Ala je lep ovaj svet!

nsarski RSS / 12.07.2007. u 04:21

I see trees of green........ red roses too
I see em bloom..... for me and for you
And I think to myself.... what a wonderful world.

                                (Luis Armstrong)

 Zasto i kada za nesto kazemo da je lepo? Ovo je, naravno, prastaro pitanje kojim se bavi estetika, grana filozofije. Razmisljanja o ovom pitanju se javljaju kod Platona, u Dijalozima sa Hipiasom i kasnije, prilikom pokusaja da se definise lepota. Pa se navode primeri lepe zene, zlata, itd. (Izmisljeni dijalog sa Fedrom je T. Man uzeo kao ključni motiv za "Smrt u Veneciji". )  U svakom slučaju, do konačne definicije nije se doslo, i Sokrat predlaze da se za lepo uzme ono sto je "ugodno" čoveku - sklad neke vrste, na primer. (Zanimljivo je da se na hrvatskom izraz "sklad" koristi za muziku i kompozitore.)

Ali, o ovome neću ovde pisati - ima na ovom blogu ljudi koji su mnogo kompetentniji da pisu o filozofskim aspektima lepote.

Verujem da će mnogi ljudi reći da je priroda "lepa" - zalasci sunca, vodopadi, cveće, glečeri, pustinje, livade, vrhovi planina, zitna polja, ostrva i morske plaze, itd.,  mnogi smatraju za "lepe".

Da bi videli sta je to "lepo" u prirodi, posmatrajmo sda lepe prirodne oblike, kao sto su skoljke, cveće, sare na zivotinjama i biljkama, itd. U njima postoji zanimljiva regularnost, koja je uočena jos u antičkim vremenima, i koja je sluzila mnogim umetnicima i graditeljima kao uzor. Ključno pravilo antičkog uzora lepote se zove zlatni presek (jos i "bozanska srazmera"), i o njemu je bilo reči u prethodnom blogu. Zlatni presek govori o odnosu celine i delova i kaze da, kad se Celina zlatnim presekom podeli na veći i manji deo, onda se manji deo prema većem delu odnosi kao veći deo prema celini. Primenom ovog pravila u ljudskim tvorevinama se dobija "sklad" koji je "ugodan" za gledanje - prema Platonu, dobija se lepota. Do ovog pravila se moze doći posmatrajući prirodu.

 Jedna od najčesćih geometrijskih "tema" koja se u prirodnim oblicima sreće se matematički moze izraziti preko tzv. Fibonacci-evih brojeva, a ovi su u neposrednoj vezi sa zlatnim presekom. Radi ce o celim pozitivnim brojevima i do niza Fibonacijevih brojeva se dolazi sledećim prostim pravilom: svaki  sledeći broj je jednak zbiru prethodna dva. Prva dva F-broja su 0 i 1. Pa je naredni 0+1=1, pa naredni 1+1=2, pa 1+2=3, i tako dalje, tj. Fibonaccijev niz je:

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...itd.

Ovaj niz ima mnogo zanimljivih osobina, ova jedna nam je potrebne za kasnije:

Ako pogledamo odnos dva susedna Fibonacijeva broja: 1/1=1; 2/1=2; 3/2=1.5; 5/3=1.666...; 8/5=1.6; 13/8=1.625; 21/13=1.615..; 34/21=1.619..; 55/34=1.617.., itd. Ovaj odnos brzo konvergira ka broju F=1.61803..., koji  je u tesnoj vezi sa zlatnim presekom, kao sto ćemo videti. 

A zlatni presek?

Setimo se sada pravila zlatnog preseka. Neka je Celina x, a veći deo 1, onda je manji deo ono sto ostane kad se od celine oduzme veći deo, tj. x-1. Zlatni presek kaze: manji deo prema većem delu, tj., (x-1):1 je isto sto i veći deo prema celini, tj., 1:x. U obliku formule:

(x-1)/1=1/x, tj. x^2-x-1=0. Pozitivno resenje ove jednačine je F=(sqrt(5)+1)/2=1.61803...., isti onaj broj koji smo dobili kada smo posmatrali kako se odnose susedni Fibonacijevi brojevi.

OK, basta sa matematikom, prelazimo na lepotu.

Cvećka Achillea ptarmica je lepa. Ona pusta jedan izdanak koji posle par meseci izbaci novi izdanak, a ovaj novi izdanak posle par meseci izbaci sledeći novi izdanak, itd., dok stare grane "sačekaju" dva ciklusa pa izbace izdanak. Sematski predstavljeno, ona raste ovako:

sneezewort.GIF 


Brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6... numerisu cikluse proizvodnje izdanka. Posle prvog ciklusa, biljka ima 1 granu, posle drugog 2, posle trećeg 3, posle četvrtog 5, posle petog 8, posle sestog 13...kao na slici gore. Hej, pa ovo su Fibonacijevi brojevi: 1, 2 ,3 ,5 ,8, 13!

 Pogledajmo sada cveće, pogledajmo ljiljane u polju kako rastu i broj latica na njima.

3 latice - ljiljan, iris;

4 latice - malo cveća ima 4 latice;

5 latica - divlja ruza, divlji karanfil 

 pinks.jpg passionFRONT.jpg

8 latica- delfinium; 13 latica - neveni i bele rade, itd, do 89 latica na jednoj vrsti belih rada. Uglavnom, sa malim varijacijama, broj latica na cveću je Fibonacijev broj.

Ostavimo broj latica i pogledajmo geometriju jednog cveta. Suncokret, na primer
empty.gif

empty.gif suflo.jpg seedhd.jpg

empty.gif 

Geometrijski aranzman zrna prati oblik dve spirale. Desne sa 34 spirale; i leve sa 55 spirala. Veći suncokreti imaju 89 spirala, ni manje, ni vise.

 sunflowerseeds.jpg marguerite1(21,34)n.jpg  Mammilariamoeller2(9,9)n.jpg

 

I ovo (34, 55, 89) su Fibonacijevi brojevi. Slične brojeve vidimo i kod sisarke i njenih spirala:

pinecone3.gif pinecone3yellow.gif pinecone3green.gif

u ovom slučaju 13 i 8, sto su Fibonacijevi brojevi. U nauci se ova "matematika cveća" zove Phylotaxia. Pogledati, na primer ovde. Na ne navodim vise, verujem da sam vas ubedio da ovakvih primera ima svugde oko nas.

Da sada predjemo na druge oblike: ako sukcesivno konstruisemo kvadrate čije su stranice jednake brojevima u Fibonacijevom nizu, dobijemo figuru:

180px-FibonacciBlocks.svg.png(Primetiti brojeve 1, 1, 2,3, 5, 8, ...)

I ako nacrtamo lukove nad dijagonalama tako konstruisanih kvadrata dobijemo Fibonacijevu spiralu:

180px-Fibonacci_spiral.svg.png 

 

 

Skoljke puzeva (Nautilusa na ovoj slici) često imaju oblik Fibonacijeve spirale:

20890.jpg 

zato sto, svaki put kad puz poraste za ceo krug, on poraste u odnosu zlatnog preseka, kako to pokazuje slika koju je Radojicic poslao:

half1.jpg 

 

Da ne duzim vise. D'Arcy Thompson

Thompson_D'Arcy.jpeg

 

 175px-On_Growth_and_Form.JPG

 je 1917 godine napisao seminalnu knjigu "On Growth and Form" gde se ove geometrije prirode do detalja razmatraju.

 A sta je sa ljudima? Opet, zahvaljujući Radojicicu, dve slike:

0701003.jpg 

06.jpg

 

Ratojanje od tla do pupka osobe se odnosi prema rastojanju od pupka do vrha glave u zlatnom preseku - antički ideal lepote, ugodan za videti. S desna je Leonardova analiza ove geometrije.

 Mnoge antičke gradjevine su pravljene postujući pravila zlatnog preseka i o tome su mnoge knjige napisane. Pomenuću ovde samo jedan zanimljiv I kontroverzan primer. Ako se pogledaju dimenzije Keopsove piramide:

mpl_2greatpyramid.gif 

 onda je odnos visine trougla (356 u kubitima), prema polovini stranice baze (440/2=220) jednak 356/220=1.618 - broj veoma blizu zlatnom preseku. Medjutim, za sada se ne zna pouzdano da li su Egipćani zaista znali za zlatni presek ili je ova podudarnost slučajna.

Da li je priroda lepa? Stari Grci su verovali da jeste i to njihovo verovanje se ogleda u njihovoj arhitekturi, vajarstvu, umetnosti uopste. Oni su uzor lepote trazili u svetu oko sebe, u oblicima skoljki i cveca, na mestima svugde oko nas. Jer lepota, kaže Andrić, kao divlje cveće, raste tamo gde je niko ne sadi.

Ovde je bilo reci samo o geometriji prirode - dakle statickim i regularnim oblicima. Oblici koji nastaju drugacijom dinamikom - obale ostrva, velicine oblaka, meandri reka imaju drugu vrstu prostornog aranzmana i drugu lepotu koja se izrazava kroz fraktalnu geometriju. Ali, o fraktalima drugom prilikom. 

 P.S.

(Blogeri Olga Medenica, Radojicic, i martaI su mi dali ideju da napisem ovo gore. Najlepse im se zahvaljujem).

 

 

 



Komentari (76)

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

bauer bauer 05:47 12.07.2007

Zlatni presek.

Od pre neki dan, kada je Olga M. zapocela temu o zlatnom preseku, ja se ubih da na netu pronadjem sliku Leonardovog Vitruvian Man-a na koju je projektovana geometrijska postavka zlatnog preseka, bez uspeha. Koliko me secanje sluzi, najednostavnija geometrijska konstrukcija zlatnog preseka. Secam je se iz jedne stare knjige Istorije Umetnosti, cini mi se, koja lezi u podrumcetu koje cu, nadam se, ovoga leta imati prilike da prekopam.

A sto se tice Fibonacijeve spirale, primetices Sarski, da ona neznatno odstupa od logaritamske, zlatne spirale. Bez velikog znacaja za arhitekte/gradjevince (popravice moleri, ako zapne).
gordanac gordanac 06:31 12.07.2007

hubble...

...dodatak



Red Supergiant Star V838 Monocerotis



supernova 1987A



MyCn18,
a young planetary nebula



planetary nebula NGC 6751



small spiral galaxy NGC 7742.
gordanac gordanac 06:46 12.07.2007

hubble + zemljin dodatak :))



...umesto komentara o temi posta
Mića Marković Mića Marković 10:41 12.07.2007

Re: hubble...

Gordana,
Red Supergiant Star V838 Monocerotis mi je već dosta dugo
Background na Desktopu /Wallpaper/.
Fantastičan fotos.
gordanac gordanac 17:11 12.07.2007

hubble says

hi, Mićo!
zvezde, galaksije, magline, supernove, planete....deep space 9...slike koje nikada ljudsko oko (do hubble) nije moglo ni da zamisli...pure beauty of the universe
uživajte...


nebule, prelepe

Doctor Wu Doctor Wu 16:12 12.07.2007

Ili

Brooklyn Brooklyn 20:06 12.07.2007

Re: Ili

otkad se ti interesujes za zivotinje? :)
nsarski nsarski 01:38 13.07.2007

Re: Ili

Da, Dottore, to je zanimljiva oblast - dynamical pattern formation. Rekao bi Blake:

Tyger, Tyger, burning bright
In the forests of the night,
What immortal hand or eye
Could frame thy fearful symmetry?






Черевићан Черевићан 07:30 12.07.2007

мрзовоља

посматрам глисту
испод друге глисте
изнад њих мирисом
раскошан цвет
осећам дах твој
крај уха мојег

ал волим овај прегрешан свет

голубе гледам
како се љубе
изнад њих крошња
ко бујан цвет
осећам тело твоје
узмоје

ал волим овај похотан свет

рибице слутим
под водом морском
крај њих умишљен
корала цвет
лажеш ме вараш
лудом ме правиш

ал волим овај неискрен свет

љубав нас маами
погледом сваким
док нас прекрива
птичији лет
ала сам сретан што ме родише

баш волим овај сулуди свет

dracena dracena 07:31 12.07.2007

Nautilus





Olga Medenica Olga Medenica 09:33 12.07.2007

Re: Nautilus

Posto ne mogu da napisem formulu logaritamske spirale, evo je ovde

wikipedia

Krajem fakulteta dizajnirala sam jednu kucicu koja je bila po toj formuli "nautilusa".

evo jos jedneog prirodnog cuda matematike i lepote

kristali leda

Da li ste znali da sto su stariji, to su veci?
dracena dracena 10:02 12.07.2007

Re: Nautilus

Neverovatno i prelepo - ovi kristali.
Ne, nisam znala da i kristali rastu.
nsarski nsarski 10:16 12.07.2007

Re: Nautilus

Postoji cela nauka o rastu kristala:



Rast kristala u metastabilnu termodinamicku fazu (prehladjenu vodenu paru) ima fascinantnu dinamiku. Eksperimenatlno, ljudi su u stanju da rastu ovakve kristale pod raznim uslovima prehladjenja.
Ravnotezni oblici kristala se dobijaju pomocu tzv. Wulffove konstrukcije


Detalji se mogu naci, na primer, ovde
jesen jesen 10:18 12.07.2007

Re: Nautilus

..a meni je ovo zanimljivo..
jasnaz jasnaz 10:45 12.07.2007

Re: Nautilus

. i tako svaka pahuljica spusti po 1 sliku .
Olga Medenica Olga Medenica 14:20 12.07.2007

LED

A propos kristala koji rastu.
O tome sam htela da pisem ovde posto jedan moj prijatelj, fizicar, tj. matematicar radi trenutno na istrazivanju vezanom za glecere, tj. razloge i mehanizme topljenja istih pa u univerzitetskoj laboratoriji, zamrzivacnici ima parcice stare po PAR STOTINA HILJADA godina, oni su navodno prilicne "cepanice", i posto, dakle jesu prizma, prelelamaju svetlost magicno.
Obecao je svojevremeno da ce da mi "odreze krisku" ali smo malo zaglavili oko nekih mojih ideja za ovaj Blog.
Na kraju cu ici kod "Snezne Kraljice" da se igram za svoj racun, bez forografisanja i slicnog, ako jos bude hteo da me pusti.
jesen jesen 17:52 12.07.2007

Re: LED, Za Olgu..

Voda
Kako iz ugla fizičke hemije može da izgleda kratka priča o najsloženijoj jednostavnoj supstanciji
Piše: dr Branislav Simonović


Naizgled najjednostavnija supstancija - voda, sastavljena od dva atoma vodonika (H) i jednog atoma kiseonika (O), posmatrana okom fizikohemičara pokazuje mnoge anomalne (neuobičajene) osobine. Često se kaže da baš od tih anomalnih svojstava vode zavisi život. Poznato je da organizmi sadrže visok procenat vode i da voda ima veliki toplotni kapacitet. Otuda potiče sposobnost organizma da vrši toplotnu regulaciju i da sprečava velike lokalne promene temperature. Velika toplota isparavanja sprečava dehidrataciju (gubljenje vode) a u isto vreme doprinosi hlađenju pri isparavanju. Voda je i izvrstan rastvarač jer je polarna, ima veliku dielektričnu konstantu i male molekule. Njena jedinstvena hidrataciona svojstva kod bioloških makromolekula (posebno kod proteina i nukleinskih kiselina) određuju trodimenzionu strukturu, a time i njihove funkcije u rastvoru. Hidratacijom ovih makromolekula nastaju gelovi koji reverzibilno mogu da prelaze u solove i ovi fazni prelazi utiču na mnoge ćelijske mehanizme. Uloga vode u organizmu je višestruka. Voda prenosi, podmazuje, hemijski reaguje, stabiliše, signalizuje, učestvuje u izgradnji ili u razgradnji struktura.

Sudeći po osobinama drugih jedinjenja kiseonika i vodonika, voda bi trebalo da bude delimično isparljiv gas. Ona je tečna s 200.000 puta većom gustinom nego što se očekuje na osnovu čvrstih pravila periodnog sistema.

ocuments and SettingsAdministrator.MIMAMy DocumentsDatafh09.jpg' alt='' border='0' />

Vodena para igra veoma značajnu ulogu u klimatskim promenama. Oblaci su, u stvari, kapljice vode ili kristalići leda suspendovani u vazduhu. Kondenzacijom vodene pare nastaju kapljice vode (prečnika oko 0,01 mm) ili kristalići leda. Milijarde ovakvih kapljica ili kristalića vide se kao oblak. Oblaci reflektuju jednako sve talasne dužine vidljive svetlosti, pa su zbog toga beli. Magla je oblak u konaktu sa zemljom. Prema načinu na koji nastaje, razlikuje se čak 8 vrsti magle.

Zanimljiva je i značajna uloga vodene pare u nastajanju tzv. efekta staklene bašte, mada se to često previđa. Atmosfera je Zemljin vazdušni omotač, nalik na prirodni "prekrivač", koji zadržava toplotu izračenu sa zemlje. Polovina sunčevog zračenja prolazi kroz atmosferu i zagreva Zemlju a druga polovina se reflektuje nazad. Pošto je primila izvesnu količinu toplote, Zemlja se ponaša kao zagrejano telo koje zrači. Iz zakona zračenja može da se izračuna koje će talasne dužine da zrači telo (zemlja) zagrejano na +7 oC, što je prosečna zemljina temperatura. To zračenje je u oblasti talasnih dužina 500 - 1800 cm-1. U toj oblasti najvažniji "gasovi u tragovima" u atmosferi (vodena para, ugljendioksid i ozon) apsorbuju zračenje. Na osnovu sadržaja pojedinih "gasova u tragovima" može da se izračuna da oko 60% uticaja na efekat staklene bašte potiče od vodene pare, oko 20% od ugljendioksida i oko 20% od ostalih gasova (ozon, azotovi oksidi, metan, i dr.). Toliki uticaj vodene pare mogao bi da bude poguban po dalje zagrevanje zemlje. Povećanim isparavanjem vode nastaju oblaci. Oblaci, kao što je već rečeno, reflektuju najveći deo sunčevog zračenja i time smanjuju količinu toplote koja dolazi na Zemlju. Vodena para u oblacima, dakle, doprinosi i smanjenju zagrevanja Zemlje. Priroda se još jednom postarala da uravnoteži pozitivne i negativne uticaje.
ocuments and SettingsAdministrator.MIMAMy DocumentsDatafh10.jpg' alt='' border='0' />


Pozitivni vodonik s jednog molekula vode privučen negativnim kiseonikom s drugog obrazuje vezu, slabiju od hemijske ali jaču od uobičajene međumolekulske veze. U čvrstom stanju (ledu) svaki molekul vode obrazuje četiri vodonične veze. Zelene isprekidane linije označavaju vodoničnu vezu, a strelice su usmerene od vodonika ka akceptoru

Oko fizikohemičara može da vidi mnogo više i kod tako "jednostavne" supstance kao što je voda. Tako su kod vode uočena brojna anomalna svojstva, čak 41 neuobičajeno svojstvo. Od neobično visoke tačke topljenja, tačke ključanja, kritične tačke, površinskog napona, viskoznosti, toplote isparavanja, preko toga da se voda skuplja pri topljenju ili da joj gustina raste pri zagrevanju do 3,984 oC, sve do toga da su vibracije u toploj vodi duže nego u hladnoj. Radoznaliji čitaoci potražiće literaturu o svakoj od 41 anomalne osobine vode.

Priča o neobičnosti obične vode mogla bi da se nastavi i opisivanjem kapljica vode koje mogu da postoje, zajedno s kubičnim kristalima leda, čak i na temperaturi od -70 oC, a koje mogu da se dobiju iz amorfnog staklastog leda koji se javlja između -123 oC i -149 oC. Pominjanje leda, dakle vode u čvrstom stanju, uvodi nas u oblast niskih temperatura i u priču o ledu, snegu i snežnim pahuljicama. Mnogi od nas uživaju posmatrajući kako pada sneg, hvataju pahuljice i čude se raznolikosti njihovih oblika i veličina. Kao što je to još 1635. godine činio Blez Paskal: "Teško mi je da zamislim kako su nastali i kako je tako potpuno simetrično postavljeno tih šest zubaca oko svakog zrna i to usred vazduha koji se meša vrlo jakim vetrom..." Zaneti lepotom prizora nisu ni razmišljali da su neke oči fizikohemičara sve to mnogo detaljnije posmatrale i proučavale. Od kristalne strukture leda i uslova u kojima mogu da nastanu, sve do raznolikosti kristalnih oblika. Tako je nađeno da voda, kao nijedna druga supstanca, ima čak 14 različitih kristalnih oblika leda; da je najčešći oblik leda heksagonalna kristalna rešetka, pa otuda i Paskalovo zapažanje o "šest zubaca"; da snežni kristalići ne nastaju smrzavanjem kišnih kapi već vodene pare, što se dešava u oblacima. Međunarodna komisija za sneg i led ustanovila je 1951. godine 7 glavnih tipova snežnih kristala; prema drugoj klasifikaciji ima ih 41, a prema trećoj čak 80 različitih morfoloških tipova. Neki od tih kristalnih oblika (kao na slici levo) izdvajaju se svojom lepotom.

ocuments and SettingsAdministrator.MIMAMy DocumentsDatafh11.jpg' alt='' border='0' />

U ledu četiri vodonične veze oko svakog molekula vode održavaju molekule u pravilnom geometrijskom raspredu čime nastaje kristalna rešetka. U vodi, zbog toplotnog kretanja, vodonične veze se neprekidno stvaraju i raskidaju, te ima molekula i sa manje od četiri veze. Ti molekuli ne moraju da budu u pravilnom rasporedu, te mogu da ispune i šupljine koje postoje u pravilnom kristalu. Zbog toga raste broj molekula po jedinici zapremine, a otuda i veća gustina tečnosti u odnosu na led

PS..copy/paste umesto linka zato sto tamo ima svasta...a ja bi samo ovo ....lakse se razume rast.......
jesen jesen 17:59 12.07.2007

Re: LED, Za Olgu..

Slicice se nesto zeznule...nestale...nema veze...
Olga Medenica Olga Medenica 20:11 12.07.2007

Re: LED, Za Olgu..

Hvala!
v.stojkovic v.stojkovic 09:39 12.07.2007

Savršeniji i lepši niz od Fibonaccijevog

Znam niz brojeva savršeniji, skladniji i lepši od Fibonaccijevog. On glasi: 6,7,12,23,26,32,37. Važio je za prošlu nedelju i nažalost bio mi je nedostižan. Nsarski, ukoliko bi mogli otkriti tako savršen niz od sedam brojeva, a koji će važiti za ovu sedmicu, molim Vas javite mi do utorka do 18.00 časova.
PS: Isključivo na moj e mail, ostalima se izvinjavam - ja sam se prvi dosetio.
Boris_Treci Boris_Treci 10:21 12.07.2007

Re: Savršeniji i lepši niz od Fibonaccijev

3, 4, 11, 16, 20, 22, 34!

Nije taj niz ni lep ni skladan ni savrsen (bio...prosle nedelje)! :) Samo je...lukrativniji. Sto i nije tako lose!
Kasper Kasper 10:12 12.07.2007

Hvala Bogu

nesto zdravo i argumentovano...
Boris_Treci Boris_Treci 10:18 12.07.2007

Beauty is in

the eye of the beholder! I o tome ne vredi puno raspravljati. :)
No, kao ex-matematicar, zapravo informaticar, apsolutno obozavam cistu, objektivnu i neiskvarenu lepotu brojeva! Sve vise sam ubedjen da "iza svega stoje neke cifre"...iako o tome ne razmisljam mnogo - previse razmisljanja ponekada ubije lepotu trenutka!

Kada je lepota u pitanju, jedno zapazanje (Discovery Channel cini mi se) - zenska seksualnost u ocima muskaraca se ogleda (fizicki gledano) u odnosu sirine kukova i struka od sqrt(2) : 1 (koren iz 2 naprema 1)! Otkud bas koren iz 2, ne znam, ali sam vise puta subjektivno dosao do slicnog zakljucka! :)

Divan zapis (manje od Vas gospodine Nsarski niko i ne ocekuje).

Sve najbolje.
marta l marta l 10:28 12.07.2007

hvala nsarski

bas lepo o lepom.
Zlatni presek je zanimljiv, medjutim, kada se udje u pricu o fraktalima sve postaje jos intrigantnije,. Iizgleda ipak da se ono pravo krije tek u novim otkricima u strukturi mozga, novim tipovima mozdanih nervnih celija (neke detektuju vertikalnost, recimo, a mozda i stosta drugo)....a i evolucija ljudskog mozga izgleda cini svoje pa nam je lepo sve sto strukturom (ne oblikom) asocira na ono sto je negde u mozgu zapisano kao dobro za opstanak......

Medjutim, opasne su ovo vode (osim za mastora nsarskog). Kako je gore krenulo i na pitanje "zasto marta voli kajsije" pala bi ovde neka fraktalna analiza, a odgovor je u stvari "zato"

Ali, o fraktalima drugom prilikom

drzimo te za rec.
nsarski nsarski 10:38 12.07.2007

Re: hvala nsarski

Hvala na predlogu:) Bilo bi ipak malo previse - ljudi ce pomisliti da sam math freak, a nisam, majke mi!
Ima na stotine drugih tema o kojima moze da se pise. Ali, never say never - mozda ce i fraktali jednom doci na red.
marta l marta l 10:52 12.07.2007

Re: hvala nsarski

ma nije tu samo math u pitanju, znas i sam ...
A ljudi vole da shvate sta im se desava, zasto vole da setaju Firencom, a ne Novim Beogradom ( a nije zbog radnji), zasto vole jednu sliku a drugu ne (a obe apstraktne recimo), zasto uvek pogledaju neku fasadu u ulici kojom prolaze celog zivota, a neku nikada.....

jesen jesen 10:34 12.07.2007

Nsarski,

....rodjen si za "učitelja".....tvoji postovi su zaista osveženje....svako nesto nauči ili se podseti na nešto sto je nekad znao pa zaboravio...ili na nešto o čemu odavno ne razmišlja...Eto, ja sam na primer zaboravila da su brojevi svuda oko nas.....
jasnaz jasnaz 10:41 12.07.2007

. lepota od papira .

nsarski nsarski 10:44 12.07.2007

Re: . lepota od papira .

Ali, koliko vidim, ovaj je nastao sam procesom prepolovljavanja po duzoj stranici (ili udvostrucenjem krace kad se ide u suprotnom pravcu). Mozda bi mogao da se nazove "birokratski zlatni presek"? :)
jasnaz jasnaz 11:02 12.07.2007

Re: . lepota od papira . da :

ali ja toliko volim proces nastanka poruka na papiru (tzv. prelom je deo tog procesa, a formati papira deo tog, itd.), da sam pokušala da ga prošvercujem u zlatno! a možda , toj ljubavi za ljubav , nešto ovako: zlatni prepolov?
MeHiLow MeHiLow 11:17 12.07.2007

Fibonaccijeva sekvenca u muzici

Primer koji mi je posebno prirastao srcu je monumentalno delo tzv. progressive rock (a opazno blizu onome sto zovu "math rock" a bogami i "nerd rock" zvuka je pesma "Lateralus" od benda Tool.

Fibonaccijeva sekvenca (od 0 do 13 i nazad) je osnova ritma pesme i proteze sa na sve njene slojeve, preko bas linije, rasclanjenih gitarskih rifova, ali i metrike i znacenja stihova u kojima se govori o osnovnim ciniocima postojanja (u ovom konkretnom slucaju, pesnik nam govori o osnovnim bojama postojanja - crnoj, beloj, crvenoj, zutoj - na osnovu legendi severnoamerickih indijanaca), zaziva stari alhemijski postulat o mikro i makrokosmosu (as below so above) i govori o spirali kao obliku koji je postojanje dobilo.

Bubnjar Danny Carey je veoma zainteresovan za vezu muzike, matematike i mistike, dotle da koristeci "holy geometry" (pomalo new age koncept, ali zasnovan na veoma interesantnim idejama) Fibonaccijeve sekvence koja se prostorno aplicira kao spirala na njegovim bubnjevima, stvorio sablon nepravilnih ritmova (9/8, preko pravilnih 8/8 tj. 4/4 do 7/8) koji su i pored nepravilnosti zvuce sasvim prijatno uhu, cak imajuci odredjenu "prostornost" zvuka koja nagovestava sinesteziju.

A gle, link na YouTube vodi do jedinog (fanovskog) spota za pesmu koji koristi slike sa Habl teleskopa. Sinhronicitet... ( a da ne pominjem koliko muzika i reci Toola cesto behu inspirisane Jungom - to je druga tema)

Elem, listen, read, watch, enjoy.

http://www.youtube.com/watch?v=wS7CZIJVxFY&mode=related&search=]

haha - deo texta "witness the beauty, swing on a spiral of our divinity and still be a human". Lepo se nadovezuje na Vas divan text, g. Sarski.

Pretpostavljam da ima jos primera za koriscenje Fibonaccijeve sekvence u muzici ili barem ritmici...
nsarski nsarski 11:23 12.07.2007

Re: Fibonaccijeva sekvenca u muzici

Kako da ne - evo linka sa mnogobrojnim primerima.
bravar bravar 11:28 12.07.2007

bez naslova

U japanskoj arhitekturi postoji niz primera zlatnog preseka u izgradnji pagoda. Ne mogu da postavim sliku, ali ih mozete videti na www.archnet.org.
A, evo nekih slicica
SLUSAM
RIKU TIGRA
Priroda je cudo!
Kazezoze Kazezoze 12:30 12.07.2007

slusham

roby lakatosha i setih se jedne emisije koju sam gledao na TV-u koja se zove 'master class' i u kojoj je on trebao da drzhi chas studentima romske muzike iz amsterdama.
vezano za temu je fibonacijeva sekvenca koja se koristi u madjarskoj romskoj muzici, a za koju roby nije ni chuo da postoji ,shto je i razumljivo poshto se roby slabo neshto razumevao u note i te nauchne stvary, nego se vishe prepushtao osecaju i improvizaciji.
a meni je posebno bilo interesantno shto kad student osvira neku sekvencu na violini, virtuozno i notno perfektno, zvuchi potpuno drugachije (nekako siromashno) nego kad to isto otsvira roby lakatosh, a on im josh stalno ponavlja unesite osecaj u pesmu... ne ide pa ne ide, uvek neshto fali... nema tu lepotu.
gadna stvar taj osecaj:):):)
Mića Marković Mića Marković 13:24 12.07.2007

Re: slusham

I mi smo do nedavno imali našeg Robija. Prošle nedelje, posle kratke i teške bolesti, preminuo je Aleksandar Šišić. Sjajan i neponovljiv umetnik. Fascinantan i neponovljiv bio je njegov "spikato" /spiccato/. Više puta sam sa njim razgovarao interesujući se, kako je to postigao. Njegov odgovor me je zapanjio.
Kada je počeo sa prvim časovima violine kod svog oca koji je isto bio violinista, on ga je terao da umesto violinskog, koristi gudalo od violončela. To je trajalo nekoliko godina, i tek kasnije je počeo da koristi violinsko gudalo. Neverovatna ideja i način edukacije.
Da dodam da je A.Š. bio muzički pismen i dosta je komponovao. Imam sačuvan jedan njegov manuskript. Isti mi je bio potreban, kada sam pre par godina u Beču držao predavanje o muzici u Srbiji. Između mnogih muzičara svih vrsta muzike, predstavio sam i njega. Manuskprit sam iskoristio tako, što sam na tom predavanju prvo na saksofonu odsvirao deo te njegove kompozicije, i rekao da to piše u notama, a da se posluša kako to izgleda u autorovom izvođenju. Malo je reći da su prisutni bili fascinirani.
Jedan od prisutnih mi je postavio pitanje da nije možda u pitanju trik snimak. Ono, snimi se sporije, pa se posle ubrza. Odgovorio sam da činjenica da je snimak iz A mola govori, da nije trik u pitanju, jer to je odsvirljivo samo iz tog tonaliteta. Složio se...
jesen jesen 14:24 12.07.2007

Re: slusham, Osecaj

...jeste gadna stvar zato sto ga svako nema za iste stvari...osecaj za muziku, za prostor, za vreme, za boje....za pravdu, za dobro i lose.......Svasta se moze nauciti ali osecaji teeeskooo....Skoro sam bila na koncertu jedne devojke koja studira muziku-klavir....znam njen put od prvog razreda muzicke skole....mnogo je rada ulozila do sada.... ali....svako ali nesto kvari...Ja sam kao totalni laik jos odavno konstatovala da ona nema "osecaj"...i vidim sada na koncertu to isto....ne pokrece emocije kod publike...svi tapsu ali mrtvi 'ladni....A na pauzi slucajno cujem kako joj profesorka nesto slicno govori......
Covek u belom Covek u belom 16:27 12.07.2007

Re: slusham

Mića Marković
Jedan od prisutnih mi je postavio pitanje da nije možda u pitanju trik snimak. Ono, snimi se sporije, pa se posle ubrza. Odgovorio sam da činjenica da je snimak iz A mola govori, da nije trik u pitanju, jer to je odsvirljivo samo iz tog tonaliteta. Složio se...

Pa zar i violinisti kad snimaju CD ne spustaju zice :). Salu na stranu u danasnje vreme je neverovatno sta se sve obradom signala moze postici, pa tako i od nekog nepoznatog napraviti Paganini. Stoga nije ni cudo sto su ljudi obazrivi, pogotovu kad cuju nesto sto zvuci mnogo dobro.
Naravno ovo sve nema veze sa A.S. (koji je neosporno fantastican), nego sa time dokle je stigla nauka u smislu analiziranja onoga sto cujemo, vidimo, osecamo...
Mića Marković Mića Marković 16:54 12.07.2007

Re: slusham

Slažem se, da se u današnje vreme sa obradom signala tona može svašta postići.
A tek sa slikom...
Jedino što se ne može postići, bar za sada je, da neko ko zaista nezna da svira, na snimku zvuči kao da zna.
Premda - ko zna. Možda će i to jednog dana biti moguće.
MuadDib MuadDib 22:20 12.07.2007

Re: slusham

Негде од 1975-1985 доста је у часопису Down Beat бивало полемика на тему студијског инжењеринга (посебно после фасцинантне серије снимака куће CTI Records, али и ECM), као и на тему користити или не она малешна појачала на свакој жичици акустичних инструмената (пик-апови ли се зваху, опростите лаику? :))

Надам се и желим да верујем да никада неко ко не зна да свира неће моћи да на снимку звучи као да зна, мада многи у нас упорно покушавају (залутате ли на пинковске и ине таласе).
bladerunner bladerunner 11:52 12.07.2007

Nsarski

jel ste čuli ili pročitali knjigu Biblijski kod?

http://forum.b92.net/lofiversion/index.php/t13008.html

možda sam i upravu da je sve ovo jedan ogroman program
i da zaboravila sam pahuljicu kao dokaz postojanja Boga ili superiorne inteligencije koja je sve stvorila : )
i preporuka za vas naravno

nsarski nsarski 12:32 12.07.2007

Re: Nsarski

Nisam citao do detalja, priznajem. Ali, ako je za pomoc, evo odlicnog linka koji demistifikuje celu pricu. Taj casopis Skeptical Inquirer je vrlo korisna literatura ako nekada dodjete u nedoumicu oko nekog "cuda".:))
Mića Marković Mića Marković 15:56 12.07.2007

Re: Nsarski

Odlican tekst. Hvala.
Izvini za mali trol oko A.Sisica. Covek je zasluzio mnogo vise.
Geronimo Geronimo 01:38 13.07.2007

Re: Nsarski

Izvini za mali trol oko A.Sisica. Covek je zasluzio mnogo vise.

Zasluzio je da primer o kome ste pisali postavite na Net pa onda link na to da i mi cujemo. Ovo nikako nije zakeranje nego predlog ili pre molba.
cincili cincili 13:40 12.07.2007

uzivanje je...

jos jedan glas da si rodjen da svoje znanje prenosis drugima... a, da, taj transfer znaja protice skoro neosetno... compliments...
Olga Medenica Olga Medenica 14:12 12.07.2007

Zaboravih da kazem

Hvala Nsarski!
jasnaz jasnaz 14:15 12.07.2007

. pridružujem se :

komplimentima za virtuoznost prenošenja znanja !
nsarski nsarski 15:16 12.07.2007

Re: . pridružujem se :

Oh, tolike hvale - skoro da pocrvenim:)) A sto se tice prenosenja znanja: pa, imao sam dosta i prakse u tome, a to pomaze.
Hvala jos jednom - lepo je druziti se sa ljudima koji su zainteresovani!
Btw, rast kristala je fascinantna tema - ja sam nekad drzao kurs o fizici koja se desava na povrsinama, i rast kristala je bio jedan od fenomena o kome sam pricao.
ivana23 ivana23 18:54 12.07.2007

Re: . pridružujem se :

jasnaz
komplimentima za virtuoznost prenošenja znanja !


TAKODJE
yu1bcd yu1bcd 07:35 13.07.2007

Re: . pridružujem se :

Hajde da uzvratim komplimentom citateljkama! Juce dosao oko 14 casova na Surcin, navece prosetao uz Dunav od Zemuna do hotela Jugoslavije i celo vreme ponavljao u sebi: Brand Srbije su lepe zene!

LP MMM, DOM

P.S. Nadam se, da ce jedan od sledecih priloga biti o otkacenim fraktalima.
gordanac gordanac 14:13 12.07.2007

virusi i druge slike...

...mali, neophodan troll lepote prirode nedostupne čulima
Bilo bi još bolje da postoje slike ljudskih emocija, ali - nema! Ne bez ljudi.

virus

polen as it is

polen, in love, as it is

A nanometer-level microscope image of quantum dots

The Blushing bracket (Daedeleopsis confragosa)

Darkness in the light, sun under a microscope
bravar bravar 17:05 12.07.2007

bez naslova

Oprostite mi na brzopletosti mojoj (kradem vreme od sebe same),. Ne stigoh da Vam uputim reci hvale za jos jedan crveni trag na obrazu Vasem:)))
Da ne bih copy-paste, evo interesantnog linka i malo price o Fibonacijevom nizu, Paskalovom trouglu i ....prirodi...
johnny011 johnny011 17:24 12.07.2007

lep svet

Dražen Dražen 18:42 12.07.2007

Sjajna tema

Preporučio bih samo jednu knjigu, "Filozofija i mistika broja", rumunskog matematičara Matile Gike, prevednu i objavljenu pre dosta godina i kod nas.
Lepota će spasiti svet.
Mića Marković Mića Marković 20:29 12.07.2007

fibonacci

nsarski, jedno pitanje.
Danas se u orkestrima, komornim ansamblima kao i kod muziciranja pojedinaca
uzima ton a1. On je u Evropi fiksiran na 435,4 dvostrukih titraja, a u Americi na 440.
Moze li se u ovim brojkama pronaci neka veza sa fibonaccijevim brojevima?
nsarski nsarski 22:17 12.07.2007

Re: fibonacci

E, Mico, to stvarno ne znam:) Ja bih morao da mnogo bolje poznajem muziku da bih umeo na to da odgovorim. Znam da ima muzike koja je komponovana na neke sekvence (Fibonacci jedna od njih).
U svakom slucaju, frekvencija (visina) tona je obrnuto srazmerna duzini - znaci krace zice ili kraci duvacki instrumenti (flauta, na primer) imaju visi osnovni ton. E, ta srazmera je bas tako prosta: 1/duzina. Drugo, ljudi cuju dva tona duple (ili polovicne) frekvence kao isti ton, ali u razlicitoj oktavi. Otprilike, znaci, ako duzinu smanjis na pola dobices istu notu u visoj oktavi. Ne vidim kako da se to veze sa Fibonacijevom serijom, ali to samo moze da znaci da ja to ne razumem - mozda ima nacin, jedino sto ga ja ne znam.
U stvari, ovo je veoma zanimljivo pitanje. Probacu da se bolje informisem.
Mića Marković Mića Marković 00:40 13.07.2007

Re: fibonacci

nsarski,
izgleda da se nismo razumeli. Bice da sam ja bio nejasan.
Pitam, da li ton a1 435,4 sa dvostrukom titrajem /to je valjda 435,4 x 2/ moze da se
matematicki dovede u vezu sa fibonaccijevim nizom.
Dakle, cisto matematicki...
Ne treba valjda opet da posebno naglasim, da sam za matematiku duduk na kvadrat.
nsarski nsarski 01:09 13.07.2007

Re: fibonacci

Pa, Mico, ocevidno je da sam ja za muziku duduk na kvadrat:))

OK, ali evo sta znam: Dirke na klaviru su podesene tako da su im ovo frekvence:



Ta frekvenca od 440Hz odgovara noti A4 na slici gore. (A5 je 880, naravno,a A3=220 kao sto slika pokazuje - znaci udvostrucenje na sledecoj oktavi, tj. upolovljenje na prethodnoj). Ja ne vidim kako bi se ovi brojevi doveli u vezu sa Fibonacijem, tj. ta razlika izmedju 440 i 435,4 je stvar konvencije.
Mislim, ne znam zasto se pocne sa A0=27.5, pa A1=2*27.5=55, pa A2=110, pa A3=220, pa A4=440, itd. Da li je to karakteristicno za ovaj instrument, ili je nesto drugo u pitanju, ne znam. Takodje, razlika od 4.6Hz (izmedju 440 i 435,4) je veoma mala, i ne znam da li je covek primecuje na ucestanostima oko 400HZ. Vidis gore da su razlike medju notama u niskom delu 3-10 Hz, dok su u srednjem delu 20-30Hz, a u visokom delu 200-300Hz.
Dakle, cisto matematicki, ne znam kako bi se oni brojevi (440 i 435.4) mogli povezati.
Mića Marković Mića Marković 01:46 13.07.2007

Re: fibonacci

Pocinje se sa AO=27.5 zbog toga sto nize frekvence od te ljudsko uho tesko moze da cuje, odnosno cuje ga ne kao ton, nego vise kao neodredjeni zvuk. To dakle nije karakteristicno samo za ovaj instrument, nego uopste.
Tacno je da je razlika od 440 i 435,4 stvar konvencije. Zanimljivo je, da neki simfonijski orkestri idu i na a1 = 443 pa i na 445.
Ovo zbog toga, sto se zakljucilo da gudaci bolje zvuce kada je a1 visi od 440.
Zanimljivo je i da gudacki instrumenti lakse sviraju kada je tonalitet sa povisilicama, nego sa snizilicama.
Pa ce tako na pr. nota ges, sto je enharmonski isto sto i fis, zvucati za neprimetnu nijasnu nize, sto nemoze da registruje ljudsko uvo, ali precizna merenja to pokazuju.
Inace ovo a1 se pise malim slovom, jer je u pitanju muzicka terminologija, da ne davim previse.
Covek u belom Covek u belom 14:42 13.07.2007

Re: fibonacci

Ovde ima vise interesantnih stvari. Jedna je da je 440Hz postalo ISO16 standard od 1955. Prvobitno je predlog bio da to bude 439Hz, ali je odbijen, jer je u pitanju prost broj pa ga je tesko reprodukovati u laboratoriji!????
U vecini sveta se standard postuje, kod nas (Evropa) je obicno 442Hz, a u Nemackoj, Austriji 445Hz. Interesanto je jos da se orkestri najcesce stimuju po oboi (a ne elektronski), koja uopste ne mora da je tacno nastimovana, tj. na 440Hz??!!!
Sto se same simbolike, tj. veze sa Fibonaicijem, broja 440 ili 435.4 tice mislim da je nema, iz prostog razloga sto se kroz istoriji ovo a1 kretalo od 380 do 500Hz i to uglavnom uzlaznom putanjom.

Sto se oznaka tice i one su specificne. Ono sto si ti nsarski naveo gore je tzv. naucna notacija, od a0 do c8.
U muzickoj notaciji oktave se drugacije nazivaju (opet iz tradicionalnih razloga): subkontra, kontra, velika, mala, prva, druga, itd...
Tako da je A iz prve oktave tzv. a1 u stvari A4 u naucnoj notaciji.
nsarski nsarski 15:04 13.07.2007

Re: fibonacci

Hvala, lepo je da covek ima priliku uvek nesto da nauci:)
angie angie 20:50 12.07.2007

Miyazaki san

Radojicic Radojicic 21:39 12.07.2007

Bach s paradajzom


razmak izmedju nota, peteljki itd
zezam se, rodio mi prvi paradajz na pozarnim pa slavim
Nsarski hvala
nsarski nsarski 22:18 12.07.2007

Re: Bach s paradajzom

Taj mi na slici lici na paradajz tresnjar?
bravar bravar 22:26 12.07.2007

Re: Bach s paradajzom

I see trees of green...... ili paradajz:)))
Ne uocavam zlatni presek, al' da ti je lep, lep Ti je.
I da Ti uzri uskoro.. pa da ga uz slast pojedes:(
nsarski nsarski 22:41 12.07.2007

Re: Bach s paradajzom

A, inace, cvet paradajza ima Fibonacijev broj latica - vidi
Ali, evo ti recept za Fibonacci salatu:


Fibonacci Salad

1 large head of lettuce
1 tomato, cored and cut into thin wedges
2 carrots, peeled and cut thinly
3 scallions, trimmed and cut thinly
Olive oil
Red wine vinegar
Salt
Pepper
nsarski nsarski 22:43 12.07.2007

Re: Bach s paradajzom

Primeti gore:
1
1
2
3
:))
nsarski nsarski 22:45 12.07.2007

Re: Bach s paradajzom

Vidi:
ovde

marta l marta l 12:51 13.07.2007

Re: Bach s paradajzom

Primeti dole (laznjak fibonacci):
1
1
2
3
0 sve se pojelo
G r o f G r o f 22:10 12.07.2007

Komentar koji pretenduje da bude shvaćen..

Iznošeni kaput je neugledan ali prijatan za nošenje
Lepo je ono što pomera
Prvi put
Možda drugi put
Ali nikad treći put
angie angie 22:27 12.07.2007

Re: Komentar koji pretenduje da bude shvaćen..

Mirkec dear, pa sarma najbolja kada se podgreva treceg dana:)
G r o f G r o f 11:10 13.07.2007

Re: Komentar koji pretenduje da bude shvaćen..

Lepo je kad te neko nasmeje do suza, a osmeh ti nema zlatni presek.... :))))))))))))))))
....a moze i sa zlatnim, hahaha-hahahahaha.
Shumar Shumar 12:44 13.07.2007

What a Wonderful World

bindu bindu 12:59 13.07.2007

mang'szlat.prsk.

d j o l e d j o l e 14:21 14.07.2007

O zlatnom preseku i drugim proporcijama

Pre nekoliko godina objavljena je knjiga "Prirodne proporcije" Branka Peraka, u kojoj se autor upravo bavi potragom za zlatnim presekom, analizirajuci proporcije koje se srecu u prirodi, kao i proporcije gradjevina, slika ... Jedna od poenti price je da se zlatni presek, ustvari, u prirodi i raznim kulturama srece mnogo redje no sto bi se ocekivalo na osnovu nekog prvog utiska i citave price o zlatnom preseku. Ustvari, kroz dosta primera iz razlicitih oblasti, pokazano je da postoje i druge proporcije koje jednako cesto (ako ne i mnogo cesce) srecu, i da je zlatni presek vise renesansna fikcija, a manje nekakav obrazac savrsenstva. Pokazano je da se savrsene proporcije, ustvari, menjaju kroz vreme, onako kako se usavrsavaju prirodne forme ili kako napreduje drustvo koje stvara dela sve u skladu sa njegovim urodjenim proporcijama.

Jedan od zakljucaka je i da zlatni presek predstavlja najjednostavniju (najrelativniju) propociju, cija konstrukcija ne zahteva nikakav reper ili jedinicu mere, vec izrasta sam iz sebe (na iterativan, samoponovljiv, nacin opisan Fibonacijevim nizom). Autor je, kako bi mogao da dodje do opstih zakljucaka o prirodi proporcija i njihovoj evoluciji, dao prikaz karaktericticnih proporcija, zajedno sa primerima koji ih najslikovitije opisuju. Proporcije su sistematizovane u tabeli, gde su za svaku dati karakteristicni odnos (naprimer, 1.618:1 za zlatni presek), ton i karakteristicna boja koja joj odgovara (gde je to moguce):

(i) (2:2, nota "do", ljubicasta); (ii) (2.25:2, nota "re", plava); (iii) (2.5:2, nota "mi", plavozelena); (iv) (2.625:2, / , zelena);
(v) (2.666:2, nota "fa", / ); (vi) egipatska formula (2.85714:2, / , /); (vii) (2.875:2, / , zuta);
(viii) ljudska proporcija (3:2, nota "sol", narandzasta ); (ix) (3.125:2, / , crvena); (x) (3.125:2, / , crvena);
(xi) zlatni presek (3.236:2, / , /); (xii) grcka formula (3.333:2, nota "la" , /); (xiii) (3.54166:2, nota "si" , /);
(xiv) rimska formula (4:2, nota "do" , /);

Tabela bi trebalo da ilustruje pricu po kojoj se karakteristicna proporcija koja se srece u delima civilicija menja tako sto raste karaktersiticni faktor proporcije [(vi), (xii) i (xiv)]. Mozda to, delom, objasnjava i oblakodere Menhetna, a mozda je stvar samo u tome da sa vremenom raste i cena gradjevinskog zemljista, gledano kroz istoriju :)
mariopan mariopan 23:22 16.07.2007

Re: O zlatnom preseku i drugim proporcijam

Kakva LEPA tema,napravili ste ZLATNI PRESEK sve lepote ovog i drugih svetova i omogucili i nama smrtnicima da vidimo i dozivimo LEPOTU da osetimo LEPOTU u srcu i uzivamo. Hvala autoru ali i svim ucesnicima jer su nam oomogucili da vidimo carobni svet lepote u svemu sto nas okruzuje.


Arhiva

   

Kategorije aktivne u poslednjih 7 dana

B92 / Info

...

  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
Čitajte ostale članke...

B92 / Sport

...

  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
Čitajte ostale članke...

B92 / Kultura

...

  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
Čitajte ostale članke...

B92 / Biz

...

  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
Čitajte ostale članke...

B92 / English

...

  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
Čitajte ostale članke...

B92 / Automobili

...

  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
Čitajte ostale članke...

B92 / Život

...

  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
Čitajte ostale članke...

B92 / Putovanja

...

  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
  • 01.01.1970 / 08:00
Čitajte ostale članke...