Ovih dana se na internetu pojavila senzacionalna vest da je šesnaestogodišnjak Shouryya Ray, poreklom iz Indije (Kalkuta), koji živi u Drezdenu, u Nemačkoj, rešio tri stotine godina star problem iz balistike. Taj problem je još Njutn postavio, i u novinama piše da je on godinama zadavao glavobolje vrhunskim matematičarima.
Za svoje rešenje, Ray je dobio prestižnu nagradu koja služi da stimuliše nauku i dodeljuje se mladim istraživačima.
Ray se doselio u Drezden pre 4 godine i nije znao ni reč nemačkog jezika, a danas o njemu sve novine pišu, hvaleći ga kao nezapamćenog genija. Vest se prvo pojavila u Nemačkom Welt-u, a kasnije su je prenele mnoge druge novine. Razume se, najviše entuzijazma su pokazali novinari iz Indije koji ne štede superlative da predstave rad ovog talentovanog mladića.
‘Stotine hiljada genija je pokušavalo da reši ovaj problem, ali samo je Ray uspeo’, ‘Njegov uspeh je najveći jer će pomoći naučnicima da reše neke od najvećih problema današnjice’, samo su neki od izveštaja koji su se pojavili u, na primer, Times of India. Pa, nije mi poznato da je na Zamlji ikada živelo ‘stotine hiljada genija’ i da su baš svi rešavali ovaj problem, ali razumem entuzijazam izveštača. Medjutim, ako ceo slučaj razmotrimo malo hladnije glave, stvari su ipak nijansirane. O tome je ovaj blog. O tim nijansama.
Prvo, ni Ray ni njegova škola nisu ovo rešenje poslali u neki naučni časopis, pa još uvek nisu jasni detalji računa. Sve što imamo jeste gomila senzacionalističkih napisa u novinama (mnogi su prosto međusobno prepisivali ovu vest), par fotografija i ništa više. O tome ću kasnije. Sada, prvo da pogledamo o kakvom je problemu reč.
Balistika proučava kretanje projektila izbačenog pod različitim uslovima kao što su ugao izbačaja, brzina, otpor sredine, itd. Rešiti balistički problem znači naći putanju (trajektoriju) takvog projektila u zavisnosti od početnih uslova izbačaja. Time se odgovara na pitanje kao: koliko daleko će projektil da dobaci?, koliko dugo će da leti?, koliku visinu će da dostigne?, itd. Fizika ovog problema je elementarna – reč je o klasičnoj mehanici kretanja nekog objekta pod dejstvom konstantne sile (u ovom slučaju gravitacije).
Recimo, ako projektil lansiramo pravo u vis (neki će se setiti lekcije vertikalan hitac, ili hitac u vis, iz osnovne skole), na njega deluje gravitacion sila koja ga privlači pravo nazad ka zemlji, pa će on, stalno usporavajući, odleteti do izvesne visine (ta visina zavisi od kvadrata početne brzine lansiranja), gde će, najzad, izgubiti brzinu i pasti slobodnim padom nazad na zemlju.
Ako taj isti projektil lansiramo pod nekim oštrim uglom u odnosu na horizontalu (kao na onoj slici topa gore), onda problem postaje malo komplikovaniji, ali i dalje je, u suštini, trivijalan. Naizgled, ovde imamo kretanje projektila u ravni koju definišu vertikalna i horizontalna osa (setimo se da kod vertikalnog hica imamo kretanje samo duž jedne, vertikalne, ose ili linije). Međutim, budući da gravitaciona sila deluje samo duž vertikalne ose, onda ovaj ‘dvodimenzionalni’ problem može lako da se dekomponuje u dva nezavisna jednodimenziona kretanja – jedno duž vertikale pod dejstvom gravitacione sile, i drugo, duž horizontale, bez prisustva sile. I ovaj problem je onda lako rešiv i uči se u školi kao kos hitac. Balistički problem je rešen. E, sad dolazi nijansa.
Kada smo ove lekcije učili u osnovnoj školi, obično bi nam rekli da u realnom svetu projektili lete kroz vazduh (da se ne zamajavamo podvodnim torpedima za sada), a vazduh pruža otpor takvom kretanju, pa se pojavljuje i sila otpora vazduha, koja mora da se uzme u razmatranje, ako hoćemo da računamo trajektorije (putanje) realnih projektila. Sila otpora vazduha je, u suštini, sila trenja izmedju projektila i vazduha i ona zavisi od brzine kretanja projektila – što je brzina kretanja veća, to je i trenje (otpor vazduha) veće.
Kao prva aproksimacija uzima se da je sila otpora vazduha prosto linearno srazmerna brzini, i ta se sila dodaje u jednačinu kretanja projektila. Svi znamo, naravno, da je ta jednačina ma=F, tj. Njutnova jednačina iz Drugog zakona, koja kaže da je proizvod iz mase tela (m) i njegovog ubrzanja (a) jednak ukupnoj sili koja na telo deluje (u ovom slucaju gravitacionoj sili i sili otpora vazduha). Drugim rečima
mdv/dt=mg-cv
ovde je m masa, v vector brzine, g gravitaciono ubrzanje, a c koeficijent srazmernosti otpora vazduha. Kao što vidimo, sa desne strane jednačine imamo dve sile – gravitacionu koja deluje samo na dole, i silu otpora vazduha čiji je smer suprotan vektoru trenutne brzine kretanja projektila. Takođe se vidi da je ova jednacina (diferencijalna, prvog reda, da budem precizniji) linearna, elementarno rešiva, i dobijaju se eksponencijalno opadajuća rešenje, bla, bla, bla, koga zanima celo izvodjenje, može ga naći na Kretanje projektila uz otpor vazduha. Rečju, stvar je opet elementarna. (Ja znam, na primer, jednog Lazara, uskoro srednjoškolca, koji bi, uz malo koncentracije, ovo lako rešio).
Međutim, sila otpora vazduha nije prosto proporcionalna brzini kretanja projektila kako je to u gornjem primeru uvedeno. Bolja aproksimacija je da se ta sila predstavi u ovom matematičkom modelu kao veličina koja je srazmerna kvadratu brzine kretanja projektila, ili nekim drugim stepenom brzine. Kako tačno ta sila zavisi od brzine je stvar ekperimentalnih uslova, mnogih parametara (temperatura vazduha, recimo), oblika projektila i ostalih okolnosti koji mogu da se u realnosti steknu. Eeeee, u tom slucaju naša jednačina postaje nelinearna (kvadratna nelinearnost, na primer). Ovako
mdv/dt=mg-cv^2
Sada je situacija složenija. Nelinearne diferencijalne jednačine se mnogo teže rešavaju i ne postoji univerzalni način da se njihovo kompletno rešenje nađe. Zbog toga balističari pribegavaju numeričkim (kompjuterskim) metodama da do rešenja dođu. Ray je, čini se, konstruisao rešenje nekog takvog modela u analitičkom obliku. Mi ne znamo kog modela (jer postupak nigde nije javno postavljen), niti znamo precizno šta je on našao. Na jednoj slici koju sam video, a koju više ne mogu da nađem, on drži veliki papir sa nekom formulom u rukama. U toj formuli piše da je zbir neke tri skalirane veličine gde figurišu kao faktori brzina tela i ubrzanje Zemljine teže (bezdimenzione veličine, ako se dobro sećam) konstantan. Dakle nešto kao bla+bla+bla=const. Moguće da je našao neku invarijantu u nekom matematičkom modelu balističkog problema i to mu je krunska formula. Prema nekim fotografijama na kojima se vide formule, na nekim mestima se pojavljuje inverzni sinus hiperbolički, sto mi ukazuje da je aproksimacija sa kvadratnom zavisnošću sile otpora od brzine (integral raznih razlika kvadrata je sinus hiperbolički), ali ovo je samo špekulacija na osnovu veoma oskudnih informacija. Detalje zaista ne znam i ne mogu pouzdano da kažem kakvo je rešenje u pitanju.
Ima mnogo drugih faktora koji realni balistički problem komplikuju – uticaj vetra, promena gustine, itd., samo su neki od njih. Baš zbog toga balistički problem nikada neće biti 'rešen' zauvek jer je to nemoguće. Neki matematički modeli kretanja projektila kroz vazduh, ili drugi fluid, rešivi su u analitičkom obliku, neki će se tek rešiti, a neki neće nikad. Uvek nam ostaju kompjuterske metode koje će davati aproksimacije dovoljno dobre za praktične primene.
U ovom svetlu, nije moguće da je Ray ' rešio balistički problem', na isti način kao što nije moguće da je neko pronašao 'lek protiv raka' (kancera ima mnogo vrsta i univerzalni lek jednostavno ne postoji). I daleko je od toga da je ovo rešenje, senzacionalno najavljeno, pomoglo naučnicima da reše neke od najtežih naučnih problema današnjice, kako su to novinari predstavili. Za tako nešto potrebna je zaista nova mentalna konstrukcija, a ne samo partikularno rešenje jednog malo složenijeg problema iz matematike 19. veka.
Sve zajedno, moje razumevanje (uglavnom nagađnje) celog događaja je sledeće.
Ako ste pažljivo pratili, ovo nije samo priča o jednom bistrom momku koji se posvetio matematici, već o ...