Medjutim, de Mere je tokom svoje kockarske karijere došao do jednog problema koji nije umeo da reši (za njega se pričalo da je bio šarmantan i zabavan u društvu, ali da je bio loš matematičar). Ovaj problem, poznat danas kao Point Problem, ili Problem Završetka se sastoji u sledećem.
Zamislimo da dva igrača bacaju kocku naizmenično, i da prilikom svakog bacanja svaki uloži na talon dogovorenu fiksnu količinu novca, recimo 1 euro. Prvi igrač koji dostigne unapred dogovoreni broj pobeda nosi talon. Recimo, jedan igrač igra na 6, drugi na 1, i igra se u 100 pobeda. Radi jednostavnosti, zamislimo takodje da kocka ima samo šestice i jedinice na sebi, tako da prilikom svakog bacanja jedan od igrača obavezno dobija. Prvi igrač koji je bacio 100 puta svoj broj nosi sav novac na talonu. Problem Zavrsetka je u sledećem:
ako se, iz nekih razloga, igra prekine pre nego što je bilo koji od igrača dostigao 100 pobeda, kako podeliti talon, a da to bude ''fer'', u nekom smislu?
Ovaj problem je bio postavljen još 1494. godine u knjizi Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita italijanskog matematičara Luke Pacioli-a. Njegovo rešenje je bilo da se svakom igraču dodeli deo talona prororcionalan broju pobeda. Ako se, recimo igralo u 100 pobeda, jedan igrač je imao 30 a drugi 20 pobeda kad je igra prekinuta, onda prvi igrač odnosi 3/5, a drugi 2/5 novca u talonu. Medjutim, ovakva podela nije ''fer''.
Naime, zamislimo da je jedan igrač imao 95 pobeda, a drugi 85, u istoj igri do 100 pobeda. Ovaj sa 95 pobeda je imao mnogo više šanse da pobedi celu igru (i odnese sve), a to se u Pacioliovom rešenju ne odražava. U njegovom rešenju jedino je bitna razlika izmedju broja pobeda, a ne i koliko je svakom igraču preostalo povoljnih bacanja do konačne pobede u igri. Neko ko ima 99 pobeda kad se igra od 100 pobeda prekine ima mnogo više šanse da bude konačni pobednik, nego neko ko je prekinut sa 50 pobeda.
Mnogi matematičari tog vremena (čak neki veoma poznati) su pokušavali da reše ovaj problem, ali bezuspešno. De Mere je predočio ovaj problem B. Paskalu koji počne da se dopisuje sa P. Fermat-om i njih dvojica dodju najzad do rešenja.
Ključni uvid u pronalasku rešenja ovog problema je bio sledeći. Zamislimo da je jednom igraču preostalo 5 a drugom 8 povoljnih bacanja do konačne pobede. (Uopšte nije bitna istorija igre ni kako se došlo do stanja rezltata zatečenog prilikom prekida). Tada je izvesno da bi se igra sigurno završila za najviše 5+8-1=12 narednih bacanja, da je nastavljena do kraja. U tom slučaju, potrebno je napraviti spisak svih mogućih ishoda od 12 bacanja, i talon podeliti prema proporciji ishoda povoljnih za jednog odnosno drugog igrača. Ideja je, dakle, da se izračunaju svi mogući načini na koje bi budućnost mogla da se dogodi, i da se prebroje odredjeni ishodi (i, razume se, njihova verovatnoća) koji vode do pobede jednog, odnosno drugog igrača.
Kad je Fermat predložio ovo rešenje Paskalu, on je u prvi mah odbio da ga razmatra jer je smatrao da je nemoguće matematički predvideti buduće dogadjaje. Ipak, ubrzo je uvideo osnovni koncept i u velikoj meri pojednostavio Fermatovo rešenje.
U ono vreme, ljudi su verovali da budućnost nije predvidljiva, posebno ne na matematički precizan način, i da je sve u rukama sudbine. Danas, mi smo navikli da razmišljamo o 40% verovatnoće da će sutra padati kiša, ili 49% prema 42% prednosti koju Obama ima u odnosu na McCaine-a, itd. U ono vreme to je bio naučni preokret koji je kasnije doveo do razvoja teorije verovatnoće, statistike i ostalih matematičkih tehnika koje nam omogućevaju da trošimo nepostojeći novac na kreditnim karticama, da kupimo automobil, kuću, ili osiguranje.
Brzina kojom se matematika dalje razvijala je zapanjujuća.
· 1657. Christian Huyghens je napisao rad od 16 stranica u kome je u velikoj meri zasnovao savremenu teoriju verovatnoće.
· 1662. John Graunt, Engleski trgovac tekstilnom robom, je štampao analizu londonskih tablica smrtnosti i na taj način zasnovao modernu teoriju statističkog predvidjanja.
· 1669. Huyghens koristi svoju novu teoriju verovatnoće da preciznije proračuna Grauntove tablice smrtnosti
· 1709. Nikolas Bernoulli je napisao knjigu u kojoj je pokazao kako se novi metod moze primeniti u zakonskoj praksi. Recimo, pokazao je kako da izračuna koliko dugo neko može da se zakonski vodi kao ‘'nestao'' pre nego što bude sudski proglašen mrtvim, kako bi naslednici mogli da podele zaostavštinu.
· 1713. Jakob Bernoulli je napisao knjigu u kojoj je pokazao kako se nova teorija moze primeniti na svakodnevni život. Ovde je prvi put reč ‘'verovatnoća'' upotrebljena precizno, u danasnjem smislu. On je takodje dokazao zakon velikih brojeva.
· 1732. Prva američka osiguravajuća kompanija je osnovana u Južnoj Karolini i ograničila se na osiguranje od požara.
· 1732. Edward Lloyd osnovao kompaniju koja je kasnije prerasla u Lloyd-ovu listu, a kasnije i u osiguravajuću kompaniju Lloyds of London.
· 1733. Abraham de Moivre otkriva ‘'zvonastu krivu'', ikonu današnje obrade podataka.
· 1738. Daniel Bernoulli uvodi koncept utility-ja, da bi lakše mogao da razmatra proces donošenja odluka u prisustvu neizvesnosti
· 1760-te. Prve kompanije za životno osiguranje su osnovane.
·
·
· 2008. Planetarni sistem finansija, osiguranja, predvidjanja, špekulacija i opklada na berzi, zasnovan na gornjim metodama, doživi kolaps sa kojim ćemo još godinama živeti. Osim, razume se, ako se nešto neočekivano u medjuvremenu ne dogodi. Hoće li neko da se kladi?